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一元一次方程
1、从算式到方程【知识梳理】
1、前面学过有关方程的一些知识,你能说出什么是方程吗答含有的等式叫做方程例如4x-1=7就是方程其中______是已知数______是未知数例1:判断下列是不是方程是打“√”,不是打“×”
①;()
②3+4=7;()
③;()
④;()
⑤;()
⑥;()
2、观察下面方程的特点
(1)4=24;
(2)1700+150=2450
(3)
0.52x-1-
0.52x=80像上面的方程,它们都含有个未知数(元),未知数的次数都是,这样的方程叫做一元一次方程(即方程的一边或两边含有未知数)
3、使方程左右两边值相等的______的值叫做方程的解只含有一个未知数的方程的解也叫做根求得方程__________________的过程叫做解方程判断一个数是否为方程的根只需要把这个数代入方程使方程两边的值的数是这个方程的根解.例2检验2和-3是否为方程的解解当x=2时,左边==,右边==,∵左边右边(填=或≠)∴x=2方程的解(填是或不是)当x=时,左边==,右边==,∵左边右边(填=或≠)∴x=3方程的解(填是或不是)
4、寻找关系,列出方程分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法例31从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用
3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲乙两地相距x千米,则列方程为_______________ 2某项工作甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先干一天,然后,甲、乙合作完成此项工作,若设甲一共做了x天,乙工作的天数为_________ 由此可列出方程_________________________ 3某数的5倍减去4,等于该数的6倍加上1,求这个数列出方程_________________________ 【知识检测】基础训练1.若4xm-1-2=0是一元一次方程,则m=______.2.某正方形的边长为8cm,某长方形的宽为4cm,且正方形与长方形面积相等,则长方形长为______cm.3.已知(2m-3)x2-(2-3m)x=1是关于x的一元一次方程,则m=______.4.下列方程中是一元一次方程的是()A.3x+2y=5B.y2-6y+5=0 C.x-3=D.4x-3=05.已知长方形的长与宽之比为21周长为20cm,设宽为xcm,得方程________.6.)利润问题利润率=.如某产品进价是400元,标价为600元,销售利润为5%,设该商品x折销售,得方程()-400=5%×400.7.某班外出军训,若每间房住6人,还有两间没人住,若每间住4人,恰好少了两间宿舍,设房间为x,两个式子分别为(x-2)6人,(x+2)4,得方程_______.8.某农户2006年种植稻谷x亩,2007年比2006增加10%,2008年比2006年减少5%,三年共种植稻谷120亩,得方程_______.9.一个两位数,十位上数字为a,个位数字比a大2,且十位上数与个位上数和为6,列方程为______.10.某幼儿园买中、小型椅子共50把,中型椅子每把8元,小型椅子每把4元,买50把中型、小型椅子共花288元,问中、小型椅子各买了多少把?若设中型椅子买了x把,则可列方程为______.11.中国人民银行宣布,从2007年6月5日起,上调人民币存款利率,一年定期存款利率上调到
3.06%,某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元(到期后银行将扣除5%的利息税).设到期后银行向储户支付现金x元,则所列方程正确的是()A.x-5000=5000×
3.06%B.x+5000×5%=5000×(1+
3.06%)C.x+5000×
3.06%×5%=5000×(1+
3.06%)D.x+5000×
3.06%×5%=5000×
3.06%12.足球比赛的计分方法为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一个队共打了14场比赛,负了5场,得19分,设该队共平x场,则得方程()A.3x+9-x=19B.2(9-x)+x=19C.x(9-x)=19D.3(9-x)+x=1913.检验2和是否为方程的解
14.已知方程(m-2)x|m|-1+3=m-5是关于x的一元一次方程,求m的值,并写出其方程.
