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习题课2课时目标
1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式;
2.掌握数列求和的几种基本方法.1.等差数列的前n项和公式Sn=____________=____________.2.等比数列前n项和公式
①当q=1时,Sn=________;
②当q≠1时,Sn=____________=__________.3.数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=______________________.4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式1=_____________________________________________________________;2=________________________________________________________;3=__________________________________________________________.
一、填空题1.一个数列{an},其中a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第5项是________.2.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5=________.3.数列{an}的通项公式an=,若前n项的和为10,则项数为________.4.在数列{an}中,an+1=,对所有正整数n都成立,且a1=2,则an=______.5.数列1,2,3,4,…的前n项和为__________________.6.已知数列{an}的通项an=2n+1,由bn=所确定的数列{bn}的前40项之和是________.7.在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________.8.已知Sn=1-2+3-4+…+-1n-1n,则S17+S33+S50=________.9.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=________.10.数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,an+1=Snn≥1,则an=____________.
二、解答题11.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.1求an及Sn;2令bn=n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.12.设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-
1.1求数列{an}的通项公式;2令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.能力提升13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=________.14.已知正项数列{an}的前n项和Sn=an+12,求{an}的通项公式.1.递推公式是表示数列的一种重要方法.由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式.其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.2.求数列前n项和,一般有下列几种方法错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等,学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法.习题课2答案知识梳理
1. na1+d
2.
①na1
②
3.
4.1- 2-3-作业设计1.-
62.解析 ∵an==-,∴S5=1-+-+…+-=1-=.3.120解析 ∵an==-,∴Sn=-1=10,∴n=
120.
4.解析 ∵an+1=,∴=+.∴是等差数列且公差d=.∴=+n-1×=+=,∴an=.
5.n2+n+2-解析 1+2+3+…+n+=1+2+…+n+++…+=+=n2+n+1-=n2+n+2-.6.900解析 a1+a2+…+an=2n+4=n2+2n.∴bn=n+2,∴bn的前n项和Sn=,∴S40=
900.7.1473解析 100内所有能被3整除的数的和为S1=3+6+…+99==
1683.100内所有能被21整除的数的和为S2=21+42+63+84=
210.∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1-S2=1683-210=
1473.8.1解析 S17=1-2+3-4+…+15-16+17=9,S33=1-2+3-4+…+31-32+33=17,S50=1-2+3-4+…+49-50=-25,所以S17+S33+S50=
1.9.2n-1解析 由于an-an-1=1×2n-1=2n-1,那么an=a1+a2-a1+…+an-an-1=1+2+…+2n-1=2n-
1.
10.解析 an+1=Sn,an+2=Sn+1,∴an+2-an+1=Sn+1-Sn=an+1,∴an+2=an+1n≥1.∵a2=S1=,∴an=.11.解 1设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因为a3=7,a5+a7=26,所以解得所以an=3+2n-1=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.所以,an=2n+1,Sn=n2+2n.2由1知an=2n+1,所以bn===·=·,所以Tn=·1-+-+…+-=·1-=,即数列{bn}的前n项和Tn=.12.解 1由已知,当n≥1时,an+1=[an+1-an+an-an-1+…+a2-a1]+a1=322n-1+22n-3+…+2+2=22n+1-
1.而a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=22n-
1.2由bn=nan=n·22n-1知Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,
①从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+
1.
②①-
②得1-22Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即Sn=[3n-122n+1+2].13.2+lnn解析 ∵an+1=an+ln,∴an+1-an=ln=ln=lnn+1-lnn.又a1=2,∴an=a1+a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=2+[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-lnn-1]=2+lnn-ln1=2+lnn.14.解 当n=1时,a1=S1,所以a1=a1+12,解得a1=
1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+12-an-1+12=a-a+2an-2an-1,∴a-a-2an+an-1=0,∴an+an-1an-an-1-2=
0.∵an+an-10,∴an-an-1-2=
0.∴an-an-1=
2.∴{an}是首项为1,公差为2的等差数列.∴an=1+2n-1=2n-
1.。