向量的数量积的物理背景与定义教学设计高中.杨永良

教学设计个人信息姓名单位联系方式设计者杨永良北京景山学校远洋分校13466397267教学基本信息课题

2.

3.1向量数量积的物理背景与定义学科数学学段高中年级高一相关领域教材书名数学出版社人教社出版日期2007年4月第3版

1.指导思想与理论依据高中数学课程标准不仅强调数学知识与实际的联系、数学知识与其他学科的联系，而且强调数学知识的发生和形成过程注重数学知识的本质，适度形式化，以让学生经历数学的再创造过程向量是高中数学课程标准的新增内容之一，它是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，通过了解向量丰富的实际背景，有助于学生理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题发展运算能力和解决实际问题的能力通过向量在平面几何、解析几何以及物理中的应用，体会向量的重要价值因此，在本节课中，我从学生熟悉的物理背景“功”出发，通过设置启发性的问题，激发学生进行自主探索与合作交流，学生能够从物理背景中发现问题、提出问题，经历向量的数量积即数学概念模型的发生和形成过程，了解数学知识的来龙去脉，从而归纳和抽象出数量积的定义，并让学生体会到数学与物理学科的联系，感受数学的应用价值，发展学生的应用意识和能力同时，在应用向量的数量积定义进行计算的环节中，通过将向量以及向量的夹角进行一系列的特殊化，既巩固和加深了对定义的理解，同时又加深了对数量积性质的理解，并初步体会了向量的数量积的应用，培养学生的抽象概括、运算求解和初步的推理论证能力总之，在本节课中，我努力帮助学生揭示两个向量的数量积的本质及其性质的形成过程，使学生理解该概念及其性质，从而获得对数学较为全面的体验和感悟，让学生体会在问题解决过程中所蕴涵数的一些数学模式

2.教学背景分析教学内容分析从本章教材来看，平面向量的数量积是继向量概念、向量的线性运算（包括向量的加法和减法以及数乘）及轴上向量的坐标及其运算和向量的直角坐标运算等内容之后的又一重要概念和运算，在本节内容之前，已经多次渗透和体现了实数（或有序实数对（x，y））与轴上的向量（或直角坐标系中的向量）具有一一对应关系因此，向量的线性运算不仅包含了几何（形）的意义，也包含了向量的数量化（数）的意义，这使得本节课中向量的数量积仍然具有数与形的双重特征本节课中仍然沿用这种向量数量化（同时仍然保持向量的形的特征）以及向量运算数量化的方法，这种方法为之后的向量数量积的坐标运算与度量公式以及今后平面向量和空间向量的数量化和代数化同样奠定了基础和“大纲”教材相比，“课标”教材由“明确平面向量的数量积定义、数学表达式及其几何意义”变为“理解平面向量数量积的含义及其物理意义”；“明确向量在向量的方向上的投影”改为“体会平面向量的数量积与向量投影的关系”这些都说明了新课标更加注重数学知识的实际背景以及知识的发生、发展和形成过程、注重学科间的联系以及学生的生活经验和学生对知识的理解和领悟，适应学生的认知特点和学科的内在逻辑“课标”教材（B版教材）在处理一个向量对另一个向量的投影上，采用的是先将向量正射影，然后再用坐标表示将其数量化，这样的呈现方式可能会增加学生的负担，但更有利于学生理解向量的形成过程，本节课采用正射影概念，然后将其数量化并自然过渡到向量的投影本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的模型抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质及其应用因而数量积的概念成为本节课的核心概念同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点由于数量积的性质在证有关垂直、求长度、求角中经常用到，因而数量积的性质是本节课的又一教学重点.2）学生情况分析1）知识和技能基础学生在学习本节内容之前，已熟知了数与式的运算，掌握了向量的概念及其线性运算（向量的加法和减法以及向量数乘），也掌握了轴上向量的坐标及其运算以及向量的分解和向量的坐标运算，同时具备了力的分解、矢量、功、标量等物理知识2）方法和经验基础在这一章的学习中，学生已经多次体会了向量的线性运算，并且也多次感知了将向量用坐标来表示，体会了将向量数量化的过程因此，学生已经具备了研究向量运算的一般方法和经验另外，学生已经学习过功等物理知识，学生对此并不陌生，这为学生学习向量的数量积做了很好的铺垫，便于学生接受和理解，从而容易将物理模型抽象出数学概念3）可能存在的问题由于受向量的线性运算（当向量的运算不是坐标运算时，结果都是向量）的影响，会对学生对向量的数量积定义的理解产生干扰，因为相对于向量的线性运算的结果（向量）而言，向量的数量积的结果（数）发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点很难接受；另外，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的困难，特别是对向量的数量积的性质的理解因此，本节课教学的难点是数量积定义及性质的理解和应用

