还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
能力提升
一、选择题1.2013内蒙古包头一中已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|= A.B.C.D.4[答案] C[解析] 易知|a|=1,|b|=1,a·b=,∴|a+3b|2=a+3b2=a2+6a·b+9b2=13,∴|a+3b|=.2.2011~2012·广东佛山高三质检已知向量a=11,2a+b=42,则向量a、b的夹角为 A.B.C.D.[答案] B[解析] 由于2a+b=42,则b=42-2a=20,则a·b=2,|a|=,|b|=
2.设向量a,b的夹角为θ,则cosθ==.又θ∈[0,π],所以θ=.3.2011~2012·重庆南开中学平面向量a与b的夹角为60°,a=20,|b|=1,则a·b= A.B.1C.D.[答案] B[解析] |a|=2,a·b=|a|·|b|·cos60°=2×1×=
1.4.2012·全国高考重庆卷设x、y∈R,向量a=x1,b=1,y,c=2,-4且a⊥c,b∥c,则|a+b|= A.B.C.2D.10[答案] B[解析] 由a⊥c,得2x-4=0 则x=2,由b∥c得-4=2y则y=-2,|a+b|==[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式,解决问题的关键在于根据a⊥c,b∥c,得到x,y的值,只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算5.已知向量a=,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b等于 A.B.C.D.10[答案] B[解析] 方法1令b=x,yy≠0,则将
②代入
①得x2+-x2=1,即2x2-3x+1=0,∴x=1舍去,此时y=0或x=⇒y=.方法2排除法,D中y=0不合题意;C不是单位向量,舍去;代入A,不合题意,故选B.6.2011~2012·河北省正定中学模拟已知向量a=2cosθ,2sinθ,b=0,-2,θ∈,则向量a、b的夹角为 A.-θB.θ-C.+θD.θ[答案] A[解析] 解法一由三角函数定义知a的起点在原点时,终点落在圆x2+y2=4位于第二象限的部分上∵θπ,设其终点为P,则∠xOP=θ,∴a与b的夹角为-θ.解法二cos〈a,b〉===-sinθ=cos,∵θ∈,∴-θ∈,又〈a,b〉∈0,π,∴〈a,b〉=-θ.
二、填空题7.设a=12,b=1,m,若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是________.[答案] [解析] ∵a与b的夹角为钝角,设为θ,则cosθ0且cosθ≠-1,∴解得m-.8.2013·新课标理已知两个单位向量a、b的夹角为60°,c=ta+1-tb,若b·c=0,则t=________.[答案] 2[解析] ∵|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b=,|b|2=1,∵b·c=ta·b+1-tb=t+1-t=1-t=0,∴t=
2.9.2011~2012·金华十校△ABO三顶点坐标为A
10、B
02、O
00、Px,y是坐标平面内一点,满足·≤0,·≥0,则·的最小值为________.[答案] 3[解析] ∵·=x-1,y·10=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1,∵·=x,y-2·02=2y-2≥0,∴y≥
2.∴·=x,y·-12=2y-x≥
3.
三、解答题10.已知平面向量a=34,b=9,x,c=4,y,且a∥b,a⊥c.1求b和c;2若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.[解析] 1∵a∥b,∴3x-36=
0.∴x=
12.∵a⊥c,∴3×4+4y-0=
0.∴y=-
3.∴b=912,c=4,-3.2m=2a-b=68-912=-3,-4,n=a+c=34+4,-3=71,设m,n的夹角为θ,则cosθ====-.∵θ∈[0,π],∴θ=,即m,n的夹角为.11.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=10,e2=01.1试计算a·b及|a+b|的值;2求向量a与b夹角的余弦值.[解析] 1a=e1-e2=10-01=1,-1,b=4e1+3e2=410+301=43,∴a·b=4×1+3×-1=1,|a+b|===.2由a·b=|a||b|cosθ,∴cosθ===.12.已知a=10,b=01,当k为整数时,向量m=ka+b与n=a+kb的夹角能否为60°?证明你的结论.[解析] 假设m、n的夹角能为60°,则cos60°=,∴m·n=|m||n|.
①又∵a=10,b=01,∴|a|=|b|=1,且a·b=
0.∴m·n=ka2+a·b+k2a·b+kb2=2k,
②|m||n|=·=k2+
1.
③由
①②③,得2k=k2+1.∴k2-4k+1=
0.∵该方程无整数解.∴m、n的夹角不能为60°.。