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三轮突破-高考数学复习模拟压轴题集锦1.(学海大联考三)已知函数fx=x·ax-1a0,x∈R.⑴当a1时,求fx的单调区间和值域,并证明方程fx=0有唯一根;⑵当0a≤1时,讨论方程f|x|=0的实根的个数情况,并说明理由2.(杭州已知等比数列的前n项之和.求
(1)求p的值;
(2)写出通项an的表达式;
(3)记求t的值;
(4)求和3.(2008湖南师大附中)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切都有成立?说明你的理由;
(3)求证4.(黄冈中学)设定义在R上的函数,满足当时,且对任意有
(1)求;
(2)求证对任意
(3)解不等式;
(4)解方程5.(学海大联考二)若F
1、F2分别为双曲线-=1下、上焦点,O为坐标原点,P在双曲线的下支上,点M在上准线上,且满足,01求此双曲线的离心率;2若此双曲线过N,2,求此双曲线的方程3若过N,2的双曲线的虚轴端点分别B1,B2B2在x轴正半轴上,点A、B在双曲线上,且,求时,直线AB的方程6.(唐山市)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=11求k的值;(2求Sn;(3是否存在正整数m,n,使成立若存在求出这样的正整数;若不存在说明理由.7.(苏、锡、常、镇二)已知数集序列{1}{35}{7911}{13151719}…其中第个集合有个元素,每一个集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.Ⅰ求数集序列第个集合中最大数的表达式;(Ⅱ)设数集序列第个集合中各数之和为.(i)求的表达式;(ii)令=,求证2≤.8.(中学学科网一)对于函数,若存在,使成立,则称点为函数的不动点
(1)已知函数有不动点(1,1)和(-3,-3)求与的值;
(2)若对于任意实数,函数总有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)若定义在实数集R上的奇函数存在(有限的)个不动点,求证必为奇数9.(中学学科网二))设点集L={其中向量=21=x1}点在L中为L与y轴的交点数列{}的前n项和.1求数列{}、{}的通项公式2若,计算
(3)设函数,是否存在,使f(k+10)=3f(k),若存在,求出k的值;若不存在,说明理由10.(中学学科网三)已知两个函数,.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)若对任意[-3,3],都有成立,求实数的取值范围.11.(北京丰台)四边形ABCD是梯形,\s\up7→→·\s\up7→→=0,\s\up7→→与\s\up7→→共线,A,B是两个定点,其坐标分别为(-1,0),(1,0),C、D是两个动点,且满足(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程;(Ⅱ)设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P,过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M,N两点,求四边形CMPN面积的最小值12.(北京石景山)已知函数对于任意(),都有式子成立(其中为常数).(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)利用函数构造一个数列,方法如下对于给定的定义域中的,令,,…,,…在上述构造过程中,如果(=1,2,3,…)在定义域中,那么构造数列的过程继续下去;如果不在定义域中,那么构造数列的过程就停止.(ⅰ)如果可以用上述方法构造出一个常数列,求的取值范围;(ⅱ)是否存在一个实数,使得取定义域中的任一值作为,都可用上述方法构造出一个无穷数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(ⅲ)当时,若,求数列的通项公式.13.(北京市朝阳)在各项均为正数的数列中,前n项和Sn满足(I)证明是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;(II)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;(III)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由14.(北京东城一)已知函数(x0).(I)当0ab,且fa=fb时,求证ab1;(II)是否存在实数a,b(ab),使得函数y=fx的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值,若不存在,请说明理由.(III)若存在实数a,b(ab),使得函数y=fx的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb]m≠0求m的取值范围.15.(北京东城二)已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数总有恒成立.
(1)求x0的值.
