2015年全国统一高考数学试卷理科新课标i

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）　

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•河北）设复数z满足=i，则|z|=（　　）A．1B．C．D．22．（5分）（2015•河北）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　）A．B．C．D．3．（5分）（2015•河北）设命题p∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n4．（5分）（2015•河北）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为

0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）A．

0.648B．

0.432C．

0.36D．

0.3125．（5分）（2015•河北）已知M（x0，y0）是双曲线C=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）A．B．C．D．6．（5分）（2015•河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问积及为米几何？“其意思为”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）A．B．C．D．8．（5分）（2015•河北）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z9．（5分）（2015•河北）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=

0.01，则输出的n=（　　）A．5B．6C．7D．1210．（5分）（2015•河北）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）A．10B．20C．30D．6011．（5分）（2015•河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）A．1B．2C．4D．812．（5分）（2015•河北）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）A．[）B．[）C．[）D．[）　

二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•河北）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=　　　　　　．14．（5分）（2015•河北）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　　　　　　．15．（5分）（2015•河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为　　　　　　．16．（5分）（2015•河北）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是　　　　　　．　

三、解答题17．（12分）（2015•河北）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．18．（12分）（2015•河北）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）（2015•河北）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位千元）对年销售量y（单位t）和年利润z（单位千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi﹣）2（wi﹣）2（xi﹣）（yi﹣）（wi﹣）（yi﹣）

46.

65636.

8289.

81.

61469108.8表中wi=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=

0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附对于一组数据（u1v1），（u2v2）…..（unvn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．20．（12分）（2015•河北）在直角坐标系xOy中，曲线C y=与直线l y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）（2015•河北）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．　选修4一1:几何证明选讲22．（10分）（2015•河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．　选修4一4坐标系与参数方程23．（10分）（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1x=﹣2，圆C2（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．　选修4一5不等式选讲24．（10分）（2015•河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．　2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析　

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•河北）设复数z满足=i，则|z|=（　　）A．1B．C．D．2【考点】复数求模．菁优网版权所有【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．　2．（5分）（2015•河北）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．　3．（5分）（2015•河北）设命题p∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．菁优网版权所有【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解命题的否定是∀n∈N，n2≤2n，故选C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．　4．（5分）（2015•河北）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为

0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）A．

0.648B．

0.432C．

0.36D．

0.312【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解由题意可知同学3次测试满足X∽B（3，

0.6），该同学通过测试的概率为=

0.648．故选A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．　5．（5分）（2015•河北）已知M（x0，y0）是双曲线C=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．　6．（5分）（2015•河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问积及为米几何？“其意思为”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为

1.62立方，∴÷

1.62≈22，故选B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．　7．（5分）（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解由已知得到如图由===；故选A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．　8．（5分）（2015•河北）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z【考点】余弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．　9．（5分）（2015•河北）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=

0.01，则输出的n=（　　）A．5B．6C．7D．12【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　10．（5分）（2015•河北）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）A．10B．20C．30D．60【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．　11．（5分）（2015•河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）A．1B．2C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　12．（5分）（2015•河北）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）A．[）B．[）C．[）D．[）【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．菁优网版权所有【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g

（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g

（0）=﹣1，当x=1时，g

（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g

（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．　

二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•河北）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=　1　．【考点】函数奇偶性的性质．菁优网版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．　14．（5分）（2015•河北）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　（x﹣）2+y2=　．【考点】椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为，所求圆的方程为（x﹣）2+y2=．故答案为（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．　15．（5分）（2015•河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为　3　．【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则kOA==3，即的最大值为3．故答案为3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．　16．（5分）（2015•河北）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是　（﹣，+）　．【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有【专题】综合题；创新题型；解三角形．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解方法一如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为（﹣，+）．方法二如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，

①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；

②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为（﹣，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．　

三、解答题17．（12分）（2015•河北）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式（Ⅱ）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【解答】解（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1（Ⅱ）∵an=2n+1，∴bn===（﹣），∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．　18．（12分）（2015•河北）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法向量法，考查运算能力，属于中档题．　19．（12分）（2015•河北）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位千元）对年销售量y（单位t）和年利润z（单位千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi﹣）2（wi﹣）2（xi﹣）（yi﹣）（wi﹣）（yi﹣）

46.

65636.

8289.

81.

