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2015江苏高考压轴卷数学
1、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知复数的实部为,虚部为1,则的模等于.
2.已知集合,集合,则.
3.右图1是一个算法流程图,若输入的值为,则输出的值为.
4.函数的定义域为.
5.样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率如条形图2所示,则这组数据的方差等于.
6.设是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题
①若则;
②若,,则;
③若,则;
④若,则.其中正确的命题序号为
7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,则半径的取值范围是.
8.已知命题在上为减函数;命题,使得.则在命题,,,中任取一个命题,则取得真命题的概率是
9.若函数,其图象如图3所示,则.
10.函数的图象经过四个象限,则a的取值范围是.
11.在中已知角ABC的对边分别为abc且,则函数在上的单调递增区间是.
12.“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式.”给出如下的一种解法参考上述解法若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为.
13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行,为了迎接这一盛会,某公司计划推出系列产品,其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列满足,定义使为整数的实数k为“青奥吉祥数”,则在区间[1,2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________
14.已知,设集合,,若对同一x的值,总有,其中,则实数的取值范围是
2、解答题(本大题共6小题,共90分)
15.在中,角,,的对边分别为,,,向量,且
(1)求的值;
(2)若,求边c的长度.
16.如图4,在四棱锥中,平面平面,AB∥DC,是等边三角形,已知,.
(1)设是上的一点,证明平面平面;
(2)求四棱锥的体积.
17.如图5,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,设AB=ykm,并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC1,且∠ABC=60o.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问x取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?
18.如图6,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是椭圆右准线上的两个动点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值;
(3)以为直径的圆是否过定点?请证明你的结论.
19.已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调增区间;
(3)若存在,使得是自然对数的底数,求实数的取值范围.
20.已知数列{an}中,a2=aa为非零常数,其前n项和Sn满足Sn=nN*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a=2,且,求m、n的值;
(3)是否存在实数a、b,使得对任意正整数p,数列{an}中满足的最大项恰为第项?若存在,分别求出a与b的取值范围;若不存在,请说明理由.数学Ⅱ(附加题)21A.[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分)如图,从圆外一点引圆的切线及割线,为切点.求证.21B.已知矩阵,计算.21C.已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数).若直线与圆相切,求正数的值.21D.(本小题满分10分,不等式选讲)已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立求实数的取值范围.【必做题】第
22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)
22.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,,,M为PC的中点.
(1)求异面直线PB与MD所成的角的大小;
(2)求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程n次后,袋中白球的个数记为Xn.
(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望EX2;
(2)求随机变量Xn的数学期望EXn关于n的表达式.KS5U2015江苏高考压轴卷数学答案
一、填空题
1.
2..
3.
24.
5.
7.
26.
①③
7.
8.
9.
410.
11.
12.
13.
204714.提示
1.,则,则.
2.,又,所以.
3.当时,,则;当时,,;当时,,;当时,不成立,则输出.
4.要使原式有意义,则,即且.
5.2出现次,5出现次,8出现次,所以.
6.逐个判断由线面平行的性质定理知
①正确;由面面平行的判定定理知直线相交时才成立,所以
②错误;由面面垂直的性质定理知
③正确;
④中,可以是,所以
④错误,即正确命题是
①③.
7.如图7,要使圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,只须转化为圆与直线相交,且与直线相离,即,又圆心到直线的距离为5,则.
8.因为,函数的对称轴,且开口向上,所以命题正确;又由解得,,比如,所以命题也正确,所以都是假命题,只有是真命题,故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是.
9.由图可知,为奇函数,则,又,解得,所以.
10.,得,.当时,在和上是增函数,在上是减函数.因为,所以必过
一、
二、三象限,故只要极小值小于0即可.的解为,同理,当时,得.综上,的取值范围是.
11.由,利用正弦定理可得,所以,由余弦定理得,又A为△ABC的内角,所以,所以,令,与取交集得所求递增区间是.
12.由的解集为,得的解集为,即的解集为.
13.因为,又,所以,当时,,,所以在区间[1,2014]内的所有奥运吉祥数之和为.
14.由题意可得对任意恒成立,当时,,作出函数图象如图8,显然当时,不满足题意;当时,只要直线在上与线段重合或者在线段下方时,满足题意,所以.