15.一根竹竿锯掉三分之一,剩余竹竿的长为
2.5米,求这根竹竿原来的长度?试设出未知数并列出方程
16.某个月有四个星期日,这四天的号数的和是58,则这个月的第一个星期日是几号?试设出相应的未知数,列出方程,并分别检验3,4,5是否所列方程的解拓展提高17.小明爸爸把家里的空啤酒瓶让小明去换饮料,现有40个空啤酒瓶,1个空啤酒瓶回收是
0.5元,一瓶饮料是2元,4个饮料瓶可换一瓶饮料,问小明可换回多少瓶饮料?
18.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑,小明输入了700字,剩下的让小华输入,小华平均每分钟能输入50个字,问小华要多少分钟才能完成?(请设未知数列出方程,并尝试求出方程的解)
2、等式的性质【知识梳理】
1、用符号来表示叫等式例如m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式,我们可以用a=b表示一般的等式
2、探索等式的性质等式的性质1等式两边都,结果例如等式1+3=4,把这个等式两边都加上5结果仍是等式即1+3+5=4+5,把等式两边都减去5,结果仍是等式,即1+3-5=4-5.怎样用式子的形式表示这个性质?如果a=b,那么a±c=b±c.运用性质1时,应注意等号两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式,否则就会破坏相等关系,例如,对于等式3+4=7,如果左边加上5,右边加上6,那么3+4+5≠7+6.等式性质2等式两边的数,结果怎样用式子的形式表示这个性质?如果a=b,那么ac=bc.如果a=b,(c≠0),那么=.性质2中仅仅乘以(或除以)同一个数,而不包括整式(含字母的),要注意与性质1的区别.运用性质2时,应注意等式两边都乘以(或除以)同一个数,才能保持所得结果仍是等式,但不能除以0,因为0不能作除数.例题
1、利用等式的性质解下列方程
(1)x+7=26;
(2)-5x=20;
(3)-x-5=4.例题
2、下列方程的解法对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正?
(1)解方程x+12=34解x+12=34=x+12-12=34-12=x=22
(2)解方程-9x+3=6解-9x+3-3=6-3于是-9x=3所以x=-3
(3)解方程-1=解两边同乘以3,得2x-1=-1两边都加上1,得2x-1+1=-1+1化简,得2x=0两边同除以2,得x=0【知识检测】基础训练1.在4x-2=1+2x两边都减去_______,得2x-2=1,两边再同时加上________,得2x=3,变形依据是________.2.在x-1=2中两边乘以_______,得x-4=8,两边再同时加上4,得x=12,变形依据分别是________.3.一件羽绒服降价10%后售出价是270元,设原价x元,得方程()A.x(1-10%)=270-xB.x(1+10%)=270C.x(1+10%)=x-270D.x(1-10%)=2704.甲班学生48人,乙班学生44人,要使两班人数相等,设从甲班调x人到乙班,则得方程()A.48-x=44-xB.48-x=44+xC.48-x=2(44-x)D.以上都不对5.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),按收方由密文→明文(解密),已知加密规则为明文a,b,c对应的密文a+1,2b+4,3c+9,例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18,如果接收的密文7,18,15,则解密得到的明文为()A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,66.用等式的性质解下列方程
(1)4x-7=13;
(2)x-2=4+x.347.列方程并求解.1某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少100套,如果每天平均生产32套服装,就可以超过订货任务20套,问原计划几天完成?2一个两位数个位上的数字比十位上的数字大2个位与十位上的数字之和是10求这个两位数提示:设个位上的数字为x拓展提高8.某校一间阶梯教室,第1排的座位数为12,从第2排开始,每一排都比前一排增加a个座位.
(1)请在下表的空格里填写一个适当的代数式.第1排座位数第2排座位数第3排座位数第4排座位数…第n排座位数1212+a…
(2)已知第15排座位数是第5排座位数的2倍,列方程为______.
3、合并同类项和移项【知识梳理】
1、方程两边所含的项数比较多,我们可以利用的方法化简方程,这是一种恒等变形,将这类方程转化为x=a的形式,进而求出未知数的值.
