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文本内容:
圆的有关性质
一、选择题
1.(2014•山东潍坊,第6题3分)如图,平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上,顶点C在⊙O直径BE上,连接AE,∠E=36°,则∠ADC的度数是A44° B.54° C.72° D.53°考点圆周角定理;平行四边形的性质.分析根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC,再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°,然后根据三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数.解答∵BE为⊙O的直径,∴∠BAE=90°,∴∠ABC=90°-∠AEB=54°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠ADC=∠ABC=54°,故选B.点评本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了平行四边形的性质.
2.2014年贵州黔东南6.(4分)如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,∠ACD=
22.5°,若CD=6cm,则AB的长为( ) A.4cmB.3cmC.2cmD.2cm考点圆周角定理;等腰直角三角形;垂径定理.菁优网专题计算题.分析连结OA,根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°,由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB,根据垂径定理得AE=BE,且可判断△OAE为等腰直角三角形,所以AE=OA=,然后利用AB=2AE进行计算.解答解连结OA,如图,∵∠ACD=
22.5°,∴∠AOD=2∠ACD=45°,∵⊙O的直径CD垂直于弦AB,∴AE=BE,△OAE为等腰直角三角形,∴AE=OA,∵CD=6,∴OA=3,∴AE=,∴AB=2AE=3(cm).故选B.点评本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.
3.(2014•山东临沂第9题3分)如图,在⊙O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( ) A.25°B.50°C.60°D.80°考点圆周角定理;平行线的性质.分析由AC∥OB,∠BAO=25°,可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°,又由圆周角定理,即可求得答案.解答解∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.点评此题考查了圆周角定理以及平行线的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.4.(2014•四川凉山州,第12题,4分)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为() A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm考点垂径定理;勾股定理.专题分类讨论.分析先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.解答解连接AC,AO,∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,∴OM===3cm,∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴AC===4cm;当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5﹣3=2cm,在Rt△AMC中,AC===2cm.故选C.点评本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.5.(2014•四川泸州,第12题,3分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是( ) A.4B.C.D.解答解作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,∵⊙P的圆心坐标是(3,a),∴OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3,∴D点坐标为(3,3),∴CD=3,∴△OCD为等腰直角三角形,∴△PED也为等腰直角三角形,∵PE⊥AB,∴AE=BE=AB=×4=2,在Rt△PBE中,PB=3,∴PE=,∴PD=PE=,∴a=3+.故选B.点评本题考查了垂径定理平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.6.(2014•四川内江,第7题,3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,AB=AC=2,则弦BC的长为( ) A.B.3C.2D.4考点垂径定理;圆周角定理;解直角三角形.分析如图,首先证得OA⊥BC;然后由圆周角定理推知∠C=30°,通过解直角△ACD可以求得CD的长度.则BC=2CD.解答解如图,设AO与BC交于点D.∵∠AOB=60°,OB=OA,∴△OAB是等边三角形,∴∠BAO=60°,即∠BAD=60°.又∵AB=AC,∴=∴AD⊥BC,∴BD=CD,∴在直角△ABD中,BD=AB•sin60°=2×=,∴BC=2CD=2.故选C.点评本题考查了解直角三角形,圆周角定理等知识点.推知△OAB是等边三角形是解题的难点,证得AD⊥BC是解题的关键.7.(2014•甘肃兰州第13题4分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确的是( ) A.AE=BEB.=C.OE=DED.∠DBC=90°考点垂径定理;圆周角定理.分析由于CD⊥AB,根据垂径定理有AE=BE,弧AD=弧BD,不能得出OE=DE,直径所对的圆周角等于90°.解答解∵CD⊥AB,∴AE=BE,=,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC=90°,不能得出OE=DE.故选C.点评本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
二、填空题
1.(2014•四川巴中,第17题3分)如图,已知A、B、C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=55°,则∠BOC的度数是 .考点圆周角定理.分析根据垂直的定义得到∠ADB=90°,再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°,然后根据圆周角定理求解.解答∵AC⊥BO,∴∠ADB=90°,∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°,∴∠BOC=2∠A=70°.故答案为70°.点评本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.2.(2014•湖南张家界,第16题,3分)如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 .考点垂径定理;等腰梯形的性质.专题压轴题.分析A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是PA+PC的最小值解答解连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.根据垂径定理,得到BE=AB=4,CF=CD=3,∴OE===3,OF===4,∴CH=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7,则PA+PC的最小值为.点评正确理解BC的长是PA+PC的最小值,是解决本题的关键.