(2)若,且对任意正整数n,有,记,比较与Tn的大小关系,并给出证明;
(3)若不等式对任意不小于2的正整数n都成立,求x的取值范围.16.(北京西城)设M是由满足下列条件的函数构成的集合“
①方程有实数根;
②函数的导数满足.”(I)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;(II)集合M中的元素具有下面的性质若的定义域为D,则对于任意[m,n]D,都存在[m,n],使得等式成立”,试用这一性质证明方程只有一个实数根;(III)设是方程的实数根,求证对于定义域中任意的.17.(豫南五市)设曲线在点x处的切线斜率为kx且k-1=
0.对一切实数x不等式x≤kx≤恒成立≠
0.1求1的值;2求函数kx的表达式;3求证:>18.(山东省实验)如图所示,曲线段OMB是函数fx=x20x6的图象,BA⊥x轴与A曲线段OMB上M(tft)处的切线PQ交线段AB于P,与x轴交于Q.
(1)试用t表示切线PQ的方程;
(2)试用t表示ΔQAP的面积gt在(mn)上单调递减,试求出m的最小值.
(3)若19.(陕西)已知点A1,A2,…,An,…依次在x轴上,A1(1,0),A2(5,0),=n=23,…;点B1,B2,…,Bn…依次在射线y=x(x≥0)上,且B1(3,3),||+2(n=23,…).
(1)用n表示An与Bn的坐标;
(2)设直线AnBn的斜率为kn求3若四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积为S,求证9<S≤
12.20.(上海)在等差数列中,,,其中是数列的前项之和,曲线的方程是,直线的方程是
(1)求数列的通项公式;
(2)当直线与曲线相交于不同的两点,时,令,求的最小值;
(3)对于直线和直线外的一点P,用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的,若曲线与直线不相交,试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义,并依照给出的定义,在中自行选定一个椭圆,求出该椭圆与直线的“距离”21.(石家庄市)设H是的外心,,O为坐标原点,动点G满足且1求顶点C的轨迹E的方程;2如图,从点发射出一个质点m沿抛物线C1向上飞行到点P时,立即得到变轨指令,即开始沿着曲线E运动,两曲线C1和E在公共点P处的切线相同,求抛物线C1的方程.22.(保定市)已知函数fx=其中向量设gx=其中是fx的导数⑴试比较的大小⑵设数列满足;是否存在最大的实数t,使函数,当≤t时,对于一切正整数,都有0.其中e=
2.71828……23.(江苏南京)过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于,过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点,依此类推,可得到点列,
(1)求点P
2、P3的坐标.
(2)求数列的通项公式.
(3)记点到直线的距离为,求证.24.(宜昌市)已知抛物线内一点的坐标为
(1)过点作直线与抛物线交于、两点,若点刚好为弦的中点,求直线的方程;
(2)若过线段上任一点(不含端点)作倾斜角为的直线与抛物线交于两点,求证.
(3)过作斜率分别为()的直线,交抛物线于,,交抛物线于,,若,求的值.参考答案1.解理⑴f′x=ax+x·axlna=1+xlnaaxa1…………
①由f′x0得1+xlna0,解得x-;由f′x0得1+xlna0,解得x-∴fx的单调增区间为-,+∞,单调减区间为-∞,-…………………2分当x=-时,fxmin=f-=-·a--1=-·-1=--1,又fx=-1,fx=+∞,∴fx的值域为[--1,+∞……………4分又∵f0=-10,fx=+∞,又fx在[0,+∞上递增,∴方程fx=0在[0,+∞上有唯一实根………………………………………………6分而fx=-10,∴方程fx=0在-∞,0上无实根∴方程fx=0有唯一实根,y=fx在-∞,0上函数值y均小于0………………7分⑵∵函数f|x|为偶函数,故只需讨论x≥0时,方程f|x|=0亦可求fx=0的实根的个数Ⅰ.当a=1时,方程fx=0有唯一实根x=1;………………………………………8分Ⅱ.当0a1时,由
①式,同理可知x≥0时,fx的单调增区间为0,-,单调减区间为-,+∞当x=-时,fxmax=--1,……………………………9分又∵f0=-10,fx=-1,故有当--10即0a时,方程fx=0无实根;当--1=0即a=时,方程fx=0有唯一实根;当--10即a1时,方程fx=0有两个实根;…………………………12分综上可知当0a时,方程f|x|=0无实根;当a=或1时,方程f|x|=0有两个实根;当a1时,方程f|x|=0有四个实根…………………………………………14分2.