61469108.8表中wi=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=

0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附对于一组数据（u1v1），（u2v2）…..（unvn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．【考点】线性回归方程．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×

6.8=

100.6，所以y关于w的线性回归方程为=

100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=

100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=

100.6+68=

576.6，年利润z的预报值=

576.6×

0.2﹣49=

66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=

0.2（

100.6+68）﹣x=﹣x+

13.6+

20.12，当==

6.8时，即，x=

46.24年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．　20．（12分）（2015•河北）在直角坐标系xOy中，曲线C y=与直线l y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C y=，利用导数的运算法则可得y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解（I）联立，不妨取M，N，由曲线C y=可得y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　21．（12分）（2015•河北）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论

①当a≤﹣3或a≥0时，

②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f

（1）=a+≥0，∴h（x）=min{f

（1），g

（1）}=g

（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f

（1）=a+＜0，∴h（x）=min{f

（1），g

（1）}=f

（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．

①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f

（0）=，f

（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．

②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f

（0）=，f

（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．　选修4一1:几何证明选讲22．（10分）（2015•河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．　选修4一4坐标系与参数方程23．（10分）（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1x=﹣2，圆C2（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1x=﹣2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．　选修4一5不等式选讲24．（10分）（2015•河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即

①，或

②，或

③．解

①求得x∈∅，解

②求得＜x＜1，解

③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．　参与本试卷答题和审题的老师有刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；翔宇老师；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2016年6月6日考点卡片　1．命题的否定【知识点的认识】命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”注意两个否定“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是若¬p则¬q，命题的否定是若p则¬q．注意两者的区别．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．　2．函数奇偶性的性质【知识点的认识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．

②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】

①奇函数如果函数定义域包括原点，那么运用f

（0）=0解相关的未知量；

②奇函数若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题函数y=x|x|+px，x∈R是（　　）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．　3．函数的零点【函数的零点】一般地，对于函数y=f（x）（x∈R），我们把方程f（x）=0的实数根x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法﹣﹣二分法】

①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；

②求区间（a，b）的中点x1；

③计算f（x1）；

④若f（x1）=0，则x1就是函数的零点；

⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））；

⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a=x1．（此时零点x0∈（x1，b）

⑦判断是否满足条件，否则重复

（2）～

（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．　4．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】

1、极值的定义

（1）极大值一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；

（2）极小值一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．　5．利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【实例解析】例已知函数y=xlnx，求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．解k=y|x=1=ln1+1=1又当x=1时，y=0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．　6．导数在最大值、最小值问题中的应用【知识点的知识】

一、利用导数求函数的极值

1、极大值一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点．

2、极小值一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），是极小值点．

3、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f（x4）＞f（x1）．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

4、判别f（x0）式极大值、极小值的方法若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

5、求可导函数f（x）的极值的步骤

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值．

二、利用导数求函数的最大值与最小值

1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明

（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

2、用导数求函数的最值步骤由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．　7．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】例若目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件．

（1）试确定可行域的面积；

（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解

（1）作出可行域如图对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S==．

（2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小，此时z最小为z=2+3=5，当直线经过点B（4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大，此时z最大为z=4+3=7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【考点预测】线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线．　8．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括

（1）公式法

①等差数列前n项和公式Sn=na1+n（n﹣1）d或Sn=

②等比数列前n项和公式

③几个常用数列的求和公式

（2）错位相减法适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．

（3）裂项相消法适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即=（）．

（4）倒序相加法推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．

（5）分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析形如的求和，可使用裂项相消法如．解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；Sn==n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，∴bn====，∴Tn===，即数列{bn}的前n项和Tn=．点评该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．　9．数列递推式【知识点的知识】

1、递推公式定义如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

2、数列前n项和Sn与通项an的关系式an=．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意

（1）用an=Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n=1时，a1=S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．

（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an=Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．

3、数列的通项的求法

（1）公式法

①等差数列通项公式；

②等比数列通项公式．

（2）已知Sn（即a1+a2+…+an=f（n））求an，用作差法an=．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．

（3）已知a1•a2…an=f（n）求an，用作商法an，=．

（4）若an+1﹣an=f（n）求an，用累加法an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．

（5）已知=f（n）求an，用累乘法an=（n≥2）．

（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，

①形如an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．

②形如an=的递推数列都可以用倒数法求通项．

（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．　10．平行向量与共线向量【知识点的知识】

1、平行向量方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．

2、共线向量如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．说明

（1）向量有两个要素大小和方向．

（2）向量与向量共线的充要条件是向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．　11．复数求模【知识点的知识】1．复数的概念形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．

2、复数相等a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．

3、共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．

4、复数的模的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．　12．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例对于线性回归方程，则=解，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为

58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．　13．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q=1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ=K）=（K=1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望Eξ=np，方差Dξ=npq．【实例解析】例在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是　　．解由题设知C31p（1﹣p）2≤C32p2（1﹣p），解≤p≤1，故答案为[，1]．本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．【考点点评】这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透．　14．二项式定理的应用【知识点的知识】二项式定理的应用

（1）求特征项先求通项公式，再求满足条件的r；

（2）求二项式系数及项的系数的问题

①二次项系数每项中的组合数

②项的系数除去变量以外的部分

（3）证明组合恒等式问题熟记组合数的各个性质；

（4）整除、余数的问题通常把底数适当地拆成两项之和或之差，再按二项式定理展开推得所求结论；

（5）近似计算的问题一般地，当a较小时，（1+a）n≈1+na*记清二项展开式的特点，熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键．　15．程序框图【知识点的知识】1．程序框图