3.(2014•江西抚州,第13题,3分)如图,△ABC内接于⊙O∠OAB=20°则∠C的度数为.解析∵OA=OB∴∠OBA=∠OAB=20°∴∠AOB=140°∴∠C=∠AOB=70°
4.2014•年山东东营第16题4分在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,==,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是 8 cm.考点轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理.菁优网分析作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB相交于点M,根据轴对称确定最短路线问题,点M为CM+DM的最小值时的位置,根据垂径定理可得=,然后求出C′D为直径,从而得解.解答解如图,作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM的最小值时的位置,由垂径定理,=,∴=,∵==,AB为直径,∴C′D为直径,∴CM+DM的最小值是8cm.故答案为8.点评本题考查了轴对称确定最短路线问题,垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.5.(2014•四川南充,第14题,3分)如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)分析设AB于小圆切于点C,连接OC,OB,利用垂径定理即可求得BC的长,根据圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),以及勾股定理即可求解.解设AB于小圆切于点C,连接OC,OB.∵AB于小圆切于点C,∴OC⊥AB,∴BC=AC=AB=×8=4cm.∵圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)又∵直角△OBC中,OB2=OC2+BC2∴圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2)=π•BC2=16πcm2.故答案是16π.点评此题考查了垂径定理,切线的性质,以及勾股定理,解题的关键是正确作出辅助线,注意到圆环(阴影)的面积=π•OB2﹣π•OC2=π(OB2﹣OC2),利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系.6.(2014•甘肃兰州第18题4分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,∠ADC=54°,则∠BAC的度数等于 .考点圆周角定理.分析由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ACB=90°,继而求得答案.解答解∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=54°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°.故答案为36°.点评此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用.
三、解答题
1.(2014•上海,第25题14分)如图1,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.
(1)当圆C经过点A时,求CP的长;
(2)联结AP,当AP∥CG时,求弦EF的长;
(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.考点圆的综合题分析
(1)当点A在⊙C上时,点E和点A重合,过点A作AH⊥BC于H,直接利用勾股定理求出AC进而得出答案;
(2)首先得出四边形APCE是菱形,进而得出CM的长,进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长;
(3)当∠AEG=∠B时,A、E、G重合,只能∠AGE=∠AEG,利用AD∥BC,得出△GAE∽△GBC,进而求出即可.解答解
(1)如图1,设⊙O的半径为r,当点A在⊙C上时,点E和点A重合,过点A作AH⊥BC于H,∴BH=AB•cosB=4,∴AH=3,CH=4,∴AC==5,∴此时CP=r=5;
(2)如图2,若AP∥CE,APCE为平行四边形,∵CE=CP,∴四边形APCE是菱形,连接AC、EP,则AC⊥EP,∴AM=CM=,由
(1)知,AB=AC,则∠ACB=∠B,∴CP=CE==,∴EF=2=;
(3)如图3过点C作CN⊥AD于点N,∵cosB=,∴∠B<45°,∵∠BCG<90°,∴∠BGC>45°,∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B,∴当∠AEG=∠B时,A、E、G重合,∴只能∠AGE=∠AEG,∵AD∥BC,∴△GAE∽△GBC,∴=,即=,解得AE=3,EN=AN﹣AE=1,∴CE===.点评此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键.
2.(2014•山东烟台,第24题8分)如图,AB是⊙O的直径,延长AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点B,点D在PC上.设∠PCB=α,∠POC=β.求证tanα•tan=.考点圆的基本性质,相似三角形的判定,锐角三角函数.分析连接AC先求出△PBD∽△PAC,再求出=,最后得到tanα•tan=.解答证明连接AC,则∠A=∠POC=,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴tanα=,BD∥AC,∴∠BPD=∠A,∵∠P=∠P,∴△PBD∽△PAC,∴=,∵PB=0B=OA,∴=,∴tana•tan=•==.点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识,本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC,再求出tanα•tan=.
3.(2014•遵义26.(12分))如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且∠ABC=60°,AB=BC,△ACD的外接圆⊙O交BC于E点,连接DE并延长,交AC于P点,交AB延长线于F.
(1)求证CF=DB;
(2)当AD=时,试求E点到CF的距离.考点圆的综合题专题综合题.分析
(1)连结AE,由∠ABC=60°,AB=BC可判断△ABC为等边三角形,由AB∥CD,∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°,则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径,则∠AEC=90°,即AE⊥BC,根据等边三角形的性质得BE=CE,再证明△DCE≌△FBE,得到DE=FE,于是可判断四边形BDCF为平行四边形,根据平行四边形的性质得CF=DB;
(2)作EH⊥CF于H,由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°,则∠DAC=30°,在Rt△ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=1,AC=2CD=2,则AB=AC=2,BF=CD=1,AF=3,然后利用勾股定理计算出BD=,DF=2,所以CF=BD=,EF=DF=,接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°,根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°,而∠DCA=∠BAC=60°,得到∠DPC=90°,在Rt△DPC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=,再证明Rt△FHE∽Rt△FPC,利用相似比可计算出EH.解答
(1)证明连结AE,如图,∵∠ABC=60°,AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∵AB∥CD,∠DAB=90°,∴∠ADC=∠DAB=90°,∴AC为⊙O的直径,∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,∴BE=CE,CD∥BF,∴∠DCE=∠FBF,在△DCE和△FBE中,,∴△DCE≌△FBE(ASA),∴DE=FE,∴四边形BDCF为平行四边形,∴CF=DB;
(2)解作EH⊥CF于H,如图,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠DAC=30°,在Rt△ADC中,AD=,∴DC=AD=1,AC=2CD=2,∴AB=AC=2,BF=CD=1,∴AF=3,在Rt△ABD中,BD==,在Rt△ADF中,DF==2,∴CF=BD=,EF=DF=,∵AE⊥BC,∴∠CAE=∠BAE=30°,∴∠EDC=∠CAE=30°,而∠DCA=∠BAC=60°,∴∠DPC=90°,在Rt△DPC中,DC=1,∠CDP=30°,∴PC=DC=,∵∠HFE=∠PFC,∴Rt△FHE∽Rt△FPC,∴=,即=,∴EH=,即E点到CF的距离为.点评本题考查了圆的综合题熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质;会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题;会运用勾股定理和相似比进行几何计算.
