2015中考数学复习第16讲三角形的基本知识及全等三角形

第16讲三角形的基本知识及全等三角形考点1三角形的概念及其分类考点2与三角形有关的线段高

⑥三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于

⑦；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.中线三角形的三条中线相交于

⑧，每一条中线都将三角形分成面积

⑨的两部分.角平分线三角形的三条角平分线相交于⑩，这个点是三角形的⑪，这个点到三边的距离⑫.三边关系三角形的两边之和⑬第三边，三角形的两边之差⑭第三边.稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.三角形的中位线定义连接三角形两边⑮的线段叫做三角形的中位线.性质三角形的中位线⑯第三边，并且等于第三边的.考点3与三角形有关的角定理三角形三个内角的和等于.推论直角三角形的两个锐角.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的.考点4全等三角形的性质与判定性质全等三角形的对应边，对应角.判定判定1三边分别相等的两个三角形全等简写成“边边边”或“SSS”；判定2两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“SAS”；判定3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等简写成“角边角”或“ASA”;判定4两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等简写成“角角边”或“AAS”；判定5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”或“HL”.【易错提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等.

1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.

2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.命题点1三角形中的线段例1不一定在三角形内部的线段是A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.

1.2013·温州下列各组数可能是一个三角形的边长的是A.124B.459C.468D.

55112.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是A.2B.3C.4D.

53.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是A.中线B.角平分线C.高D.中位线命题点2三角形中的角例22013·海南改编如图，AB∥CD，AE＝AF，CE交AB于点F，∠C＝110°，求∠A的度数.【思路点拨】根据“两直线平行，同位角相等”求出∠EFB的度数，进而求出∠AFE，根据“等边对等角”求出∠E的度数，根据三角形内角和定理求出∠A的度数.【解答】方法归纳当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.

1.2013·龙岩如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B＝65°，∠MDN＝135°，则∠AMB＝.

2.2014·邵阳如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是A.45°B.54°C.40°D.50°

3.2014·威海如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BC与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是A.∠BAC＝70°B.∠DOC＝90°C.∠BDC＝35°D.∠DAC＝55°命题点3三角形的中位线例32014·湘潭如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=【思路点拨】因为DE是△ABC的中位线，利用中位线定义求AB的长.方法归纳解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.

1.2014·泸州如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为A.30°B.60°C.120°D.150°

2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CDAD=6BD=4CD=

3.E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是A.7B.9C.10D.

113.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是cm.命题点4全等三角形的性质与判定例42014·福州如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证∠A=∠D.【思路点拨】∠A与∠D分别在△ABF和△DEC中，直接证明△ABF和△DCE全等即可.【解答】方法归纳证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.

1.2014·南充如图，AD、BC相交于O，OA=OC∠OBD=∠ODB.求证AB=CD.

2.2014·宜宾如图，已知在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC.求证AD=BC.

3.2014·泸州如图正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证AE=BF.

1.小华在电话中问小明“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是

2.2013·襄阳如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于A.60°B.70°C.80°D.90°

3.2014·枣庄如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为A.17°B.34°C.56°D.124°

4.2013·河池一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是A.6cmB.12cmC.18cmD.36cm

5.2014·益阳如图，平行四边形ABCD中，EF是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠

26.2014·广州△ABC中，已知∠A=60°∠B=80°则∠C的外角的度数.

7.2014·长沙如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=.

8.2014·温州如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=度.

9.2013·娄底如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是.添加一个条件即可

10.2014·连云港如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2=.

11.2013·威海将一副直角三角板如图摆放点C在EF上AC经过点D已知∠A=∠EDF=90°AB=AC∠E=30°∠BCE=40°则∠CDF=.

12.2014·威海如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为.

13.2014·十堰如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE.求证∠B=∠C.

14.2014·武汉如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证DC∥AB.

15.2014·宜昌如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠B=30°AD平分∠CAB.1求∠CAD的度数；2延长AC至E，使CE=AC求证:DA=DE.

16.2014·杭州在△ABC中，AB=AC，点EF分别在ABAC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，求证PB=PC，并请直接写出图中其他相等的线段.

17.2014·泰安如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为A.6B.7C.8D.

1018.2013·达州改编如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2014BC和∠A2014CD的平分线交于点A2015，则∠A2015=度.

19.2014·苏州如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°点D，F分别在AB，AC上，CF=CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.1求证△BCD≌△FCE;2若EF∥CD，求∠BDC的度数.

20.2013·佛山课本指出公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题如推论、定理等的正确性都需要通过推理的方法证实.1叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；2证明推论AAS.要求叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.

21.2014·内江如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.1求证△ABM≌△BCN；2求∠APN的度数.参考答案考点解读

①首尾顺次

②锐

③直

④钝

⑤等边

⑥锐角

⑦直角顶点

⑧一点

⑨相等⑩一点⑪内心⑫相等⑬大于⑭小于⑮中点⑯平行一半180°互余和相等相等各个击破例1C题组训练

1.C

2.C

3.A例2∵AB∥CD，∴∠EFB＝∠C＝110°，∴∠AFE＝180°-110°＝70°.又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE＝70°，∴∠A＝180°-∠E-∠AFE＝180°-2×70°＝40°.题组训练

1.70°

2.C

3.B例3D题组训练

1.C

2.D

3.6例4证明∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D.题组训练

1.证明∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△CODSAS，∴AB=CD.

2.证明∵AE=CF，∴AF=CE.∵AD∥BC，∴∠A=∠C.在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEBAAS∴AD=BC.

3.证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°.又∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF+∠AEB=90°∴∠BAE=∠CBF.在△ABE与△BCF中，∴△ABE≌△BCFASA，∴AE=BF.整合集训

1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.140°

7.

68.

809.∠C=∠B或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BE

10.31°

11.25°

12.

1813.证明在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACDSAS，∴∠B=∠C.

14.证明∵在△ODC和△OBA中，∵∴△ODC≌△OBASAS，∴∠C=∠A或者∠D=∠B全等三角形对应角相等，∴DC∥AB内错角相等，两直线平行.

15.1∵∠ACB=90°∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠B=30°，∴∠CAB=60°.∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠CAB∴∠CAD=30°.2证明∵∠ACB=90°∴DC⊥AE.又∵CE=AC，∴DC垂直平分AE.∴DA=DE.

16.证明∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵AE＝AF，∠A＝∠A，∴△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠ACE，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.相等的线段还有BF＝CE，PF＝PE，BE＝CF.

17.C

18.

19.1证明∵CD绕点C顺时针方向旋转90°得CE∴CD=CE∠DCE=90°.∵∠ACB=90°∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE.在△BCD和△FCE中，∴△BCD≌△FCE.2由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E.∵EF∥CD∴∠E=180°-∠DCE=90°∴∠BDC=90°.

20.1两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.2已知在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B三角形的内角和等于180°.同理∠F=180°-∠D-∠E.又∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F等式的性质.在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEFASA.

21.1证明∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCNSAS.2∵△ABM≌△BCN，∴∠MBP＝∠BAP.∵∠MBP＋∠BMP＋∠BPM＝180°，∠BAP＋∠BMA＋∠MBA＝180°，∴∠BPM＝∠MBA.∵∠BPM＝∠APN，∴∠APN＝∠MBA＝＝108°.。