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第二章综合素质检测时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12个小题,每个小题5分,共60分,每小题给出的四个备选答案中,有且仅有一个是符合题目要求的1.2014·安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试数列1,,,,,…,的一个通项公式an是 A. B.C.D.[答案] B[解析] 解法一当n=1时,a1=1只有选项B满足,故选B.解法二数1,,,,,…,的第n项an的分子是n,分母是2n-1,故选B.2.若等比数列{an}的公比q0,且q≠1,又a10,那么 A.a2+a6a3+a5B.a2+a6a3+a5C.a2+a6=a3+a5D.a2+a6与a3+a5的大小不能确定[答案] B[解析] a2+a6-a3+a5=a2-a3-a5-a6=a21-q-a51-q=1-qa2-a5=a1q1-q21+q+q2.∵q0,且q≠1,又a10,∴a2+a6-a3+a
50.即a2+a6a3+a
5.3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an= A.n B.2nC.2n+1D.n+1[答案] B[解析] 当n=1时,a1=S1=2,排除A,C;当n=2时,a2=S2-S1=6-2=4,排除D,故选B.4.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于 A.1 B.C.D.[答案] B[解析] an==-,∴S5=1-+-+-+-+-=1-=.5.2013~2014学年度内蒙古通辽实验中学高二期中测试数列{an}满足a1=19,an+1=an-3n∈N+,则数列{an}的前n项和Sn最大时,n的值为 A.6 B.7C.8D.9[答案] B[解析] ∵an+1=an-3,∴an+1-an=-3n∈N+,故数列{an}是首项为19,公差为-3的等差数列.∴an=a1+n-1d=19-3n-1=22-3n.由an=22-3n0,得n.∴a70,a80,故当n=7时,Sn取最大值.6.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为 A.
1.14a B.
1.15aC.11×
1.15-1aD.
101.16-1a[答案] C[解析] 设从去年开始,每年产值构成数列为{an},则a1=a,an=a1+10%n-11≤n≤6,从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和,应为S6-a1=-a=11×
1.15-1A.7.等比数列{an}的各项为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.12 B.10C.8D.2+log35[答案] B[解析] 由等比数列的性质可知a5a6=a4a7=a3a8=…=a1a10,∴a5a6+a4a7=2a1a10=18,∴a1a10=
9.∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3a1·a2·a3·…·a10=log3a1a105=
10.8.2+4+8+…+1024等于 A.2046 B.2007C.1047D.2046[答案] A[解析] 2+4+8+…+1024=2+4+8+…+1024++++…+=+=211-2+1-10=2046+=2046+=
2046.9.正项数列{an}满足a=a+4n∈N*,且a1=1,则a7的值为 A.4 B.5C.6D.7[答案] B[解析] ∵a=a+4n∈N*,∴a-a=4,又a1=1,∴a=
1.∴数列{a}是首项为1,公差为4的等差数列,∴a=1+4n-1=4n-
3.∴a=4×7-3=25,又a70,∴a7=
5.10.若{an}是等差数列,首项a10,a1007+a10080,a1007·a10080,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 A.2012 B.2013C.2014D.2015[答案] C[解析] ∵a1007+a10080,∴a1+a20140,∴S2014=0,∵a1007·a10080,a10,∴a10070,a10080,∴2a1008=a1+a20150,∴S2015=0,故选C.11.设fn=2+24+27+210+…+23n+10n∈N*,则fn等于 A.8n+1 B.8n-1-1C.8n+3-1D.8n+4-1[答案] D[解析] 解法一令n=0,则fn=2+24+27+210===84-1,对照选项,只有D成立.解法二数列22427210,…,23n+10是以2为首项,8为公比的等比数列,项数为n+4,∴fn==8n+4-1.12.定义称为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为 A.2n-1 B.4n-1C.4n-3D.4n-5[答案] C[解析] 设数{an}的前n项和为Sn,则由已知得==,∴Sn=n2n-1=2n2-n当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2n-12-n-1]=4n-3当n=1时,a1=S1=2×12-1=1适合上式,∴an=4n-
3.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上13.已知等比数列{an}为递增数列,若a10,且2an+an+2=5an+1,则数列{an}的公比q=________.[答案] 2[解析] 本题考查了等比数列的通项公式.∵{an}是递增的等比数列,且a10,∴q1,又∵2an+an+2=5an+1,∴2an+2anq2=5anq,∵an≠0,∴2q2-5q+2=0,∴q=2或q=舍去,∴公比q为
2.[点评] 一定要注意数列{an}是递增数列且a10,则公比q大于
1.14.2014·江西文,13在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.[答案] -1,-[解析] 本题主要考查等差数列中Sn与an的关系,由题意知a1=7,且当且仅当n=8时,Sn取最大值,∴该数列为递减数列且a80,a90,即,∴-1d-,解题本题时要注意当且仅当n=8时Sn最大.15.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5=5a3,则=________.[答案] 9[解析] 解法一设等差数列{an}的公差为d,∵a5=5a3,∴a1+4d=5a1+2d,∴a1=-d,∴====
9.解法二===,∵a5=5a3,∴==
9.16.若数列{an}满足a1=2,an=1-,则a2013=________.[答案] -1[解析] ∵a1=2,an=1-,∴a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,a5=1-=,…∴数列{an}的值呈周期出现,周期为
3.∴a2013=a3=-
1.
