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平面与平面的位置关系第1课时 两平面平行的判定及性质【课时目标】 1.理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义.2.掌握两个平面平行的判定和性质定理,并能运用其解决一些具体问题.1.平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号表示为________________________.2.平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,________________________.符号表示为________________⇒a∥b.3.面面平行的其他性质1两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于________________,即⇒________,可用来证明线面平行;2夹在两个平行平面间的平行线段________;3平行于同一平面的两个平面________.
一、填空题1.平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a、b的位置关系是__________.2.下列各命题中假命题有________个.
①平行于同一直线的两个平面平行;
②平行于同一平面的两个平面平行;
③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行,则α∥β.3.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A
1、C
1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.4.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是________.填序号
①α内有无数条直线平行于β;
②α内不共线三点到β的距离相等;
③l、m是平面α内的直线,且l∥α,m∥β;
④l、m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥α,m∥β.5.已知α∥β且α与β间的距离为d,直线a与α相交于点A、与β相交于B,若AB=d,则直线a与α所成的角等于________.6.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC=________.7.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是________填序号.
①⇒a∥b;
②⇒a∥b;
③⇒α∥β;
④⇒α∥β;
⑤⇒α∥a;
⑥⇒a∥α.8.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________.9.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC
1、C1D
1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.
二、解答题10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC和SC的中点.求证平面EFG∥平面BDD1B1.11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证N为AC的中点.能力提升12.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线AB1,BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证EF∥平面ABCD.13.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.1求证平面MNG∥平面ACD;2求S△MNG∶S△ADC.1.判定平面与平面平行的常用方法有1利用定义,证明两个平面没有公共点,常用反证法.2利用判定定理.3利用平行平面的传递性,即α∥β,β∥γ,则α∥γ.2.平面与平面平行主要有以下性质1面面平行的性质定理.2两个平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面.3夹在两个平行平面之间的平行线段相等.1.2.4 平面与平面的位置关系第1课时 两平面平行的判定及性质答案知识梳理1.两条相交直线a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β2.那么所得的两条交线平行 3.1另一个平面 a∥β 2相等 3平行作业设计1.平行或异面 2.23.平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.4.
④ 5.60°6.4∶25解析 面α∥面ABC,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′,S△A′B′C′∶S△ABC=2=2=.7.
②③⑤⑥解析 由公理4及平行平面的传递性知
①④正确.举反例知
②③⑤⑥不正确.
②中a,b可以相交,还可以异面;
③中α,β可以相交;
⑤中a可以在α内;
⑥中a可以在α内.8.24或解析 当P点在平面α和平面β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD=.9.M∈线段FH解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,∴平面NHF∥平面B1BDD1,故线段FH上任意点M与N连结,有MN∥平面B1BDD1.10.证明 如图所示,连结SB,SD,∵F、G分别是DC、SC的中点,∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴直线FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1,又∵EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.11.证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,∴四边形ANC1M为平行四边形,∴AN綊C1M=A1C1=AC,∴N为AC的中点.12.证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线,EM、FN分别交AB、BC于M、N,连结MN.∵BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN,∵AB1=BC1,B1E=C1F,∴AE=BF,又∠B1AB=∠C1BC=45°,∴Rt△AME≌Rt△BNF,∴EM=FN.∴四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.又MN⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二 过E作EG∥AB交BB1于G,连结GF,∴=,B1E=C1F,B1A=C1B,∴=,∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD.又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面ABCD.13.1证明 1连结BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H.∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,则有===2,且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连结PF,FH,PH,有MN∥PF.又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD.2解 由1可知==,∴MG=PH.又PH=AD,∴MG=AD.同理NG=AC,MN=CD.∴△MNG∽△ACD,其相似比为1∶3.∴S△MNG∶S△ACD=1∶9.。