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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学
2015.1考生须知1.本试卷共6页,共五道大题,25道小题,满分120分考试时间120分钟2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效4.在答题卡上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回
一、选择题本题共32分,每小题4分下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.二次函数的最大值是A.B.C.1D.22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线上一点,如果∠ADE=120°,那么∠B等于A.130°B.120°C.80°D.60°3.下列手机软件图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD4.把抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线A.B.C.D.5.△ABC与△A′B′C′是位似图形,且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2,如果△ABC的面积是3,那么△A′B′C′的面积等于A.3B.6C.9D.126.如果关于x的一元二次方程有实数根,那么m的取值范围是A.m>2B.m≥3C.m<5D.m≤57.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=,AC=12,BC=5,CD⊥AB于点D,那么的值是A.B.C.D.8.如图,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.如果抛物线经过图中的三个格点,那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”.设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A,B,其顶点为C,如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形,,且点A,B,C的横坐标,,满足<<,那么符合上述条件的抛物线条数是A.7B.8C.14D.16
二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.在平面直角坐标系xOy中,点在反比例函数的图象上,x轴于点B,那么△AOB的面积等于 .10.如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′,使AB′∥CB,CB,AC′的延长线相交于点D,如果∠D=28°,那么 °.11.如图,点D为△ABC外一点,AD与BC边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使△BDE∽△ACE,且点B,D的对应点为A,C,那么线段CE的长应等于.12.在平面直角坐标系xOy中,,(其中),点P在以点为圆心,半径等于2的圆上,如果动点P满足,
(1)线段的长等于(用含m的代数式表示);
(2)m的最小值为.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.计算.14.解方程.15.如图,在⊙中,点P在直径AB的延长线上,PC,PD与⊙相切,切点分别为点C,点D,连接交AB于点E.如果⊙的半径等于,,求弦的长.16.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上,将△绕点A顺时针方向旋转90°得到△.
(1)在正方形网格中,画出△;
(2)计算线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积.(结果保留)17.某商店以每件20元的价格购进一批商品,若每件商品售价a元,则每天可卖出件.如果商店计划要每天恰好盈利8000元,并且要使每天的销售量尽量大,求每件商品的售价是多少元.18.如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点,求实数a的值.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上,在A的正东400米的B处,测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上.问灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米?(取
1.732,结果精确到1米)20.如图,在正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中顶点E,F,G分别在AB,BC,FD上.
(1)求证△EBF∽△FCD;
(2)连接DH,如果BC=12,BF=3,求的值.21.如图,在⊙O中,弦BC,BD关于直径AB所在直线对称.E为半径OC上一点,,连接AE并延长交⊙O于点F,连接DF交BC于点M.
(1)请依题意补全图形;
(2)求证;
(3)求的值.22.已知抛物线C.抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C变换后的抛物线
(1)补全表中A,B两点的坐标,并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C;
(2)将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的,可证明得到的曲线仍是抛物线,(记为),且抛物线的顶点是抛物线C的顶点的对应点,求抛物线对应的函数表达式.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)23.如图,在平面直角坐标系xOy中,点,在反比例函数(m为常数)的图象G上,连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C,过点A的直线l与x轴的交点为点,过点C作CE∥x轴交直线l于点E.
(1)求m的值及直线l对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)求证.24.如图,等边三角形ABC的边长为4,直线l经过点A并与AC垂直.当点P在直线l上运动到某一位置(点P不与点A重合)时,连接PC,并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ,记点P的对应点为Q,线段PA的长为m().
(1)
①=;
②如图1,当点P与点B在直线AC的同侧,且时,点Q到直线l的距离等于;
(2)当旋转后的点Q恰好落在直线l上时,点P,Q的位置分别记为,.在图2中画出此时的线段及△,并直接写出相应m的值;
(3)当点P与点B在直线AC的异侧,且△PAQ的面积等于时,求m的值.25.如图1,对于平面上不大于的,我们给出如下定义若点P在的内部或边界上,作于点E,于点,则称为点P相对于的“点角距离”,记为.如图2,在平面直角坐标系xOy中,对于,点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点,且满足5,点P运动形成的图形记为图形G.
(1)满足条件的其中一个点P的坐标是,图形G与坐标轴围成图形的面积等于;
(2)设图形G与x轴的公共点为点A,已知,,求的值;
(3)如果抛物线经过
(2)中的A,B两点,点Q在A,B两点之间的抛物线上(点Q可与A,B两点重合),求当取最大值时,点Q的坐标.北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题(本题共32分,每小题4分)题号12345678答案ABBCDDBC
二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.3.
10.28.
11..
12.
(1)m;
(2)
3.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.解………………………………………………………3分…………………………………………………………………………………5分14.解.∵,,,………………………………………………………1分∴.………………………………………………2分∴………………………………………………3分.∴原方程的解是,.……………………………………5分15.解连接OC.(如图1)∵PC,PD与⊙相切,切点分别为点C,点D,∴OC⊥PC,………………………………………………………………………1分PC=PD,∠OPC=∠OPD.∴CD⊥OP,CD=2CE.…………………………2分∵,∴.……………3分设OE=k,则CE=2k,.()∵⊙的半径等于,∴,解得.∴CE=6.…………………………………………………………………………4分∴CD=2CE=12.…………………………………………………………………5分16.