2、把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做;通过这样,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式注意1根据等式性质1,移项时要对移项改变符号.2一个方程中的项的移动只是在方程中的某一边移到另一边的变化,不同于某个式子中的项的移动.如-1+3x=-x+7→3x-1=7-x.这种移动是顺序变化,像这种改变位置的项就不能改变符号.合并只有系数不同的两个式子才可以合并.合并的依据是分配律.合并时,把系数相加,字母和字母的指数不变.如2x+x+4x+2a=2+1+4x+2a=7x+2a.点拨 移项时最易遇到的思维障碍是移什么项?移哪一项?从哪一边移到哪一边?往往会一筹莫展.解决这个问题很简单,有一定规律不论左移还是右移,只要将未知项移到方程一边,常数项移到方程另一边就不会错,否则无功而返.常用的技巧是把含未知数的项统一移到左边,不含未知数的项统一移到右边;但要注意的是,移项一定要改变符号.例1解下列方程
(1)2x-8=3x
(2)6x-7=4x-
53、列方程解应用题必须解决好以下三个环节
(1)如何设未知数a.直接设未知数,一般是题目中问什么设什么,它多适用于要求的未知数只有一个的情况.b.间接设未知数,间接设未知数则不是题目中问什么就设什么,它一般是问此设彼,迂回前进.例如,求整体时,可先设其中的某部分为未知数;求部分时,又可设其整体为未知数;求速度时,设路程为未知数;求工作时间时,设工作效率为未知数;当题设中含有“比”时,可先设其中的一份为未知数等等.对这类问题,题目中往往不只含一个未知数.2如何探求相等关系“找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系”是列方程解应用题的关键.3列方程解应用题的一般步骤及书写格式.列方程解应用题的一般步骤审审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;找找出能够表示问题全部含义的一个相等关系设设未知数一般求什么,就设什么为x列根据这个相等关系列出需要的式子,从而列出方程解解所列出的方程,求出未知数的值;答检验所求解是否符合题意,写出答案包括单位名称例2列方程并求解有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人,如果送还了一条船,正每条船坐9人,问这个班共多少同学?【知识检测】一选择题
1.方程6x=3+5x的解是()A.x=2B.x=3C.x=-2D.x=-
32.下列变形中,属于移项的是()A.由3x=-2,得x=-B.由=3,得x=6C.由5x-7=0,得5x=7D.由-5x+2=0,得2-5x=
03.已知x=2是方程ax+3bx+6=0的解,则3a+9b-5的值是()A.15B.12C.-13D.-
144.方程2x-4=3x+8移项后正确的是()A.2x+3x=8+4B.2x-3x=-8+4C.2x-3x=8-4D.2x-3x=8+4
二、填空题
5.合并
(1)6x-7x+9x=2-2m+3m-5m=
6.方程4x-5=3x+2,利用可变形为4x-3x=2+5,这种变形叫做
7.
(1)解方程3x-2=1时,移项得,合并同类项得,系数化1得
(2)解方程6x+8=31-2x,移项得合并同类项得,系数化1得
8.
(1)方程x-2x=的解是
(2)方程3x-5=8-4x的解是三.解答题
9.解下列方程
(1)3x-2=x+1+6x;2
(3)7x-
2.5x+6×3=-15×4+
1.5x-3x
10.已知x=-7是关于方程nx-3=5x+4的解,求n的值
11.一条山路,某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶,若从山顶走到山下只用150分钟,已知下山速度是上山速度的1.5倍,求山下到山顶的路程.(提示设上山的速度为x千米/小时)12.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.1当两人同时同地背向而行时,经过几秒钟两人首次相遇;2两人同时同地同向而行时,经过几秒钟两人首次相遇.
13、洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台,其中I型、II型、III型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14,这三种洗衣机计划各生产多少台?。