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3.2 空间几何体的体积【课时目标】 1.了解柱、锥、台、球的体积公式.2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题.1.柱体、锥体、台体的体积柱体V=______,V圆柱=________.锥体V=________,V圆锥=________.台体V=____________,V圆台=πhr′2+r′r+r2.其中S、S′为底面面积,h为高,r、r′为底面半径.2.球的表面积和体积S球=________,V球=__________其中R是球的半径.
一、填空题1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的________倍.2.正方体的内切球和外接球的体积之比为__________.3.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为345,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为________.4.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为________.5.设某几何体的三视图如下尺寸的长度单位为m.则该几何体的体积为________m3.6.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为________.7.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是________.8.若某几何体的三视图单位cm如图所示,则此几何体的体积是______cm3.9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后,水恰好淹没最上面的球如图所示,则球的半径是______cm.
二、解答题10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比.11.已知正三棱锥V—ABC的主视图,俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积与体积.能力提升12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体=ShV台体=hS++S′V锥体=Sh.4.“割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系.1.3.2 空间几何体的体积答案知识梳理1.Sh πr2h Sh πr2h S′++Sh2.4πR2 πR3作业设计1.2解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍,则体积扩大到原来的2倍.2.1∶3解析 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于a.两球体积之比为a3a3=1∶3.3.50π解析 外接球的直径2R=长方体的体对角线=a、b、c分别是长、宽、高.4.4∶9解析 设球半径为r,圆锥的高为h,则π3r2h=πr3,可得h∶r=4∶9.5.4解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长为4,且该边上的高为3,故所求三棱锥的体积为V=××3×4×2=4m3.6.解析 连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成,正四棱锥的高为,则八面体的体积为V=2××a2·=.7.48解析 由πR3=,得R=2.∴正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则·a=2,∴a=4.∴V=42·4=48.8.144解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而V正四棱台=82+42+×3=112,V正四棱柱=4×4×2=32,故V=112+32=144.9.4解析 设球的半径为rcm,则πr2×8+πr3×3=πr2×6r.解得r=4.10.解 截面EB1C1F将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台AEF-A1B1C1,另一部分是一个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.设棱柱的底面积为S,高为h,则△AEF的面积为S,由于V1=VAEF-A1B1C1=·h·+S+=hS,剩余的不规则几何体的体积为V2=V-V1=hS-hS=hS,所以两部分的体积之比为V1∶V2=7∶5.11.解 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2,取BC的中点D,连结VD,则VD===,∴S△VBC=×VD×BC=××2=,S△ABC=×22×=3,∴三棱锥V—ABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=3+3=3+.点V在底面ABC上的射影为H,则A,H,D三点共线,VH即为三棱锥V—ABC的高,VH====2,∴VV—ABC=S△ABC·VH=×3×2=6,所以正三棱锥的体积是6.12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·r2·3r-πr3=πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=π·h2·h=πh3,由V=V′,得h=r.即容器中水的深度为r.13.解 设正方体的棱长为a.如图所示.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4πr=πa2.
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2r2=a,r2=a,所以S2=4πr=2πa2.
③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4πr=3πa2.综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.。