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文本内容:
北京市海淀区高三年级二模数学(理科)
2016.5本试卷共4页,150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.已知全集,则A.B.C.D.
2.在数列中,,且,则的值为A.B.C.D.
3.若点在直线(为参数)上,则的值为A.B.C.D.
4.在中,则A.B.C.D.
5.在其中的展开式中,的系数与的系数相同,则的值为A.B.C.D.
6.函数的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个
7.如图,在等腰梯形中,.点在线段上运动,则的取值范围是A.B.C.D.
8.直线与轴的交点分别为直线与圆的交点为.给出下面三个结论
①;
②;
③则所有正确结论的序号是A.
①②B.
②③C.
①③D.
①②③
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分
9.已知其中为虚数单位,,则__.
10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况,抽查了100名同学,统计他们假期参加实践活动的时间绘成频率分布直方图(如图).则这100名同学中参加实践活动时间在小时内的人数为___.
11.如图,是上的三点,点是劣弧的中点,过点的切线交弦的延长线交于点.若∠,则
12.若点在不等式组所表示的平面区域内,则原点到直线距离的取值范围是__.
13.已知点,若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上,则正数的最小值为___.
14.正方体的棱长为,点分别是棱的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高.
三、解答题共6小题,共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
15.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)比较,的大小;(Ⅱ)求函数的最大值.
16.(本小题满分13分)某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调,销售情况如下表所示第一周第二周第三周第四周第五周型数量(台)111015型数量(台)101213型数量(台)15812Ⅰ求型空调前三周的平均周销售量;Ⅱ根据型空调连续3周销售情况,预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问当型空调周销售量的方差最小时,求,的值;注方差,其中为,,…,的平均数(Ⅲ)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台,求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)如图,等腰梯形中,,于,于,且,.将和分别沿、折起,使、两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点,,分别是的中点.(Ⅰ)求证∥平面;(Ⅱ)求证;(Ⅲ)求直线与平面所成的角的大小.
18.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;Ⅲ若曲线存在两条互相垂直的切线,求实数的取值范围.只需直接写出结果
19.(本小题满分13分)已知点其中是曲线上的两点,两点在轴上的射影分别为点且.(Ⅰ)当点的坐标为时,求直线的斜率;(Ⅱ)记的面积为,梯形的面积为,求证.
20.(本小题满分13分)已知集合其中.称为的第个坐标分量.若,且满足如下两条性质
①中元素个数不少于4个;
②,存在,使得的第个坐标分量都是1;则称为的一个好子集.(Ⅰ)若为的一个好子集,且,写出;(Ⅱ)若为的一个好子集,求证中元素个数不超过;(Ⅲ)若为的一个好子集且中恰好有个元素时,求证一定存在唯一一个,使得中所有元素的第个坐标分量都是
1.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学(理科)
2016.5阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分
一、选择题(本大题共8小题每小题5分共40分)题号12345678答案ABDBCACC
二、填空题(本大题共6小题每小题5分,共30分)9.10.
11.12.13.14.
三、解答题本大题共6小题共80分15.解(Ⅰ)因为所以…………………2分…………………4分因为所以…………………6分(Ⅱ)因为…………………9分令,所以…………………11分因为对称轴根据二次函数性质知,当时,函数取得最大值 …………………13分16解:I型空调前三周的平均销售量台…………………2分(Ⅱ)因为型空调平均周销售量为台,所以…………………4分又化简得到…………………5分因为,所以当或时,取得最小值所以当或时,取得最小值…………………7分(Ⅲ)依题意,随机变量的可能取值为,…………………8分…………………11分随机变量的分布列为随机变量的期望.…………………13分17解:(Ⅰ)证明连结.在中,因为分别是所在边的中点,所以,…………………1分又所以…………………2分所以是平行四边形,所以…………………3分又平面,平面…………………4分所以平面.…………………5分(Ⅱ)证明方法一在平面内,过点作的平行线,因为所以平面所以平面,所以.又在中,因为,所以.以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系…………………6分所以…………………7分所以,…………………8分所以,所以.…………………9分方法二取中点,连接.又为的中位线,所以又,所以,所以在一个平面中.…………………6分因为是等边三角形,所以又,所以…………………7分且,所以平面,…………………8分而平面所以.…………………9分(Ⅲ)因为所以即又所以平面,所以就是平面的法向量.…………………11分又,设与平面所成的角为,则有…………………13分所以与平面所成的角为.…………………14分18解:(Ⅰ)函数的定义域为.当时,…………………2分当变化时,,的变化情况如下表极大值极小值…………………4分函数的单调递增区间为,,函数的单调递减区间为.…………………5分(Ⅱ)解因为在区间上有解,所以在区间上的最小值小于等于.因为令得.…………………6分当时,即时,因为对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为所以,解得,所以此种情形不成立,…………………8分当,即时,若则对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为所以,解得,所以.…………………9分若,若,则对成立,对成立.则在上单调递减,在上单调递增,此时在上的最小值为所以有,解得,………………10分当时,注意到而,此时结论成立.…………………11分综上,的取值范围是.…………………12分法二因为在区间上有解,所以在区间上的最小值小于等于,当时,显然,而成立,…………………8分当时对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为,所以有,解得,所以.…………………11分综上,.…………………12分(Ⅲ)的取值范围是.…………………14分19解(Ⅰ)因为,所以代入,得到,…………………1分又,所以,所以,…………………2分代入,得到,…………………3分所以.…………………5分(Ⅱ)法一设直线的方程为.则…………………7分由得所以…………………9分又…………………11分又注意到,所以,所以,…………………12分因为,所以所以.…………………13分法二设直线的方程为.由得所以…………………7分…………………8分点到直线的距离为所以………………9分又…………………11分又注意到,所以,所以,…………………12分因为,所以所以.…………………13分法三直线的方程为…………………6分所以点到直线的距离为…………………7分又…………………8分所以又…………………9分所以…………………10分因为所以…………………11分代入得到,…………………12分因为当且仅当时取等号,所以.…………………13分20解(Ⅰ)…………………2分(Ⅱ)对于,考虑元素,显然,,,对于任意的,不可能都为1,可得不可能都在好子集中…………………4分又因为取定,则一定存在且唯一,而且,且由的定义知道,,,…………………6分这样,集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半,而集合中元素个数为,所以中元素个数不超过;…………………8分(Ⅲ),定义元素的乘积为,显然.我们证明:“对任意的,,都有.”假设存在使得,则由(Ⅱ)知,此时,对于任意的,不可能同时为矛盾,所以.因为中只有个元素,我们记为中所有元素的乘积,根据上面的结论,我们知道,显然这个元素的坐标分量不能都为,不妨设根据的定义,可以知道中所有元素的坐标分量都为…………………11分下面再证明的唯一性若还有即中所有元素的坐标分量都为所以此时集合中元素个数至多为个,矛盾.所以结论成立…………………13分。