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2015年上海市春季高考模拟试卷
四一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1、已知集合，，则．
2、函数（）的最大值等于.
3、在中，已知，则最大角等于．
4、已知函数是函数且）的反函数，其图像过点，则．
5、复数满足，则复数的模等于_______________．
6、已知，，则．
7、抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为.
8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．
9、已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为.
10、等差数列的通项公式为，下列四个命题数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列．其中真命题的是．
11、椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于．
12、设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是.
二、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
13、已知“”；“直线与圆相切”．则是的（）充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分也非必要条件
14、若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）或
15、已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为（）
116、曲线的长度为（）A．B．C．D．
17、下列命题正确的是（）A．若，则且B．中，是的充要条件C．若，则D．命题“若，则”的否命题是“若，则”
18、下列命题中（）
①三点确定一个平面；
②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；
③同时垂直于一条直线的两条直线平行；
④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为
12.正确的个数为（）A.0B.1C.2D.
319、在边长为１的正六边形中，的值为（）．...
20、已知数列的各项均为正数，满足对于所有，有，其中表示数列的前项和．则（）A．B．C．D．
21、函数为奇函数，分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（）．...
22、函数在区间上可找到个不同数，，……，，使得，则的最大值等于（）
89101123、已知椭圆及以下3个函数
①；
②；
③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）．.0个1个 .2个.3个
24、在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题
①若，则；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.其中所有真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4
三、解答题
25、（本题满分7分）已知函数，其中为常数．
（1）求函数的周期；
（2）如果的最小值为，求的值，并求此时的最大值及图像的对称轴方程.
26、（本题满分7分）证明下面两个命题
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理如右图，在中，、、所对的边分别为、、，则．
27、（本题满分8分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成的角的大小等于．
（1）当时，求异面直线与所成的角；
（2）当三棱锥的体积最大时，求的值．
28、（本题满分13分）已知函数有最小值．
（1）求实常数的取值范围；
（2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．
29、（本题满分12分）函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
（2）若是“圆锥托底型”函数，求出的最大值．
30、（本题满分13分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证；
（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．
31、（本题满分18分）如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2015年春季高考模拟试卷四参考答案
1、；
2、4；
3、；
4、；
5、；
6、3；
7、；
8、；
9、；
10、，；
11、；
12、2；13-17ACBDB18-24BBCACCB
25、解
（1）．.
（2）的最小值为，所以故所以函数的最大值等于4，即时函数有最大值或最小值，故函数的图象的对称轴方程为.
26、证明一
（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数由基本不等式2，可得，当且仅当时，等号成立，即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值．证明二
（1）设长方形的周长为，长为，则宽为于是，长方形的面积，所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形
（2）证法一．故，．证法二已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，．故，．证法三过边上的高，则．故，．
27、解
（1）连，过作交于点，连．又，．又．，等于异面直线与所成的角或其补角．，或．当时，．，当时，．，综上异面直线与所成的角等于或．
（2）三棱锥的高为且长为，要使得三棱锥的体积最大只要底面积的面积最大．而当时，的面积最大．又，此时，，
28、解
（1）所以，当时，有最小值，
（2）由为奇函数，有，得．设，则，由为奇函数，得．…4分所以，
29、
（1）．，即对于一切实数使得成立，“圆锥托底型”函数.对于，如果存在满足，而当时，由，，得，矛盾，不是“圆锥托底型”函数．
（2）是“圆锥托底型”函数，故存在，使得对于任意实数恒成立．当时，，此时当时，取得最小值2，．而当时，也成立．的最大值等于．
30、解
（1）由题设，得，由椭圆定义，所以，．设，，，，代入椭圆的方程，整理得，（*）则，于是有，化简，得，故，．
（2）由
（1）有，方程（*）可化为设中点为，则，又，于是．由知为的中垂线，，由，得，解得，，故，椭圆的方程为．
31、
（1）由，得，点设切线方程为，由得，，切点的横坐标为，得由于、的横坐标相同，垂直于轴．
（2），．．的面积与、无关，只与有关．（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）
（3）由
（1）知垂直于轴，，由
（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为．所以封闭图形的面积第12题。
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