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文本内容:
南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷
(03)高三理科数学本试卷共4页,23题(含选考题)全卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷
一、选择题本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)设集合,,则(A)(B)(C)(D)
(2)函数是(A)最小正周期为的偶函数(B)最小正周期为的奇函数(C)最小正周期为的偶函数(D)最小正周期为的奇函数
(3)复数满足,若复数对应的点为,则点到直线的距离为(A)(B)(C)(D)
(4)已知函数,若,则(A)(B)(C)(D)
(5)已知数列为等差数列,且满足,若,点为直线外一点,则(A)(B)(C)(D)
(6)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说“我没有作案,是丙偷的”;丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁
(7)春天来了,某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念,男生甲和乙要求站在一起,3位女生不全站在一起,则不同的站法种数是(A)964(B)1080(C)1152(D)1296
(8)一个三棱锥的三视图如下图所示,则该几何体的体积为(A)(B)(C)(D)
(9)执行如图所示的程序框图,则输出的(A)(B)(C)(D)
(10)已知是定义在上的奇函数,满足且当时,则函数在区间上的零点个数是(A)4(B)5(C)6(D)7
(11)已知是双曲线的左、右焦点,设双曲线的离心率为.若在双曲线的右支上存在点,满足,且,则该双曲线的离心率等于(A)(B)(C)(D)
(12)下列命题为真命题的个数是
①;
②;
③;
④(A)1(B)2(C)3(D)4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分第
(13)~
(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答第
(22)、
(23)题为选考题,考生根据要求作答
二、填空题本题共4小题,每小题5分
(13)若向量,且∥,则实数.
(14)若的展开式中含项的系数是,则.
(15)若变量满足约束条件,则的最小值为.
(16)已知数列与满足,若的前项和为且对一切恒成立,则实数的取值范围是.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
(17)(本小题满分12分)已知函数的部分图像如图所示.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求的取值范围.
(18)(本小题满分12分)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是,女生闯过一至四关的概率依次是.(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;(Ⅱ)设表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量的分布列和期望.
(19)(本小题满分12分)如图1,在矩形ABCD中,,点分别在边上,且,交于点.现将沿折起,使得平面平面,得到图2.(Ⅰ)在图2中,求证;(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点在什么位置时,二面角的余弦值为.
(20)(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,两焦点分别为,右顶点为,.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点,与椭圆交于两点,与圆交于两点,若的面积为,,求正数的值.
(21)(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若过点恰有两条直线与曲线相切,求的值;(Ⅱ)用表示中的最小值,设函数,若恰有三个零点,求实数的取值范围.请考生在第
(22)、
(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
(22)(本小题满分10分)选修4—4坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线与曲线的普通方程;(Ⅱ)已知直线与曲线交于两点,设,求的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数,记不等式的解集为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)当时,证明.数学(理科)答案
(3)
一、选择题本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)B【解析】由得,∴.∵函数的值域为,∴,∴.
(2)A【解析】∵,∴是最小正周期为的偶函数.
(3)D【解析】由得,∴,∴对应的点为,∴所求距离为.
(4)A【解析】当即时解得,则;当即时,解得,舍去.∴.
(5)A【解析】∵,∴,即,又∵,∴,∴.
(6)B【解析】∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假;若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾;∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.
(7)C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种,其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种,∴符合题意的站法共有种.
(8)C【解析】由三视图可得到如图所示几何体,该几何体是由正方体切割得到的,利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为,∴该几何体的体积为.
(9)B【解析】∵∴输出的.
(10)B【解析】由,令,则,∵,∴的图像关于点对称,又是定义在上的奇函数,∴,∴是周期为2的函数.当时,为增函数,画出及在上的图像如图所示,经计算,结合图像易知,函数的图像与直线在上有3个不同的交点,由函数的奇偶性可知,函数在区间上的零点个数是
5.
(11)B【解析】依题设,,∵,∴,∴等腰三角形底边上的高为,∴底边的长为,由双曲线的定义可得,∴,∴,即,∴,解得.
(12)D【解析】令,则,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,∴即,,.∴
①③④正确.∵,∴.∴
②正确.
