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习题课课时目标 .1.复数乘方的性质对任何z,z1,即z∈C及m、n∈N*,有zm·zn=________zmn=zmnz1z2n=zz2.n∈N*时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
一、填空题1.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是____________.2.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则=______.3.设C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,取C为全集,下列命题正确的是____________请填写相应的序号.
①R∪I=C;
②R∩I={0};
③C∩I=∁IR;
④R∩I=∅.4.表示为a+bia,b∈R,则a+b=________.5.设复数z1=1+i,z2=x+2ix∈R,若z1·z2为实数,则x=________.6.已知复数z满足+1+2i=10-3i,则z=________.7.复数z满足1+2iz=4+3i,则=________.8.若x是实数,y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=________,y=________.
二、解答题9.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.10.解方程x2-2+3ix+5+3i=
0.能力提升11.已知z是虚数,且z+是实数,求证是纯虚数.12.满足z+是实数,且z+3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在,若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.1.对于复数运算中的分式,要先进行分母实数化.2.充分利用复数相等的条件解方程问题.习题课答案知识梳理1.zm+n作业设计1.3-3i解析 3i-的虚部为33i2+i的实部为-3,故所求复数为3-3i.2.±i解析 设z=x+yix,y∈R,则=x-yi,依题意2x=4且x2+y2=8,解之得x=2,y=±
2.∴===±i.3.
④解析 复数的概念,纯虚数集和实数集都是复数集的真子集,但其并集不是复数集,当ab≠0时,a+bi不是实数也不是纯虚数,利用韦恩图可得出结果.4.1解析 ∵==i,∴a=0,b=1,因此a+b=
1.5.-2
6.9+5i7.2+i解析 z====2-i.∴=2+i.8. 2i解析 设y=bib≠0,∴,∴x=.9.解 设z=a+bia,b∈R,则=a-bia,b∈R,由题意得a+bia-bi-3ia-bi=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则解得或所以z=-1或z=-1+3i.10.解 设x=a+bia,b∈R,则有a2-b2+2abi-[2a-3b+3a+2bi]+5+3i=0,根据复数相等的充要条件得解得或故方程的解为x=1+4i或x=1-i.11.证明 设z=a+bia、b∈R,于是z+=a+bi+=a+bi+=a++i.∵z+∈R,∴b-=
0.∵z是虚数,∴b≠0,∴a2+b2=1且a≠±
1.∴=====i.∵b≠0,a≠-1,a、b∈R,∴i是纯虚数,即是纯虚数.12.解 设存在虚数z=x+yix、y∈R且y≠0.因为z+=x+yi+=x++i.由已知得因为y≠0,所以解得或所以存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足以上条件.。