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巩固1.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A.=+B.=-C.=-+D.=--解析选B.由减法的定义可知=-,B项正确.2.2009年高考湖南卷如图,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则 [来源:学科网]A.++=0B.-+=0C.+-=0D.--=0解析选A.++=++=++=
0.3.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则= A.2-B.-+2C.-D.-+解析选A.=+=+2=+2-,∴=2-.故选A.4.已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若-3+2=0,则等于________.解析由已知得-+2-=+2=0⇒=2,根据数乘的意义可得=
2.答案2[来源:学§科§网]5.原创题设a,b是两个不共线的向量,若=2a+kb,=a+b,=2a-b,且A,B,D三点共线,则实数k的值等于________.解析由于A,B,D三点共线,故∥,又=2a+kb,=-=a-2b,故由2a+kb=λa-2b可解得k=-
4.答案-46.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E、F分别是DC、AB的中点,设=a,=b,试用a,b表示,,.解∵DC∥AB,AB=2DC,E、F分别是DC、AB的中点,∴==a,===b.=++=--+=-×b-a+b=b-a.[来源:学|科|网Z|X|X|K]练习1.下列结论中,不正确的是 A.向量,共线与向量∥同义B.若向量∥,则向量与共线C.若向量=,则向量=D.只要向量a,b满足|a|=|b|,就有a=b解析选D.根据平行向量或共线向量定义知A、B均正确;根据向量相等的概念知C正确,D不正确.2.设a,b是任意的两个向量,λ∈R,给出下面四个结论
①若a与b共线,则b=λa.
②若b=-λa,则a与b共线.
③若a=λb,则a与b共线.
④当b≠0时,a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ=λ1,使得a=λ1b.其中,正确的结论有 A.
①②B.
①③C.
①③④D.
②③④解析选D.
①a=0,b≠0时,不成立,
②③④均正确.
3.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2,=2,=2,则++与 A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解析选A.=+=+,=+=+,=+=+,∴++=++=++=+=-.故选A.4.已知平面内有一点P及一个△ABC,若++=,则 A.点P在△ABC外部B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上解析选D.∵++=,∴++-=0,即+++=0,∴++=0,2=,∴点P在线段AC上.5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于 A.B.C.-D.-解析选A.法一∵A、D、B三点共线,∴+λ=1,∴λ=.故选A.法二∵=2,∴=,[来源:学科网ZXXK]∴=+=+=+-=+=+λ,∴λ=,故选A.6.设两个向量a=λ+2,λ2-cos2α,b=m,+sinα,其中λ,m,α为实数.若a=2b,则的取值范围是 A.[-61]B.
[48]C.-∞,1]D.[-16]解析选A.∵a=2b.∴消去λ,得4m2-8m+4-cos2α=m+2sinα,即4m2-9m+2=-sinα-
12.∵-1≤sinα≤1,∴-4≤-sinα-12≤0,∴-4≤4m2-9m+2≤0,解得≤m≤2,∴==2-∈[-61].7.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-b-3a共线,则λ=________.解析由已知得a+λb=-kb-3a,∴,解得.答案-8.设e1,e2是不共线向量,e1-4e2与ke1+e2共线,则实数k的值为________.解析由题意e1-4e2=λke1+e2=kλe1+λe2,∴ ∴k=-.答案-9.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为________.解析=+=+,∵M,O,N三点共线,∴+=1,∴m+n=
2.答案210.如图所示,D、E分别是△ABC中AB、AC边中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和.解由三角形中位线定理知DE綊BC.故=,即=a.=++=-a+b+a=-a+b.=++=++=-a-b+a=a-b.
11.设i、j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且=-2i+mj,=ni+j,=5i-j,若点A、B、C在同一条直线上,且m=2n,求实数m、n的值.解=-=n+2i+1-mj,=-=5-ni+-2j.∵点A、B、C在同一条直线上,∴∥,即=λ,∴n+2i+1-mj=λ[5-ni+-2j],∴,解得或.[来源:Zxxk.Com]12.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.解设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2∵A、P、M和B、P、N分别共线,∴存在实数λ、μ使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,故=-=λ+2μe1+3λ+μe
2.而=+=2e1+3e2∴解得故=,即AP∶PM=4∶
1.。