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习题课课时目标 “二分法”.1.函数fx在区间02内有零点,则下列正确命题的个数为________.
①f00,f20;
②f0·f20;
③在区间02内,存在x1,x2使fx1·fx
20.2.函数fx=x2+2x+b的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数y=fx的零点个数是________.3.设函数fx=log3-a在区间12内有零点,则实数a的取值范围是________.4.方程2x-x-2=0在实数范围内的解的个数是________.5.函数y=x与函数y=lgx的图象的交点的横坐标是________.精确到
0.16.方程4x2-6x-1=0位于区间-12内的解有________个.
一、填空题1.用二分法研究函数fx=x3+3x-1的零点时,每一次经计算f00,f
0.50,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.2.函数fx=x5-x-1的一个零点所在的区间可能是________.填你认为正确的一个区间即可3.函数fx=的零点是________.4.已知二次函数y=fx=x2+x+aa0,若fm0,则在m,m+1上函数零点的个数是______________.5.已知函数fx=x-ax-b+2ab,并且α,βαβ是函数y=fx的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是________.6.若函数y=fx在区间-22上的图象是连续不断的曲线,且方程fx=0在-22上仅有一个实数根,则f-1·f1的值________.填“大于0”,“小于0”,“等于0”或“无法判断”7.已知偶函数y=fx有四个零点,则方程fx=0的所有实数根之和为________.8.若关于x的二次方程x2-2x+p+1=0的两根α,β满足0α1β2,则实数p的取值范围为______________.9.已知函数fx=ax2+2x+1a∈R,若方程fx=0至少有一正根,则a的取值范围为________.
二、解答题10.若函数fx=x3+x2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表f1=-2f
1.5=
0.625f
1.25≈-
0.984f
1.375≈-
0.260f
1.4375≈
0.162f
1.40625≈-
0.054求方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根精确到
0.1.11.分别求实数m的范围,使关于x的方程x2+2x+m+1=0,1有两个负根;2有两个实根,且一根比2大,另一根比2小;3有两个实根,且都比1大.能力提升12.已知函数fx=x|x-4|.1画出函数fx=x|x-4|的图象;2求函数fx在区间
[15]上的最大值和最小值;3当实数a为何值时,方程fx=a有三个解?13.当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在01上,另一个根在12上.1.函数与方程存在着内在的联系,如函数y=fx的图象与x轴的交点的横坐标就是方程fx=0的解;两个函数y=fx与y=gx的图象交点的横坐标就是方程fx=gx的解等.根据这些联系,一方面,可通过构造函数来研究方程的解的情况;另一方面,也可通过构造方程来研究函数的相关问题.利用函数与方程的相互转化去解决问题,这是一种重要的数学思想方法.2.对于二次方程fx=ax2+bx+c=0根的问题,从函数角度解决有时比较简洁.一般地,这类问题可从四个方面考虑
①开口方向;
②判别式;
③对称轴x=-与区间端点的关系;
④区间端点函数值的正负.习题课双基演练1.0解析 函数y=fx在区间a,b内存在零点,我们并不一定能找到x1,x2∈a,b,满足fx1·fx20,故
①、
②、
③都是错误的.2.1或2解析 当fx的图象和x轴相切与y轴相交时,函数fx的零点个数为1,当fx的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时,函数fx有2个零点.3.log321解析 fx=log31+-a在12上是减函数,由题设有f10,f20,解得a∈log321.4.2解析 作出函数y=2x及y=x+2的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个不同的根.5.
1.9解析 令fx=x-lgx,则f1=0,f3=-lg30,∴fx=0在13内有一解,利用二分法借助计算器可得近似解为
1.
9.6.2解析 设fx=4x2-6x-1,由f-10,f20,且f00,知方程4x2-6x-1=0在-10和02内各有一解,因此在区间-12内有两个解.作业设计1.
00.5,f
0.25解析 ∵f00,f
0.50,∴f0·f
0.50,故fx在
00.5必有零点,利用二分法,则第二次计算应为f=f
0.25.2.
[12]答案不唯一解析 因为f00,f10,f20,所以存在一个零点x∈
[12].3.1解析 由fx=0,即=0,得x=1,即函数fx的零点为
1.4.1解析 二次函数y=fx=x2+x+a可化为y=fx=x+2+a-,则二次函数对称轴为x=-,其图象如图.∵fm0,由图象知fm+10,∴fm·fm+10,∴fx在m,m+1上有1个零点.5.aαβb解析 函数gx=x-ax-b的两个零点是a,b.由于y=fx的图象可看作是由y=gx的图象向上平移2个单位而得到的,所以aαβb.6.无法判断解析 由题意不能断定零点在区间-11内部还是外部.故填“无法判断”.7.0解析 不妨设它的两个正零点分别为x1,x
2.由f-x=fx可知它的两个负零点分别是-x1,-x2,于是x1+x2-x1-x2=
0.8.-10解析 设fx=x2-2x+p+1,根据题意得f0=p+10,且f1=p0,f2=p+10,解得-1p
0.9.a0解析 对ax2+2x+1=0,当a=0时,x=-,不符题意;当a≠0,Δ=4-4a=0时,得x=-1舍去.当a≠0时,由Δ=4-4a0,得a1,又当x=0时,f0=1,即fx的图象过01点,fx图象的对称轴方程为x=-=-,当-0,即a0时,方程fx=0有一正根结合fx的图象;当-0,即a0时,由fx的图象知fx=0有两负根,不符题意.故a
0.10.解 ∵f
1.375·f
1.43750,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为
1.
4.11.解 1方法一 方程思想设方程的两个根为x1,x2,则有两个负根的条件是解得-1m≤
0.方法二 函数思想设函数fx=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数fx与x轴的两个交点均在y轴左侧,结合函数的图象,有解得-1m≤
0.2方法一 方程思想设方程的两个根为x1,x2,则令y1=x1-20,y2=x2-20,问题转化为求方程y+22+2y+2+m+1=0,即方程y2+6y+m+9=0有两个异号实根的条件,故有y1y2=m+90,解得m-
9.方法二 函数思想设函数fx=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数fx与x轴的两个交点分别在2的两侧,结合函数的图象,有f2=m+90,解得m-
9.3由题意知,方程思想,或函数思想,因为两方程组无解,故解集为空集.12.解 1fx=x|x-4|=图象如图所示.2当x∈
[15]时,fx≥0且当x=4时fx=0,故fxmin=0;又f2=4,f5=5,故fxmax=
5.3由图象可知,当0a4时,方程fx=a有三个解.13.解
①当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意.
②当a0时,设fx=ax2-2x+1,∵方程的根分别在区间01,12上,∴,即,解得a
1.
③当a0时,设方程的两根为x1,x2,则x1x2=0,x1,x2一正一负不符合题意.综上,a的取值范围为a
1.。