(1)n≥2时an=Sn-Sn-1=2n-1∵|an|成G、P,且公比q==2,a1=2+p也应满足an=2n-1∴p=-1(2分)(文科4分)
(2)通项an=2n-1n∈N*.(4分)(文科8分)
(3)∵bn=n-1且Qn=a1b1+a2b2+…+anbn则Qn=0·1+1·2+2·22+3·23+…+n-1·2n-12Qn=1·22+2·23+…+n-2·2n-1+n-1·2n,相减可得Qn=n-2·2n+
2.于是(9分)
(4)n=2k时k∈N*,=-b1+b2+…+b2k=-[1+2+…+2k-1]=-2k2+kn=2k-1时k∈N*Tn==-[1+2+…+2k-3]=-2k2-3k+1(14分)(文科14分)3.
(1)由已知…………………………(2分)是公比为2的等比数列,又……………………………………………………(4分)
(2)……………………(6分)若恒成立.,故存在常数A、B、C满足条件…………(9分)
(3)…(11分)4.
(1)
(2).假设存在某个,则对任何与已知矛盾,均为满足
(3)任取时,为单调递增函数∴不等式的解集为
(4)方程即(舍),由
(1)得x=
0.故原方程的解为x=
0.5.1,∴PF1OM为平行四边形,又知M在∠PF1O的角平分线上,∴四边形PF1OM为菱形,且边长为=c…………………………………2分∴=2a+=2a+c,由第二定义=e即=e,∴+1=e且e1∴e=2…………………………………………………………………………………4分 2由e=2,∴c=2a即b2=3a2,双曲线方程为-=1又N,2在双曲线上,∴-=1,∴a2=3∴双曲线的方程为-=1…7分 3由知AB过点B2,若AB⊥x轴,即AB的方程为x=3,此时AB1与BB1不垂直;设AB的方程为y=kx-3代入-=1得3k2-1x2-18k2x+27k2-9=0………………………………………………9分由题知3k2-1≠0且△0即k2且k2≠,设交点Ax1,y1,Bx2,y2,=x1+3,y1,=x2+3,y2,∵,∴=0即x1x2+3x1+x2+9+y1y2=0………………11分此时x1+x2=,x1·x2=9,y1y2=k2x1-3x2-3=k2[x1x2-3x1+x2+9]=k2[18-]=-∴9+3+9-=0,∴5k2=1,∴k=±∴AB的方程为y=±x-
3.………………………………………………14分6.I∵S2=kS1+2∴a1+a2=ka1+2又a1=2,a2=12+1=2k+2∴…………………………………………………………………………2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知
①当n≥2时,
②①-
②,得n≥2..……………………………………………………………………4分于是{an}是等比数列,公比为,所以…………………………………………………………6分Ⅲ整理得2<2n4-m<6………………………………………………………………………8分假设存在正整数m,n使得上面的不等式成立,由于2n为偶数,4-m为整数,则只能是2n4-m=4…………………………………………………10分因此,存在正整数m=2,n=1;或7.Ⅰ∵第n个集合有n个奇数,∴在前n个集合中共有奇数的个数为.……………………………………2分则第n个集合中最大的奇数=.………………4分(Ⅱ)(i)由Ⅰ得,从而得.……………………………………6分(ii)由(i)得,∴.…7分(1)当时,,显然2≤.……………………………………8分(2)当≥2时,………9分,……………………………………………10分≤.………………………………………………12分∴…………………………………13分.……………………………………………………………………14分即.……………………………………………………………………15分综上所述,2≤.……………………………………………………16分8
(1)由不动点的定义,∴,代入知,又由及知∴,
(2)对任意实数,总有两个相异的不动点,即是对任意的实数,方程总有两个相异的实数根∴中,即恒成立故,∴故当时,对任意的实数,方程总有两个相异的不动点
(3)是R上的奇函数,则,∴(0,0)是函数的不动点若有异于(0,0)的不动点,则又,∴是函数的不动点∴有限个不动点除原点外,都是成对出现的,有个(),加上原点,共有个9.
