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2.4 幂函数课时目标
1.通过具体问题,,画出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.1.一般地,把形如________的函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象.3.结合2中图象,填空.1所有的幂函数图象都过点__________,在0,+∞上都有定义.2若α0时,幂函数图象过点________________,且在第一象限内______;当0α1时,图象上凸,当α1时,图象______.3若α0,则幂函数图象过点________,并且在第一象限内单调______,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限逼近x轴.4当α为奇数时,幂函数图象关于______对称;当α为偶数时,幂函数图象关于______对称.5幂函数在第____象限无图象.
一、填空题1.下列函数是幂函数的是________.填序号
①y=;
②y=x3;
③y=2x;
④y=x-
1.2.幂函数fx的图象过点4,,那么f8的值为________.3.下列是y=的图象的是________.填序号4.图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为________.5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.6.函数fx=xα,x∈-10∪01,若不等式fx|x|成立,则在α∈{-2,-1012}的条件下,α可以取值的个数是________.7.给出以下结论
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过00,11两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.则正确结论的序号为________.8.函数y=+x-1的定义域是________.9.已知函数y=x-2m-3的图象过原点,则实数m的取值范围是____________________.
二、解答题10.比较、、的大小,并说明理由.11.如图,幂函数y=x3m-7m∈N的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.能力提升12.已知函数fx=m2+2m·,m为何值时,函数fx是1正比例函数;2反比例函数;3二次函数;4幂函数.13.点,2在幂函数fx的图象上,点-2,在幂函数gx的图象上,问当x为何值时,有1fxgx;2fx=gx;3fxgx.1.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数.y=xα,当α=m、n∈N*,m、n互质时,有nmy=的奇偶性定义域奇数偶数非奇非偶函数[0,+∞偶数奇数偶函数-∞,+∞奇数奇数奇函数-∞,+∞
3.幂函数y=的单调性,在0,+∞上,0时为增函数,0时为减函数.§
2.4 幂函数知识梳理1.y=xα
3.111 200,11 递增 下凸311 递减 4原点 y轴 5四作业设计1.
①②④解析 根据幂函数的定义形如y=xα的函数称为幂函数,
③中自变量x的系数是2,不符合幂函数的定义,所以
③不是幂函数.
2.解析 设幂函数为y=xα,依题意,=4α,即22α=2-1,∴α=-.∴幂函数为y=,∴f8====.3.
②解析 y==,∴x∈R,y≥0,f-x===fx,即y=是偶函数,又∵1,∴图象上凸.4.2,,-,-2解析 作直线x=tt1与各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的.5.acb解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y=在x0时是增函数,所以ac,y=x在x0时是减函数,所以cb.6.2解析 因为x∈-10∪01,所以0|x|
1.要使fx=xα|x|,xα在-10∪01上应大于0,所以α=-11显然是不成立的.当α=0时,fx=1|x|;当α=2时,fx=x2=|x|2|x|;当α=-2时,fx=x-2=|x|-21|x|.综上,α的可能取值为0或-2,共2个.7.
④解析 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故
①不正确;当α0时,函数y=xα的图象不过00点,故
②不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故
③不正确.
④正确.8.0,+∞解析 y=的定义域是[0,+∞,y=x-1的定义域是-∞,0∪0,+∞,再取交集.9.m-解析 由幂函数的性质知-2m-30,故m-.10.解 考查函数y=
1.1x,∵
1.11,∴它在0,+∞上是增函数.又∵,∴.再考查函数y=,∵0,∴它在0,+∞上是增函数.又∵
1.
41.1,∴,∴.11.解 由题意,得3m-
70.∴m.∵m∈N,∴m=01或2,∵幂函数的图象关于y轴对称,∴3m-7为偶数.∵m=0时,3m-7=-7,m=1时,3m-7=-4,m=2时,3m-7=-
1.故当m=1时,y=x-4符合题意.即y=x-
4.12.解 1若fx为正比例函数,则⇒m=
1.2若fx为反比例函数,则⇒m=-
1.3若fx为二次函数,则⇒m=.4若fx为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.13.解 设fx=xα,则由题意,得2=α,∴α=2,即fx=x
2.设gx=xβ,由题意,得=-2β,∴β=-2,即gx=x-
2.在同一平面直角坐标系中作出fx与gx的图象,如图所示.由图象可知1当x1或x-1时,fxgx;2当x=±1时,fx=gx;3当-1x1且x≠0时,fxgx.。