3.教学目标含重、难点1教学目标知识与技能通过物理中功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量正射影的关系；会根据题目条件求两个向量的数量积和夹角；过程与方法经历向量数量积的形成过程，体验数形结合和类比的思想和方法；通过应用向量的数量积定义进行简单的计算，形成初步的计算推理论证能力；情感、态度与值观价经历向量数量积概念及其性质的形成过程念，体会向量数量积的应用价值，形成由特殊到一般、由一般到特殊的认识事物的方法；2教学重点通过对教学内容的分析（详见“教学背景分析”中的教学内容分析（这里略），特制定如下的教学重点:向量的数量积的定义及性质；3教学难点对于教学难点的分析详见“教学背景分析”中的“学生可能出现的问题”的分析中（这里略）特制定以下教学难点向量数量积定义及性质的理解和应用教学流程示意

4.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教学时间一温故知新，问题引入

（一）温故知新问题1向量运算的研究内容及其方法？从向量的线性运算来看，研究了向量的加、减和数乘运算，这些运算结果都是向量，这是向量“形”的特征；当向量用坐标来表示时，这些运算结果都是“数”，这是向量“数”的特征；既然向量有加、减、数乘运算，我们自然会想到向量可能还会有？运算的结果又是什么？向量的“积”的运算同学们并不陌生，比如物理中力对物体做功的问题

（二）问题引入问题2:如何计算力做功？如图一个力作用于一个物体，使该物体位移，如何计算这个力做的功？分析公式的含义？要计算功，就要这两个向量夹角以及力在位移方向上的分量的数量大小回顾与反思向量的加法、减法及数乘运算；结果是向量，向量既有形的性质，又有数的性质向量的乘除运算说出功的计算公式分析各物理量的含义，指出的含义温故知新，形成对知识的整体感知合情推理通过熟悉的物理背景去感知向量的数量积问题，便于学生接受和理解明确本节课要研究的主要内容5二探究概念，形成定义二探究概念，形成定义

（一）探究两个向量的夹角问题1两个向量夹角的概念？

（1）两个向量夹角的取值范围？

（2）两个向量的夹角的概念？教师以两支铅笔（尖头表示向量的方向）作为两个向量进行动态演示；请同学们仔细观察（演示）一个向量进行平移时向量的夹角是多少度？（见下图）预设学生有两种答案，让学生说出理由这个问题说明了我们该如何去找两个向量的夹角？你能迅速找出下列两个向量的夹角吗？出示两个向量夹角的概念，表示方法问题2指出下列两个向量的夹角？要求学生说明理由问题3揭示向量夹角的内涵？刚才研究了向量的夹角，求力对物体做的功还要研究力在位移方向上的分力的数量

（二）探究向量在轴上的正射影及数量

1、向量在轴上的正射影按照物理中力的正交分解，力在位移方向上的分力是一个向量，同样，一般地，一个向量沿着轴及垂直于的方向上正交分解后也是一个向量，如图所示详见ppt的图