(1)L中=2x+1,点在L中∴,……3’又{}的前n项和,利用∴……5’
(2)∴……8’∴……文科10’∴=……理科10’
(3)设存在,使f(k+10)=3f(k),当k为奇数时,由-k-10=-3k得k=5当k为偶数时,由3k+28=3(3k-2)得k=故存在k=5,使f(k+10)=3f(k)……14’10.(Ⅰ)设函数的图象上任一点关于原点的对称点为则∵点在函数的图象上.,即,故. (3分)由,可得 .当时,,此时不等式无解.当时,,.因此,原不等式的解集为. (7分)(Ⅱ)依题意.,11.四边形ABCD是直角梯形,且CD⊥DA,又,所以动点C的轨迹为以B为焦点,DA为准线,对称轴为x轴的抛物线设动点C的轨迹E的方程,则p==2所以动点C的轨迹E的方程是…………3分(另解设依题意)(Ⅱ)设直线BC斜率为k,由题意知,k存在且,直线BC的方程y=kx-1依题意直线MN垂直于直线BC,以-替代上式中的k,得……7分所以四边形CMPN面积的最小值等于32…………12分12.(Ⅰ)令(),则,而,故=,∴=().………………………………3分(Ⅱ)(ⅰ)根据题意,只需当时,方程有解,………………4分亦即方程有不等于的解.将代入方程左边,左边为1,与右边不相等.故方程不可能有解.………………5分由△=,得或,即实数a的取值范围是.…………………………7分(ⅱ)假设存在一个实数,使得取定义域中的任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列,那么根据题意可知,=在R中无解,……………8分亦即当时,方程无实数解.由于不是方程的解,所以对于任意x∈R,方程无实数解,因此解得.∴即为所求的值.……………………………………11分(ⅲ)当时,,所以,.两边取倒数,得,即.所以数列{}是首项为,公差的等差数列.故,所以,,即数列的通项公式为.……………………………………14分13.
(1)由已知得
①故
②②-
①得结合,得是等差数列……2分又时,,解得或……3分又,故……4分……5分(II)即得点设,消去n,得即直线C的方程为……7分又是n的减函数∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1)又M3的坐标为(,)∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形从而直线C在[,1]上的面积为……10分(III)由于直线C上的点列Mn依次为M1(1,1),M2(,),M3(,),……,Mn(),……而因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(,)……12分又M1M的中点为(,)∴满足条件的圆存在事实上,圆心为(,),半径的圆,就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部,其中半径最小的圆为……14分14.(I)∵x0,∴∴fx在(0,1)上为减函数,在上是增函数.由0ab,且fa=fb,可得0a1b和.即.∴2ab=a+b.……………………………………3分故,即ab1.……………………………………4分(II)不存在满足条件的实数a,b.若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=的定义域、值域都是[a,b],则a0.1当时,在(0,1)上为减函数.故即解得a=b.故此时不存在适合条件的实数a,b.………………………………6分2当时,在上是增函数.故即此时a,b是方程的根,此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数a,b.………………………………8分3当,时,由于,而,故此时不存在适合条件的实数a,b.综上可知,不存在适合条件的实数a,b.………………………………10分(III)若存在实数a,b(ab),使得函数y=fx的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].则a0,m0.1当时,由于fx在(0,1)上是减函数,故.此时刻得ab异号,不符合题意,所以a,b不存在.2当或时,由(II)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.故只有.∵在上是增函数,∴即a,b是方程的两个根.即关于x的方程有两个大于1的实根.……………………12分设这两个根为,.则+=,·=.∴即解得.故m的取值范围是.…………………………………………14分15
(1)令,得
①令,得
②由
①,
②得为单调函数,…………3分
(2)由
(1)得,………………4分又又,………………5分……………………6分…………………………7分,………………9分
(3)令,则……10分∴当时,即解得或……………………14分16.