二、解答题
15.解析
(1)∵,∴,则,(2分)即(),(4分)又,∴,故()可化简为,(5分)两边平方得,∴.
(2)又得,∴a=2b=2,(9分)由
(1)知,∴,,,(12分)∴在△ABC中,由余弦定理可得.,故.
16.
(1)证明在中,由于,,,所以.故.又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,故平面平面.
(2)过作交于,由于平面平面,所以平面.因此为四棱锥的高,又是边长为4的等边三角形.因此.在底面四边形中,,,所以四边形是梯形,在中,斜边边上的高为,此即为梯形的高,所以四边形的面积为.故.
17.解
(1)因为,所以.在直角三角形中,因为,所以.由于,得.在△ABC中,因为,∴.则.由,及,得.即关于的函数解析式为().
(2).令,则,在,即,时,总造价M最低.答时,该公司建中转站围墙和道路总造价M最低.
18.
(1),且过点,解得椭圆方程为.
(2)设点则,.又,的最小值为.
(3)圆心的坐标为,半径.圆的方程为,整理得.,,令,得,.圆过定点.
19.
(1)因为函数,所以,,又因为,所以函数在点处的切线方程为.
(2)由
(1),.因为当时,总有在上是增函数,又,所以不等式的解集为,故函数的单调增区间为.
(3)因为存在,使得成立,而当时,,所以只要即可.又因为,,的变化情况如下表所示减函数极小值增函数所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值.因为,令,因为,所以在上是增函数.而,故当时,,即;当时,,即.所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;当时,,即,函数在上是减函数,解得.综上可知,所求的取值范围为.
20.解
(1)由已知,得a1=S1==0,Sn=,则有Sn+1=,2Sn+1-Sn=n+1an+1-nan,即n-1an+1=nan,nan+2=n+1an+1,两式相加,得2an+1=an+2+an,nN*,即an+1-an+1=an+1-an,nN*,故数列{an}是等差数列.又a1=0,a2=a,an=n-1a.
(2)若a=2,则an=2n-1,Sn=nn1.由,得n2n+11=m12,即4m12-2n12=43,2m+2n32m-2n1=43.∵43是质数,2m+2n32m2n1,2m+2n30,解得m=12,n=11.
(3)由an+bp,得an-1+bp.若a0,则n+1,不合题意,舍去;若a0,则n+1.∵不等式an+bp成立的最大正整数解为3p-2,3p-2+13p-1,即2a-b3a-1p3a-b对任意正整数p都成立.3a-1=0,解得a=,此时,-b01-b,解得b1.故存在实数a、b满足条件,a与b的取值范围是a=,b1.
21.A证明因为PC为圆的切线,所以,又,故△∽△,所以,即.
21.B解法一矩阵的特征多项式为,令,解得,对应的一个特征向量分别为,令,得,.解法二因为,所以.
21.C解由,得,所以,即圆方程为.又由,消得,因为直线与圆相切,所以得,又,所以.
21.D解因为,所以,又对任意实数恒成立故,解得.
22.解
(1)设AC与BD交于点O,以O为顶点,向量,为x,y轴,平行于AP且方向向上的向量为轴建立直角坐标系.则,,,,,所以,,,.所以异面直线PB与MD所成的角为.
(2)设平面PCD的法向量为,平面PAD的法向量为,因为,,,由令,得,由令,得,所以,所以.
23.解
(1)由题意可知X23,4,5.当X23时,即二次摸球均摸到白球,其概率是PX23;当X24时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是PX24;当X25时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是PX25.……3分所以随机变量X2的概率分布如下表X2345P(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望EX2.
(2)设PXn3+kpk,k0,1,2,3,4,5.则p0+p1+p2+p3+p4+p51,EXn3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5.PXn+13,PXn+14p0+p1,PXn+15p1+p2,PXn+16p2+p3,PXn+17p3+p4,PXn+18p4+p5,所以,EXn+13×p0+4×p0+p1+5×p1+p2+6×p2+p3+7×p3+p4+8×p4+p5p0+p1+p2+p3+p4+p53p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5+p0+p1+p2+p3+p4+p5EXn+1.由此可知,EXn+18EXn8.又EX18,所以EXn.图2xy12图3解由的解集为,得的解集为,即关于的不等式的解集为.ABCMPD图4图5BACPO(第21-A题)图7图8ABCMPDO。