二、填空题本题共4小题,每小题5分
(13)【解析】依题设,,由∥得,,解得.
(14)【解析】展开式的通项公式为,.令,得;令,得.∴依题设,有,解得.
(15)【解析】画出可行域如图阴影部分,表示可行域内的点到定点的距离的平方减去,连接交圆于点,则点为可行域内到点距离最小的点,∴的最小值为.
(16)【解析】依题设,当时,;当时,,又∵当时,,∴.∴.∴等价于,即,∴对一切恒成立,令,则,∴当时,,当时,,∴当或时,取得最大值,∴,∴,∴.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
(17)【解】(Ⅰ)由图像知,,∴,由图像可知,,∴,∴,∴,又∵,∴,∴.(Ⅱ)依题设,,∴,即,∴,又,∴.∴.由(Ⅰ)知,,又∵,∴,∴,∴的取值范围是.
(18)【解】(Ⅰ)记“男生甲闯关失败”为事件,则“男生甲闯关成功”为事件,∴.(Ⅱ)记“一位女生闯关成功”为事件,则,随机变量的所有可能取值为.,,,,.∴的分布列为01234∴
(19)【解】(Ⅰ)∵在矩形中,∴,∴即.∴在图2中,,.又∵平面平面,平面平面,∴平面,∴,依题意,∥且,∴四边形为平行四边形.∴∥∴,又∵,∴平面,又∵平面,∴.(Ⅱ)如图1,在中,,,∵∥,,∴.如图,以点为原点建立平面直角坐标系,则,,,,∴,,,∵,∴平面,∴为平面的法向量.设,则,设为平面的法向量,则即,可取,依题意,有,整理得,即,∴,∴当点在线段的四等分点且时,满足题意.
(20)【解】(Ⅰ)由已知,不妨设,,∴,即,又∵,∴,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)依题设,如图,直线的斜率存在,设,,由得,即,,∴,点到直线的距离为∴整理得,解得或,又由直线与圆相交,有,解得,依题设,直线与双曲线的左支有两个交点,∴必有.∴.此时,,∴正数.
(21)【解】(Ⅰ)∵,∴,设切点为,则该点处的切线方程为,又∵切线过点,∴,整理得,,(*)依题设,方程(*)恰有两个不同的解,令,则,解得,
①当时,恒成立,单调递增,至多只有一个零点,不合题设;
②当时,则为的极值点,若恰有两个不同的解,则或,又∵,,∴或.令,则,解得,∴在上单调递增,在上单调递减,又∵,∴当且时,无解.∴.(Ⅱ)∵,∴当时,解得.由(Ⅰ)知,,当时,;当或时,,∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,,当时,.∵,∴,∴当时,,在上单调递减,∵,∴.∴当时,,当时,,此时恰有三个零点.当时,,解得,∴在上单调递减,在上单调递增,∴,当时,,此时不合题意;当时,恰有一个零点,此时符合题意;当时,,,又∵,当时,.∴在上有两个零点,此时在上有4个零点,不合题设.综上,的取值范围是.
(22)【解】(Ⅰ)由得,∴直线的普通方程;由得,又∵,∴曲线的普通方程为.(Ⅱ)设对应的参数为,将代入得,∴,∵直线的参数方程为可化为,∴,∴.
(23)【解】(Ⅰ)依题设,,∴当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时.∴的解集为.(Ⅱ)证明当时,要证,只需证,由(Ⅰ)知,当时,,∴,又∵,∴,∴.数学(理科)答案
(3)
一、选择题本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)B【解析】由得,∴.∵函数的值域为,∴,∴.
(2)A【解析】∵,∴是最小正周期为的偶函数.
(3)D【解析】由得,∴,∴对应的点为,∴所求距离为.
(4)A【解析】当即时解得,则;当即时,解得,舍去.∴.
(5)A【解析】∵,∴,即,又∵,∴,∴.
(6)B【解析】∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假;若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾;∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.
(7)C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种,其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种,∴符合题意的站法共有种.
(8)C【解析】由三视图可得到如图所示几何体,该几何体是由正方体切割得到的,利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为,∴该几何体的体积为.