三、解答题本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本题满分12分设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an}、{bn}的通项公式.[解析] 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,
①由T3-S3=12得q2+q-d=
4.
②由
①、
②及q0解得q=2,d=
2.故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-
1.18.本题满分12分2014·湖北理,18已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.1求数列{an}的通项公式;2记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.[解析] 1设数列{an}的公差为d,依题意,22+d2+4d成等比数列,故有2+d2=22+4d.化简得d2-4d=0,解得d=0或d=
4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+n-1·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-
2.2当an=2时,Sn=2n,显然2n60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn60n+800成立,当an=4n-2时,Sn==2n2,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n-10舍去.此时存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为
41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为
41.19.本题满分12分数列{an}的前n项和为Sn=2-2an,n∈N*.求证数列{an}为等比数列,并求通项an.[证明] 1当n=1时,a1=S1=2-2a1,∴a1=;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2-2an-2-2an-1=2an-1-2an.∴=.故{an}是以a1=为首项,以q=为公比的等比数列.∴an=a1qn-1=n.20.本题满分12分已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=1,S11=
33.1求{an}的通项公式;2设bn=an.求证{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.[解析] 1∵,∴,∴,∴an=.2∵bn==,∴=,∴{bn}是以b1=为首项,为公比的等比数列,前n项和Tn==1-.21.本题满分12分设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·4nn∈N*.1求数列{an}的通项公式;2令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.[解析] 1由题意,得a2-a1=3×4,a3-a2=3×42,a4-a3=3×43,……an-an-1=3·4n-1n≥2,以上n-1个式子相加,得an-a1=34+42+43+…+4n-1=3×=4n-4,∴an=a1+4n-4=4n-
2.a1=2满足上式,∴an=4n-
2.2bn=nan=n4n-2,Sn=1×4+2×42+3×43+…+n·4n-21+2+…+n,设Tn=1×4+2×42+3×43+…+n·4n,∴4Tn=1×42+2×43+…+n-1·4n+n·4n+1,∴-3Tn=4+42+43+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=-n·4n+1,∴Tn=+=[3n-1·4n+1+4],∴Sn=[3n-1·4n+1+4]-nn+1.22.本题满分14分已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足4Sn=an+12n=123……,1求{an}的通项公式;2设bn=,求{bn}的前n项和Tn;3在2的条件下,对任意n∈N*,Tn都成立,求整数m的最大值.[解析] 1∵4Sn=an+12,
①∴4Sn-1=an-1+12n≥2,
②①-
②得4Sn-Sn-1=an+12-an-1+
12.∴4an=an+12-an-1+
12.化简得an+an-1·an-an-1-2=
0.∵an0,∴an-an-1=2n≥2.由4a1=a1+12得a1=1,∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.∴an=1+n-1·2=2n-
1.2bn===-.∴Tn==1-=.3由2知Tn=1-,Tn+1-Tn=1--1-=-
0.∴数列{Tn}是递增数列.∴[Tn]min=T1=.∴,∴m.∴整数m的最大值是
7.。