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2014辽宁高考数学(理科)压轴题图形解析
21.(本小题满分12分)已知函数,.证明(Ⅰ)存在唯一,使;(Ⅱ)存在唯一,使,且对(Ⅰ)中的,有.分析原题如果画出这道题的图形示意,你会觉得这道貌似难解的压轴题,实际上是一道考点清晰、并不太难的一道题不过我们得从分析原题开始,一会你的脑中就出现图了最后我给大家画出来,你们看看是不是这张图?
1、二个函数,比较复杂,表面上看不出图象的位置和方向,
2、两个问题,都是关于零点唯一存在的问题,这预示着二个函数的图象单调性不会很复杂,我们希望他是单调地通过X轴的,或者通过后有一次简单的单调变化,但在定义域的边界点的函数值的正负符号是相反的具体情况就可通过计算他们的导函数来判断了;脑子里基本上有了一个宏观的函数图象上的走势了,先不要急着处理导数接着有一个疑惑,就是第二个问题里又多了一个小问题,两个函数的零点有关系,即两个零点的和小于π?肯定不是一个具体计算,那两者的关系又是怎么发生的呢?一定是两个函数之间有关系,原函数看不出来关系,那导函数之间或者导函数与原函数之间有关系吗?这个时候就可以动手做做导函数的计算工作了,同时解决第一问的零点存在问题关于第二个零点存在问题好解决,方法同问题一,关键是x0+x1π?怎么办?可以转化一下x0π-x1,这样两个数就是左右关系了,用t=π-x给第二个函数做变换,第一个函数和第二个函数的定义域相同了,左右关系也定了,同时发现,第二个函数的导函数的分子就是第一个函数,所以第二个函数先增后减,极值点在x0处,零点t1=π-x1在x0的右侧,分析完毕为什么我们很多同学做不上来这道题,或者看不懂答案,关键是我们我们同学平时缺少数形结合的思想,具体到这道题就是函数零点的画面感不强!如果找原因的话,有些老师关注解题过程,上来就带领同学解题,而很少分析题干,甚至很少有老师帮助同学建立图形走势判断,让同学缺少了方向感和直观感造成的解题和下棋打仗一样,下棋要有布局、打仗要有战略、解题要有图形示意经过上诉分析,二个函数图形的走势图基本清晰如下了,这样答案自然就出来了值得注意的是,第二个函数在判断他的导函数之前,要对他进行处理,理由有
二一、该函数是超越函数,对数前面的变量最好要分离出去,否则不好处理,
二、二个同号放缩的函数的零点是相同的这是本题的第二个和第三个考点,这二个考点在2014年辽宁文科同号考卷中是回避掉了,文科卷的第二个函数给了一个比较简单的函数形式理科同学就不要羡慕了,反正你也不能改读文科。