(1)画图见图2.……………………………2分
(2)由图可知△是直角三角形,AC=4,BC=3,所以AB=5.……………………3分线段AB在旋转到的过程中所扫过区域是一个扇形,且它的圆心角为90°,半径为5.………………………………………4分∴.……………………………………5分所以线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积为.17.解根据题意,得.(20≤a≤80)……………………1分整理,得.可得.解方程,得,.……………………………………………………3分当时,(件).当时,(件).因为要使每天的销售量尽量大,所以.…………………………………4分答商店计划要每天恰好盈利8000元,并且要使每天的销售量尽量大,每件商品的售价应是40元.………………………………………………………………………5分18.解
(1)当时,函数的图象与x轴只有一个公共点成立.…………1分
(2)当a≠0时,函数是关于x的二次函数.∵它的图象与x轴只有一个公共点,∴关于x的方程有两个相等的实数根.………2分∴.………………………………………………3分整理,得.解得.……………………………………………………………5分综上,或.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.解如图3,由题意,可得∠PAC=30°,∠PBC=60°.…………………………………………2分∴.∴∠PAC=∠APB.∴PB=AB=400.……………………………3分在Rt△PBC中,∠PCB=90°,∠PBC=60°,PB=400,∴≈346(米).………………4分答灯塔P到环海路的距离PC约等于346米.……………………………………5分20.
(1)证明如图4.∵正方形ABCD,正方形EFGH,∴∠B=∠C=90°,∠EFG=90°,BC=CD,GH=EF=FG.又∵点F在BC上,点G在FD上,∴∠DFC+∠EFB=90°,∠DFC+∠FDC=90°,∴∠EFB=∠FDC.……………………1分∴△EBF∽△FCD.……………………2分
(2)解∵BF=3,BC=CD=12,∴CF=9,.由
(1)得.∴.……………………………………………3分∴.……………………………………4分.∴.…………………………………………………5分21.
(1)补全图形见图5.…………………………………………1分
(2)证明∵弦BC,BD关于直径AB所在直线对称,∴∠DBC=2∠ABC.……………………………2分又∵,∴.……………………………3分
(3)解∵,∴∠A=∠D.又∵,∴△AOE∽△DBM.………………………………………………………4分∴.∵,OA=OC,∴.∵弦BC,BD关于直径AB所在直线对称,∴BC=BD.∴.…………………………………………………………5分22.解
(1),.………………………………………………………2分画图象见图6.………………………………………………………………3分
(2)由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标变换后的抛物线设抛物线对应的函数表达式为.(a≠0)∵抛物线与y轴交点的坐标为,∴.解得.∴.………5分∴抛物线对应的函数表达式为.说明其他正确解法相应给分.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)23.解
(1)∵点在反比例函数(m为常数)的图象G上,∴.………………………………………………………………1分∴反比例函数(m为常数)对应的函数表达式是.设直线l对应的函数表达式为(k,b为常数,k≠0).∵直线l经过点,,∴解得∴直线l对应的函数表达式为.………………………………2分
(2)由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为.…………3分∵CE∥x轴交直线l于点E,∴.∴点E的坐标为.…………………………………………………4分
(3)如图7,作AF⊥CE于点F,与过点B的y轴的垂线交于点G,BG交AE于点M,作CH⊥BG于点H,则BH∥CE,.∵,,,∴点F的坐标为.∴CF=EF.∴AC=AE.∴∠ACE=∠AEC.…………………………5分∵点在图象G上,∴,∴,,.在Rt△ABG中,,在Rt△BCH中,,∴.…………………………………………………………6分∴.∵,,∴∠BAE=∠ACB.……………………………………………………………7分24.解
(1)
①=90;………………………………………………………………1分
②m=3时,点Q到直线l的距离等于.………………………………2分
(2)所画图形见图8.…………………………3分.………………………………4分
(3)作BG⊥AC于点G,过点Q作直线l的垂线交l于点D,交BG于点F.∵CA⊥直线l,∴∠CAP=90.易证四边形ADFG为矩形.∵等边三角形ABC的边长为4,∴∠ACB=60,,.∵将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ,∴△ACP≌△BCQ.∴AP=BQ=m,∠PAC=∠QBC=90.∴∠QBF=60.在Rt△QBF中,∠QFB=90,∠QBF=60,BQ=m,∴.……………………………………………………………5分要使△PAQ存在,则点P不能与点A,重合,所以点P的位置分为以下两种情况1如图9,当点P在
(2)中的线段上(点P不与点A,重合)时,可得,此时点Q在直线l的下方. ∴. ∵, ∴.整理,得.解得或.经检验,或在的范围内,均符合题意.…7分2如图10,当点P在
(2)中的线段的延长线上(点P不与点A,重合)时,可得,此时点Q在直线l的上方.∴.∵,∴..整理,得.解得(舍负).经检验,在的范围内,符合题意.…………8分综上所述,或或时,△PAQ的面积等于.25.解
(1)满足条件的其中一个点P的坐标是;…………………………………1分(说明点的坐标满足,0≤x≤5,0≤y≤5均可)图形G与坐标轴围成图形的面积等于.…………………………………2分
(2)如图11,作ME⊥OB于点E,MF⊥x轴于点F,则MF=1,作MD∥x轴,交OB于点D,作BK⊥x轴于点K.由点B的坐标为,可求得直线OB对应的函数关系式为.∴点D的坐标为,.∴OB=5,,.∴.………………………………………3分∴.………………………………………4分
(3)∵抛物线经过,两点,∴解得∴抛物线对应的函数关系式为.………………………5分如图12,作QG⊥OB于点G,QH⊥x轴于点H.作QN∥x轴,交OB于点N.设点Q的坐标为,其中3≤m≤5,则.同
(2)得.∴点N的坐标为,.∴.∴.∴当(在3≤m≤5范围内)时,取得最大值().…………………………………………………………6分此时点Q的坐标为.…………………………………………………7分图1图2图3图4图5图6图7图8图9图10图11图12。