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第3章 数系的扩充与复数的引入B时间120分钟 满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.若x2-1+x2+3x+2i是纯虚数,则实数x的值是________.2.复数1+=__________.3.如图,设向量,,,所对应的复数分别为z1,z2,z3,z4,那么z2+z4-2z3=______________.4.已知z是纯虚数,是实数,那么z=__________.5.设z=1+ii是虚数单位,则z+z+=______.6.定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为________.7.若m+i3∈R,则实数m的值为________.8.设复数z满足条件|z|=1,那么|z+2+i|的最大值为________.9.若是方程x2+px+1=0的一个根,则p=________.10.在复平面上复数-1+i、
0、3+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为________.11.在复平面内,复数对应点的坐标为________.12.下列命题,正确的是________.填序号
①复数的模总是正实数;
②虚轴上的点与纯虚数一一对应;
③相等的向量对应着相等的复数;
④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数.13.设z1=1+i,z2=-2+2i,复数z1和z2在复平面内对应点分别为A、B,O为坐标原点,则△AOB的面积为________.14.若复数z=2+2i对应的点为Z,则向量所在直线的倾斜角θ=________.
二、解答题本大题共6小题,共90分15.14分计算+5+i19-
22.16.14分已知复数x2+x-2+x2-3x+2ix∈R是4-20i的共轭复数,求实数x的值.17.14分实数k为何值时,复数1+ik2-3+5ik-22+3i满足下列条件?1是实数;2是虚数;3是纯虚数.18.16分在复平面内,点P、Q对应的复数分别为z
1、z2,且z2=2z1+3-4i,|z1|=1,求点Q的轨迹.19.16分已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根b、c为实数.1求b,c的值;2试说明1-i也是方程的根吗?20.16分已知复数z1=i1-i3,1求|z1|;2若|z|=1,求|z-z1|的最大值.第3章 数系的扩充与复数的引入B答案1.1解析 ∵x2-1+x2+3x+2i是纯虚数,∴∴x=
1.2.1+2i解析 1+=1-=1+2i.3.0解析 ∵z2+z4-2z3=z2-z3+z4-z3,而z2-z3对应的向量运算为-=-=,z4-z3对应的向量运算为-=,又∵+=0,∴z2+z4-2z3=
0.4.-2i解析 设z=bib≠0,则===.因为是实数,所以2+b=0,∴b=-2,∴z=-2i.5.4解析 z+z+=1+i1-i+1+i+1-i=2+2=
4.6.3-i解析 =zi+z=z1+i=4+2i,∴z====3-i.7.±解析 因为m+i3∈R,m+i3=m3-3m+3m2-1i,所以3m2-1=0,解得m=±.8.4解析 复数z满足条件|z|=1,z所对应的点的轨迹是单位圆,而|z+2+i|即表示单位圆上的动点到定点-2,-1的距离.从图形上可得|z+2+i|的最大值是
4.9.1解析 已知是方程x2+px+1=0的一个根,则x=满足方程,代入得2+p·+1=0,整理得1-p+=0,解得p=
1.10.解析 对应的复数为-1+i,对应的复数为3+2i,∵=+,∴对应的复数为-1+i+3+2i=2+3i.∴BD的长为.11.-11解析 ==i1+i=-1+i.∴复数对应点的坐标为-11.12.
③13.2解析 由题意知=11,=-22,且||=|z1|=,||=|z2|==
2.∴cos∠AOB===
0.∴∠AOB=,∴S△AOB=||·||=××2=
2.14.解析 由题意=2,2,∴tanθ==,即θ=.15.解 原式=+5+i3-=i+5-i-i11=5-i3=5+i.16.解 因为复数4-20i的共轭复数为4+20i,由题意得x2+x-2+x2-3x+2i=4+20i,根据复数相等的定义,得方程
①的解为x=-3或x=2,方程
②的解为x=-3或x=
6.∴x=-
3.17.解 1+ik2-3+5ik-22+3i=k2-3k-4+k2-5k-6i.1当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,该复数为实数.2当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,该复数为虚数.3当即k=4时,该复数为纯虚数.18.解 ∵z2=2z1+3-4i,∴2z1=z2-3+4i.又|2z1|=2,∴|z2-3+4i|=2,即|z2-3-4i|=
2.由模的几何意义知点Q的轨迹是以3,-4为圆心,2为半径的圆.19.解 1因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴1+i2+b1+i+c=0,即b+c+2+bi=
0.∴,得.∴b=-2,c=
2.2方程为x2-2x+2=
0.把1-i代入方程左边得1-i2-21-i+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.20.解 方法一 1z1=i1-i3=i-2i1-i=21-i,∴|z1|==
2.方法二 |z1|=|i1-i3|=|i|×|1-i|3=1×3=
2.2∵|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|==.∴当sin=1时,|z-z1|2取得最大值9+4,从而得到|z-z1|的最大值为2+
1.。