（1）解释概念请说出图

（2）中向量在轴上的正射影？

2、正射影在轴上的数量类比力在位移方向上的分力的大小可以用，同样，上述向量的正射影在轴上如何用坐标来表示？在图

（1）中，若，求在上的正射影的数量；在图

（2）中，若，求在上的正射影的数量；通过计算，说说你的发现？

（三）形成向量的数量积定义

1、归纳形成概念问题请结合力对物体做功来说明的物理意义？类比功意义尝试说出的意义板书定义

2、揭示概念的内涵问题向量的数量积表示的含义？引导学生从以下几个方面去理解1）数量积的结果是向量还是数；2）符号是如何确定的；3）几何意义；4）向量的数量积运算与线性运算的结果有什么异同等等.观察实物演示并口答相关问题说出相应的理由描述向量夹角时两个向量应有公共起点说出度数以及向量平移的过程尝试下定义说明理由与教师互动完成与教师互动完成学生表示练习强化计算发现结论尝试解释在教师引导下下定义学生讨论分享如数，由向量的夹角大小确定的等等实物直观帮助学生理解向量的夹角概念的形成过程认知冲突引发学生思考，理解向量夹角的内涵强化向量的夹角的内涵培养总结归纳和概括能力应用概念解决问题强化概念含义类比迁移学习，帮助理解向量的数量积概念感受概念的形成过程正射影逐渐向数量的转化，为理解向量的数量积作铺垫，感受向量在轴上的数量化过程初步感受向量数量积的含义物理意义下的“功”概念进行抽象概括，培养总结、归纳及数学的表达能力概念内涵的挖掘，形成知识体系7108三利用定义，探究性质向量数量积的应用

①已知，，，求，

②已知，，，求

③已知，求；

④已知，，求请学生独立完成，教师适当指导

（二）向量数量积的性质总结根据你刚才的计算过程和结果，你能获得哪些结论？引导学生总结以下性质

①若是单位向量，则

②且

③即

④⑤性质5请同学们课下证明教师引导学生总结每个性质在今后中的应用价值学生独立完成观察发现，尝试总结初步体会向量数量积的应用价值检查学生对向量的数量积的定义的应用情况，同时为总结、归纳和理解向量数量积的性质做铺垫培养学生的抽象概括能力，帮助学生理解向量数量积的性质13四总结提升，形成模式

（1）回顾知识的形成过程；

（2）回顾和反思研究过程，寻求问题解决过程中的方法和思考问题的角度？总结见“六板书设计”与教师互动完成总结提升，形成数学思维的模式2五布置作业教材P109:练习A、B作业巩固六板书设计

5.学习效果评价设计课堂观察评价

1、在揭示向量夹角的内涵环节中，绝大部分学生能顺利地说出向量夹角的范围、向量夹角为特殊角时两向量的位置关系以及能正确判断两向量的夹角；

2、在求已知向量在轴上的正射影及其数量环节中，所有学生都能正确求解；

3、在揭示向量的数量积的内涵环节中，75%以上学生能学说出其中的部分含义；

4、在根据题目条件求两个向量的数量积和夹角环节中，95%以上的学生能正确解答；

5、在总结向量数量积的性质环节中，65%以上的学生能总结出结论课后自我评价日期学习活动课题本节知识点，思想方法有哪些我是否知道向量内积的几何意义？我是否理解向量数量积的性质？我对本节课感兴趣的地方？疑点评价教师

6.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点300-500字数

1、注重数学概念的本质，适度形式化在本设计中，我努力揭示向量的数量积概念及其性质的发生、发展和形成过程比如因为向量的数量积概念比较抽象，而且学生容易受向量的线性运算的负迁移影响，两个向量运算后是一个实数，学生很难理解这个概念因此，我把学生熟悉的“功”作为物理背景，经过探究功的物理意义、向量夹角的内涵、向量在轴上的正射影以及将向量的正射影数量化的过程（并及时让学生进行了相应的练习，而没有直接采用向量投影的概念），利用类比物理中“功”的意义去理解向量的数量积概念，同时，通过揭示向量的数量积的内涵，强化学生对该抽象概念的接受和理解在研究向量数量积的重要性质时，教科书对性质的证明未作要求，而是留给学生课后练习，随后给出例题在处理教材时，我在这里做了些微调，没有直接给出向量数量积的性质，而是通过先让学生利用向量积的定义进行变式运算和操作，加深对概念的理解，再从刚才的运算操作中自然总结出向量数量积的性质，有利于学生对性质的理解和应用

2、注重问题解决的数学思考在本设计中，我也努力让学生感受到研究一个问题的过程和方法，使学生学会用数学的思考方式去解决问题和认识事物比如在课题的引入环节，首先站在运算的角度回顾向量就象数与式那样可以进行运算，对向量而言，不仅有“形”的运算，还有“数”的运算，合情推理出向量的“乘”运算；在本节课的课堂总结环节，通过回顾和反思问题解决的过程，也让学生看到了本节课的是在遵循以物理问题为载体，逐步抽象成数学概念，然后利用概念去推导性质，并在今后的学习中利用性质去解决其他的数学和物理等问题的方式来思考问题的θsF。