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2015年上海市春季高考模拟试卷
一一、填空题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1、函数的定义域是.
2、已知全集,集合,则=.
3、已知函数是函数的反函数,则要求写明自变量的取值范围.
4、双曲线的渐近线方程是.
5、若函数与函数的最小正周期相同,则实数a=.
6、已知数列是首项为1,公差为2的等差数列,是数列的前n项和,则=.
7、直线,,则直线与的夹角为=.
8、已知,是方程的根,则=.
9、的二项展开式中的常数项是用数值作答.
10、已知是平面上两个不共线的向量,向量,.若,则实数m=.
11、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同,若圆柱M与球O的表面积相等,则它们的体积之比=用数值作答.
12、已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,角的终边与单位圆交点的横坐标是,角的终边与单位圆交点的纵坐标是,则=.
二、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
13、已知,.若是的必要非充分条件,则实数a的取值范围是A.B.C.D..
14、已知直线,点在圆C外,则直线与圆C的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不能确定
15、现给出如下命题
①若直线与平面内无穷多条直线都垂直,则直线;
②空间三点确定一个平面;
③先后抛两枚硬币,用事件A表示“第一次抛出现正面向上”,用事件B表示“第二次抛出现反面向上”,则事件A和B相互独立且=;
④样本数据的标准差是1.则其中正确命题的序号是A.
①④B.
①③C.
②③④D.
③④
16、在关于的方程,,中,已知至少有一个方程有实数根,则实数的取值范围为()A.B.或C.或D.
17、不等式的解集是()A. B. C. D.
18、已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
19、已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上的任意一点,则的最大值是()A.、9B.16C.D.
20、函数与在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是()A.B.C.D.
21、设函数,则的值为()A.0B.1C.10D.不存在
22、已知,则()A.B.C.D.
23、将正三棱柱截去三个角(如图1所示A、B、C分别是三边的中点)得到的几何体如图2,则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为()
24、已知方程的根大于,则实数满足()A.B.C.D.
三、解答题
25、(本题满分7分)在中,记角的单位是弧度制,的面积为S,且,.求函数的最大值、最小值.
26、(本题满分7分)已知正方体的棱长为a.求点到平面的距离.
27、(本题满分8分)用行列式讨论关于的二元一次方程组的解的情况,并说明各自的几何意义.
28、(本题满分13分)已知函数是奇函数,定义域为区间D使表达式有意义的实数x的集合.
(1)求实数m的值,并写出区间D;
(2)若底数,试判断函数在定义域D内的单调性,并说明理由;
(3)当,a是底数时,函数值组成的集合为,求实数的值.
29、(本题满分13分)已知双曲线C的一个焦点是,且.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点的直线的一个法向量为,当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时,求实数的取值范围;并证明中点在曲线上.
(3)设
(2)中直线与双曲线C的右支相交于两点,问是否存在实数,使得为锐角?若存在,请求出的范围;若不存在,请说明理由.附加题
30、(本题满分8分)某公司生产某种消防安全产品,年产量x台时,销售收入函数(单位百元),其成本函数满足(单位百元).已知该公司不生产任何产品时,其成本为4000(百元).
(1)问该公司生产多少台产品时,利润最大,最大利润是多少?
(2)在经济学中,对于函数,我们把函数称为函数的边际函数,记作.对于
(1)求得的利润函数,求边际函数;并利用边际函数的性质解释公司生产利润情况.(本题所指的函数性质主要包括函数的单调性、最值、零点等)
31、(本题满分8分)已知数列的前项和为,满足.数列.
(1)求证数列为等比数列;
(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值.
31、(本题满分14分)已知点是直角坐标平面内的动点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B点A或B不在x轴上,分别过A、B点作直线的垂线,对应的垂足分别为,试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系指在圆内、圆上、圆外等情况;
(3)记,,A、B、是2中的点,问是否存在实数,使成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.进一步思考问题若上述问题中直线、点、曲线C,则使等式成立的的值仍保持不变.请给出你的判断填写“不正确”或“正确”限于时间,这里不需要举反例,或证明.2015年春季高考模拟一参考答案
1、;
2、;
3、;
4、;
5、;
6、;
7、;
8、;
9、;
10、;
11、;
12、;13-16BADC;17-20BBCD;21-24BCAA
25、∵,,又,∴,即∴所求的的取值范围是.∵,∴,.∴.
26、建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、、、,向量,,.设是平面的法向量,于是,有,即.令得.于是平面的一个法向量是.因此,到平面的距离.也可用等积法求得
27、,,
(1)当时,方程组有唯一解,此时,即;
(2)当时,,方程组有无穷多组解,通解可表示为;
(3)当时,,,,此时方程组无解.几何意义设,当时,方程组唯一解,则直线与相交;当时,方程组无解,则直线与平行;当时,方程组无穷多解,则直线与重合.
28、
(1)∵是奇函数,∴对任意,有,即.化简此式,得.又此方程有无穷多解D是区间,必有,解得.∴.
(2)当时,函数上是单调减函数.理由令.易知在上是随增大而增大,在上是随增大而减小,故在上是随增大而减小.于是,当时,函数上是单调减函数
(3)∵,∴.∴依据2的道理,当时,函数上是增函数,即,解得.若,则在A上的函数值组成的集合为,不满足函数值组成的集合是的要求.也可利用函数的变化趋势分析,得出b=1∴必有.因此,所求实数的值是.
29、
(1).
(2)由得由,得,,,,设,则.
(3)因为即,,
30、
(1)由题意,,所以(,),所以或(百元)
(2)(,)边际函数为减函数,说明随着产量的增加,每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少;当时,边际函数取得最大值为2480,说明生产第一台的利润差最大;当时,边际函数为零,说明生产62台时,利润达到最大
31、
(1),所以即恒成立所以,为以2为首项,公比为3的等比数列
(2)
①;
②时,.令,所以,()为递增数列,从而由
①,
②知所以的最大值为.
32、
(1)设动点为,依据题意,有,化简得.因此,动点P所在曲线C的方程是.
(2)点F在以MN为直径的圆的外部.理由由题意可知,当过点F的直线的斜率为0时,不合题意,故可设直线,如图所示.联立方程组,可化为,则点的坐标满足.又、,可得点、.点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.因,,则=.于是,为锐角,即点F在以MN为直径的圆的外部.
(3)依据2可算出,,则,.所以,,即存在实数使得结论成立.对进一步思考问题的判断正确.ADC1D1A1B1BC。