2014届高考数学（理科）专题教学案：三角恒等变换与解三角形（含答案）

常考问题7　三角恒等变换与解三角形[真题感悟]1．2013·湖南卷改编在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于________．解析　在△ABC中，利用正弦定理得3sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.又A为锐角，∴A＝.答案　2．2012·江苏卷设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．解析　由条件可得cos＝2ccs2－1＝，sin＝，所以sin＝sin＝＝.答案　3．2010·江苏卷在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________.解析　＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b26ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.＋＝·＝·＝·由正弦定理得上式＝·＝

4.答案　44．2013·福建卷如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．解析　sin∠BAC＝sin＋∠BAD＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝.BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝32＋32－2×3×3×＝3，即BD＝.答案　[考题分析]高考对本内容的考查主要有1两角和差的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．2正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式1sinα±β＝sinαcosβ±cosαsinβ.2cosα±β＝cosαcosβ∓sinαsinβ.3tanα±β＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1sin2α＝2sinαcosα.2cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.3tan2α＝.3．正弦定理＝＝＝2R2R为△ABC外接圆的直径．变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论cosA＝，cosB＝，cosC＝.5．三角形面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.6．三角恒等变换的基本思路1“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．2角的变换是三角变换的核心，如β＝α＋β－α，2α＝α＋β＋α－β，＝－等．7．解三角形的四种类型及求解方法1已知两角及一边，利用正弦定理求解．2已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．3已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．4已知三边，利用余弦定理求解．8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.热点一　三角变换及应用【例1】1已知0βαπ，且cos＝－，sin＝，求cosα＋β的值；2已知α，β∈0，π，且tanα－β＝，tanβ＝－，求2α－β的值．解　1∵0βαπ，∴－－β，α－π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cosα＋β＝2cos2－1＝2×－1＝－.2tanα＝tan[α－β＋β]＝＝＝，tan2α－β＝tan[α＋α－β]＝＝＝

1.∵tanα＝0，∴0α，∴02απ.又tan2α＝＝0，∴02a.∵tanβ＝－0，∴βπ，∴－π2α－β

0.∴2α－β＝－.[规律方法]1要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝α＋β－β，α＝＋等．2由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．【训练1】2013·广东卷已知函数fx＝cos，x∈R.1求f的值；2若cosθ＝，θ∈，求f.解　1f＝cos＝cos＝cos＝

1.2f＝cos＝2cos＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，∴f＝cos2θ－sin2θ＝－＋＝.热点二　正、余弦定理的应用【例2】2013·苏锡常镇模拟△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝.1求A·A；2若c－b＝1，求a的值．解　1由cosA＝，且0Aπ，得sinA＝＝.又S△ABC＝bcsinA＝30，所以bc＝156，所以A·A＝bccosA＝156×＝

144.2由1知bc＝156，又cosA＝，c－b＝1，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝c－b2＋2bc1－cosA＝1＋2×156×＝25，所以a＝5[规律方法]求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cosA，可求出sinA，二要注意求解本题第2问时，应该结合第1问中的结论．【训练2】2013·山东卷设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.1求a，c的值；2求sinA－B的值．解　1由余弦定理，得cosB＝＝＝，即a2＋c2－4＝ac.∴a＋c2－2ac－4＝ac，∴ac＝

9.由得a＝c＝

3.2在△ABC中，cosB＝，∴sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinA＝＝＝.又∵a＝c，∴A＝C，∴0A，∴cosA＝＝，∴sinA－B＝sinAcosB－cosAsinB＝×－×＝.热点三　解三角形在实际问题中的应用【例3】2012·南师附中模拟如图，现有一个以∠AOB为圆心角，湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC弧AC在扇形AOB的弧AB上，半径OC和线段CD其中CD∥OA，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝1km，∠AOB＝，∠AOC＝θ.1用θ表示CD的长度；2求所需渔网长度即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和的取值范围．解　1由CD∥OA，∠AOB＝，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝，∠COD＝－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝sin，θ∈；2设渔网的长度为fθ．由1可知，fθ＝θ＋1＋sin.所以f′θ＝1－cos，因为θ∈，所以－θ∈，令f′θ＝0，得cos＝，所以－θ＝，所以θ＝.当θ变化时，f′θ，fθ的变化状态如下表θf′θ＋0－fθ极大值所以fθ∈.故所需渔网长度的取值范围是.[规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步1分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；2根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；3将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．4检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【训练3】2013·盐城模拟某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，1设AB＝x米，cosA＝fx，求fx的解析式，并指出x的取值范围．2求四边形ABCD面积的最大值．解　1在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA.同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC.因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cosA.即x2＋9－x2－2x9－xcosA＝x2＋5－x2＋2x5－xcosA.解得cosA＝，即fx＝，其中x∈25．2四边形ABCD的面积S＝AB·AD＋CB·CD·sinA＝[x5－x＋x9－x].＝x7－x＝＝.记gx＝x2－4x2－14x＋49，x∈25．由g′x＝2xx2－14x＋49＋x2－42x－14＝2x－72x2－7x－4＝0，解得x＝4x＝7和x＝－舍．所以函数gx在区间24内单调递增，在区间45内单调递减．因此gx的最大值为g4＝12×9＝

108.所以S的最大值为＝

6.故所求四边形ABCD面积的最大值为6m

2.备课札记　。