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能力提升
一、选择题1．2013内蒙古包头一中已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝ A.B.C.D．4[答案] C[解析] 易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝，∴|a＋3b|2＝a＋3b2＝a2＋6a·b＋9b2＝13，∴|a＋3b|＝.2．2011～2012·广东佛山高三质检已知向量a＝11，2a＋b＝42，则向量a、b的夹角为 A.B.C.D.[答案] B[解析] 由于2a＋b＝42，则b＝42－2a＝20，则a·b＝2，|a|＝，|b|＝
2.设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.3．2011～2012·重庆南开中学平面向量a与b的夹角为60°，a＝20，|b|＝1，则a·b＝ A.B．1C.D.[答案] B[解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝
1.4．2012·全国高考重庆卷设x、y∈R，向量a＝x1，b＝1，y，c＝2，－4且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ A.B.C．2D．10[答案] B[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a⊥c，b∥c，得到x，y的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算5．已知向量a＝，1，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 A.B.C.D．10[答案] B[解析] 方法1令b＝x，yy≠0，则将
②代入
①得x2＋－x2＝1，即2x2－3x＋1＝0，∴x＝1舍去，此时y＝0或x＝⇒y＝.方法2排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.6．2011～2012·河北省正定中学模拟已知向量a＝2cosθ，2sinθ，b＝0，－2，θ∈，则向量a、b的夹角为 A.－θB．θ－C.＋θD．θ[答案] A[解析] 解法一由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上∵θπ，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ.解法二cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ＝cos，∵θ∈，∴－θ∈，又〈a，b〉∈0，π，∴〈a，b〉＝－θ.
二、填空题7．设a＝12，b＝1，m，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是________．[答案] [解析] ∵a与b的夹角为钝角，设为θ，则cosθ0且cosθ≠－1，∴解得m－.8．2013·新课标理已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋1－tb，若b·c＝0，则t＝________.[答案] 2[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋1－tb＝t＋1－t＝1－t＝0，∴t＝
2.9．2011～2012·金华十校△ABO三顶点坐标为A
10、B
02、O
00、Px，y是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵·＝x－1，y·10＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵·＝x，y－2·02＝2y－2≥0，∴y≥
2.∴·＝x，y·－12＝2y－x≥
3.
三、解答题10．已知平面向量a＝34，b＝9，x，c＝4，y，且a∥b，a⊥c.1求b和c；2若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．[解析] 1∵a∥b，∴3x－36＝
0.∴x＝
12.∵a⊥c，∴3×4＋4y－0＝
0.∴y＝－
3.∴b＝912，c＝4，－3．2m＝2a－b＝68－912＝－3，－4，n＝a＋c＝34＋4，－3＝71，设m，n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.11．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝10，e2＝01．1试计算a·b及|a＋b|的值；2求向量a与b夹角的余弦值．[解析] 1a＝e1－e2＝10－01＝1，－1，b＝4e1＋3e2＝410＋301＝43，∴a·b＝4×1＋3×－1＝1，|a＋b|＝＝＝.2由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝＝＝.12．已知a＝10，b＝01，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．[解析] 假设m、n的夹角能为60°，则cos60°＝，∴m·n＝|m||n|.
①又∵a＝10，b＝01，∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝
0.∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，
②|m||n|＝·＝k2＋
1.
③由
①②③，得2k＝k2＋1．∴k2－4k＋1＝
0.∵该方程无整数解．∴m、n的夹角不能为60°.。
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