4.2014年湖北咸宁13.(3分)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.若DE=1,则扇形OAB的面积为 .考点三角形中位线定理;垂径定理;扇形面积的计算.菁优网分析连接AB,由OD垂直于BC,OE垂直于AC,利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点,即ED为三角形ABC的中位线,即可求出AB的长.利用勾股定理、OA=OB,且∠AOB=90°,可以求得该扇形的半径.解答解连接AB,∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D、E分别为BC、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴AB=2DE=2.又∵在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,∴OA=OB=AB=,∴扇形OAB的面积为=.故答案是.点评此题考查了垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算以及三角形的中位线定理,熟练掌握定理是解本题的关键.5.(2014•四川南充,第24题,8分)如图,已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在CD的延长线上,EP=EG,
(1)求证直线EP为⊙O的切线;
(2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•BO.试证明BG=PG;
(3)在满足
(2)的条件下,已知⊙O的半径为3,sinB=.求弦CD的长.分析
(1)连接OP,先由EP=EG,证出∠EPG=∠BGF,再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,推出∠EPG+∠OPB=90°来求证,
(2)连接OG,由BG2=BF•BO,得出△BFG∽△BGO,得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论.
(3)连接AC、BC、OG,由sinB=,求出r,由
(2)得出∠B=∠OGF,求出OF,再求出BF,FA,利用直角三角形来求斜边上的高,再乘以2得出CD长度.
(1)证明连接OP,∵EP=EG,∴∠EPG=∠EGP,又∵∠EPG=∠BGF,∴∠EPG=∠BGF,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∵CD⊥AB,∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,∴∠EPG+∠OPB=90°,∴直线EP为⊙O的切线;
(2)证明如图,连接OG,∵BG2=BF•BO,∴=,∴△BFG∽△BGO,∴∠BGO=∠BFG=90°,∴BG=PG;
(3)解如图,连接AC、BC、OG,∵sinB=,∴=,∵OB=r=3,∴OG=,由
(2)得∠EPG+∠OPB=90°,∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°,∴∠B=∠OGF,∴sin∠OGF==∴OF=1,∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2,FA=OF+OA=1+3=4,在RT△BCA中,CF2=BF•FA,∴CF===2.∴CD=2CF=4.点评本题主要考查了圆的综合题,解题的关键是通过作辅助线,找准角之间的关系,灵活运用直角三角形中的正弦值.6.(2014•福建福州第20题11分)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O为△ABC的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求⊙O的半径.【答案】
(1).
(2)
2.【解析】∴.
(2)由
(1)得,在Rt△ACE中,∵∠EAC=30°,EC=,∴AC=.∵∠D=∠ACB,∠B=∠B,∴△BAC∽△BCD.∴,即.∴DM=
4.∴⊙O的半径为
2.考点
1.锐角三角函数定义;
2.特殊角的三角函数值;
3.相似三角形的判定和性质;
4.圆周角定理;
5.圆内接四边形的性质;
6.含30度角直角三角形的性质;
7.勾股定理.
7、(2014•广州第23题12分)如图6,中,,.
(1)动手操作利用尺规作以为直径的,并标出与的交点,与的交点(保留作图痕迹,不写作法)
(2)综合应用在你所作的圆中,
①求证;
②求点到的距离.【考点】
(1)尺规作图;
(2)
①圆周角、圆心角定理;
②勾股定理,等面积法【分析】
(1)先做出中点,再以为圆心,为半径画圆.
(2)
①要求,根据圆心角定理,同圆中圆心角相等所对的弧也相等,只需证出即可,再根据等腰三角形中的边角关系转化.
②首先根据已知条件可求出,依题意作出高,求高则用勾股定理或面积法,注意到为直径,所以想到连接,构造直角三角形,进而用勾股定理可求出,的长度,那么在中,求其高,就只需用面积法即可求出高.【答案】
(1)如图所示,圆为所求
(2)
①如图连接,设又则
②连接过作于过作于cosC=又又为直径设,则,在和中,有即解得即又即。