（1）程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；

（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．处理框赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成．一个程序框图包括以下几部分实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．　16．两角和与差的正弦函数【知识点的认识】

（1）C（α﹣β）cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；

（2）C（α+β）cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；

（3）S（α+β）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

（4）S（α﹣β）sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；

（5）T（α+β）tan（α+β）=．

（6）T（α﹣β）tan（α﹣β）=．【命题方向】

（1）第一类常考题型

（2）第二类常考题型【解题方法点拨】　17．余弦函数的单调性三角函数的单调性的规律方法　1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．　18．三角形中的几何计算【知识点的知识】

1、几何中的长度计算

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解

①已知两角和任一边，求其他两边和一角．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

（2）利用余弦定理可以求解

①解三角形；

②判断三角形的形状；

③实现边角之间的转化．包括a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题

（1）三角形常用面积公式

①S=\frac{1}{2}a•ha（ha表示边a上的高）；

②S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bcsinA．

③S=r（a+b+c）（r为内切圆半径）．

（2）面积问题的解法

①公式法三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．

②割补法若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题

（1）常见的求函数值域的求法

①配方法转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

②逆求法（反求法）通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；

④换元法通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥单调性法函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．

⑦数形结合根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．

（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况

①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．

②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．　19．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|=2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|=2c．两种形式相同点形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2=b2+c2两种形式不同点位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|=2c（c＞0）c2=a2﹣b2|F1F2|=2c（c＞0）c2=a2﹣b2离心率e=（0＜e＜1）e=（0＜e＜1）准线x=±y=±　20．双曲线的简单性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=（e＞1）准线x=±y=±渐近线±=0±=0　21．直线与圆锥曲线的综合问题【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【实例解析】例已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．

（1）求圆锥曲线C的方程；

（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解

（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c=1，∵，∴a=2，∴，所求方程为．

（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，从而，，设P（t，0），则=当，解得此时对∀k∈R，；当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，xA=xB=1，，对，，即存在x轴上的点，使的值为常数．这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．【考点分析】必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．　22．由三视图求面积、体积【知识点的认识】1．三视图观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括

（1）主视图物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；

（2）左视图物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．2．三视图的画图规则

（1）高平齐主视图和左视图的高保持平齐；

（2）长对正主视图和俯视图的长相对应；

（3）宽相等俯视图和左视图的宽度相等．3．常见空间几何体表面积、体积公式

（1）表面积公式

（2）体积公式【解题思路点拨】1．解题步骤

（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）

（2）选对应公式

（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）

（4）代公式计算2．求面积、体积常用思想方法

（1）截面法尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；

（2）割补法求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；

（3）等体积转化充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；

（4）还台为锥的思想这是处理台体时常用的思想方法．【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．例某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣分析几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答由三视图知几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选B．点评本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．　23．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式V柱=sh，V锥=Sh．　24．异面直线及其所成的角【知识点的知识】

1、异面直线所成的角直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围θ∈（0，]．当θ=90°时，称两条异面直线互相垂直．

2、求异面直线所成的角的方法求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．

3、求异面直线所成的角的方法长用到的知识　25．平面与平面垂直的判定【知识点的认识】平面与平面垂直的判定判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．　26．圆的切线的判定定理的证明【知识点的知识】

1、直线和圆的位置关系相交直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线．相切直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．相离直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）．

3、由直线与圆的位置关系和切线的性质定理推理总结出切线的判定定理切线的判定定理经过半径（或直径）的外端并且垂直于这条半径（直径）的直线是圆的切线．注意“经过半径（或直径）的外端”和“垂直于这条半径（或直径）”这两个条件缺一不可．

4、切线的判定方法

①直线到圆心的距离等于该圆的半径（直线与圆的位置关系）；

②线与圆有唯一公共点（切线定义）；

③切线的判定定理．　27．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】

一、曲线的极坐标方程定义如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）=0有如下关系

（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）=0；

（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）=0．

二、求曲线的极坐标方程的步骤与直角坐标系里的情况一样

①建系（适当的极坐标系）

②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）

③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）

④将等式坐标化

⑤化简（此方程f（ρ，θ）=0即为曲线的方程）

三、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为r，ρ=r．

（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2．

四、直线的极坐标方程

（1）过极点，θ=θ0（ρ∈R）

（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a

（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a

（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1）

五、直线的极坐标方程步骤

1、据题意画出草图；

2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；

3、连接MO；

4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；

5、检验并确认所得的方程即为所求．　28．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法

1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集不等式a＞0a=0a＜0|x|＜a{x|﹣a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a，或x＜﹣a}{x|x≠0}R

2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法

（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；

（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；

（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法方法一利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】

1、解绝对值不等式的基本方法

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m（m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．　。