(1)因为,…………2分所以满足条件………………3分又因为当时,,所以方程有实数根
0.所以函数是集合M中的元素.…………4分
(2)假设方程存在两个实数根),则,………5分不妨设,根据题意存在数使得等式成立,……………………7分因为,所以,与已知矛盾,所以方程只有一个实数根;…………9分
(3)不妨设,因为所以为增函数,所以,又因为,所以函数为减函数,………………10分所以,…………11分所以,即…………12分所以…………………………13分17.
(1)由,所以
(2),由,得又恒成立,则由恒成立得,同理由恒成立也可得综上,,所以
(3)要证原不等式式,即证因为所以=所以本小问也可用数学归纳法求证证明如下由1.当时,左边=1,右边=,左边右边,所以,不等式成立2.假设当时,不等式成立,即当时,左边=由所以即当时,不等式也成立综上得18.
(1)切线斜率k=2t,则切线方程为y=t2=2tx-t即切线PQ方程为y=2tx-t20x
(2)令y=0得19.
(1)设Anan0,Bnbnbna1=5b1=
3.∴{an-an-1}=a2-a1·()n-2=4·n-2即∴an=1+4×=1+8[1-又由|∴{bn}是以b1=3为首项,以d=2为公式的等差数列.2由斜率计算公式可得kn=3如图易知,S=S△An+1Bn+1-S△OAnBn==9+8n-4 因n=23,…,(8n-4)当n≥2时可用数学归纳法或二项式定理证明(8n-4)故9<S≤
12.20.
(1)∵,∴,又∵,∴,∵,∴,,∴
(2),由题意,知,即,∴或,即或,即或时,直线与曲线相交于不同的两点,∴时,的最小值为
(3)若曲线与直线不相交,曲线与直线间“距离”是曲线上的点到直线距离的最小值曲线与直线不相交时,,即,即,∴,∵时,曲线为圆,∴时,曲线为椭圆选,椭圆方程为,设椭圆上任一点,它到直线的距离,∴椭圆到直线的距离为(椭圆到直线的距离为)21.1令 则.由得,∴.又, ∴, ∴………………(3分)∵H是的外心,∴,∴整理得,顶点C的轨迹E的方程为.………(6分)2设∵,则抛物线C1在P处的切线斜率为.对于椭圆,当时,,则椭圆E在处的切线斜率为. 两曲线C1和E在公共点P处的切线相同∴=.………(10分)1当时,.又因点及点在抛物线上,∴∴抛物线C1的方程为.………………………(12分)2当时,因点在抛物线上,则;又点在抛物线上,∴抛物线C1的方程为………………………(14分)22.⑴fx==fx=所以gx=,因为gx==0得x=e可以得出(0,e)是递增区间;e是递减区间,因为,而4,⑵由⑴gx=在(0,e)是递增区间;e是递减区间;的最大值为,解不等式得x或x最大的实数t23.
(1)…………………………………………4分
(2)曲线C上点处的切线的斜率为,故得到的方程为……………………………………6分联立方程消去y得化简得所以………………8分由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以故数列为首项为1,公比为-2的等比数列所以…………………………………………10分
(3)由
(2)知所以直线的方程为化简得…………………………………………12分所以∴≥…………………15分24.
(1)设则
①②①-
②得……………………2′直线的方程是整理得………………4′
(2)联立解得设则且的方程为与联立消去,整理得………………………………6′又…………………………………………8′
(3)直线的方程为,代入,得即………………………………………………10′三点共线,三点共线,且在抛物线的内部令为、为故由可推得而同理可得而得………………………………14′。