(9)B【解析】∵∴输出的.
(10)B【解析】由,令,则,∵,∴的图像关于点对称,又是定义在上的奇函数,∴,∴是周期为2的函数.当时,为增函数,画出及在上的图像如图所示,经计算,结合图像易知,函数的图像与直线在上有3个不同的交点,由函数的奇偶性可知,函数在区间上的零点个数是
5.
(11)B【解析】依题设,,∵,∴,∴等腰三角形底边上的高为,∴底边的长为,由双曲线的定义可得,∴,∴,即,∴,解得.
(12)D【解析】令,则,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,∴即,,.∴
①③④正确.∵,∴.∴
②正确.
二、填空题本题共4小题,每小题5分
(13)【解析】依题设,,由∥得,,解得.
(14)【解析】展开式的通项公式为,.令,得;令,得.∴依题设,有,解得.
(15)【解析】画出可行域如图阴影部分,表示可行域内的点到定点的距离的平方减去,连接交圆于点,则点为可行域内到点距离最小的点,∴的最小值为.
(16)【解析】依题设,当时,;当时,,又∵当时,,∴.∴.∴等价于,即,∴对一切恒成立,令,则,∴当时,,当时,,∴当或时,取得最大值,∴,∴,∴.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
(17)【解】(Ⅰ)由图像知,,∴,由图像可知,,∴,∴,∴,又∵,∴,∴.(Ⅱ)依题设,,∴,即,∴,又,∴.∴.由(Ⅰ)知,,又∵,∴,∴,∴的取值范围是.
(18)【解】(Ⅰ)记“男生甲闯关失败”为事件,则“男生甲闯关成功”为事件,∴.(Ⅱ)记“一位女生闯关成功”为事件,则,随机变量的所有可能取值为.,,,,.∴的分布列为01234∴
(19)【解】(Ⅰ)∵在矩形中,∴,∴即.∴在图2中,,.又∵平面平面,平面平面,∴平面,∴,依题意,∥且,∴四边形为平行四边形.∴∥∴,又∵,∴平面,又∵平面,∴.(Ⅱ)如图1,在中,,,∵∥,,∴.如图,以点为原点建立平面直角坐标系,则,,,,∴,,,∵,∴平面,∴为平面的法向量.设,则,设为平面的法向量,则即,可取,依题意,有,整理得,即,∴,∴当点在线段的四等分点且时,满足题意.
(20)【解】(Ⅰ)由已知,不妨设,,∴,即,又∵,∴,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)依题设,如图,直线的斜率存在,设,,由得,即,,∴,点到直线的距离为∴整理得,解得或,又由直线与圆相交,有,解得,依题设,直线与双曲线的左支有两个交点,∴必有.∴.此时,,∴正数.
(21)【解】(Ⅰ)∵,∴,设切点为,则该点处的切线方程为,又∵切线过点,∴,整理得,,(*)依题设,方程(*)恰有两个不同的解,令,则,解得,
①当时,恒成立,单调递增,至多只有一个零点,不合题设;
②当时,则为的极值点,若恰有两个不同的解,则或,又∵,,∴或.令,则,解得,∴在上单调递增,在上单调递减,又∵,∴当且时,无解.∴.(Ⅱ)∵,∴当时,解得.由(Ⅰ)知,,当时,;当或时,,∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,,当时,.∵,∴,∴当时,,在上单调递减,∵,∴.∴当时,,当时,,此时恰有三个零点.当时,,解得,∴在上单调递减,在上单调递增,∴,当时,,此时不合题意;当时,恰有一个零点,此时符合题意;当时,,,又∵,当时,.∴在上有两个零点,此时在上有4个零点,不合题设.综上,的取值范围是.
(22)【解】(Ⅰ)由得,∴直线的普通方程;由得,又∵,∴曲线的普通方程为.(Ⅱ)设对应的参数为,将代入得,∴,∵直线的参数方程为可化为,∴,∴.
(23)【解】(Ⅰ)依题设,,∴当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时.∴的解集为.(Ⅱ)证明当时,要证,只需证,由(Ⅰ)知,当时,,∴,又∵,∴,∴.。