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七年级数学下册第五单元测试
5.1认识三角形典型例题 例1选择题下列各组线段中能组成三角形的是( ) A.B. C.D. 分析判断三条线段能否组成三角形,就是根据三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边. 解应选C. 说明在应用三角形三边之间的关系时,要注意“……大于……”“……小于……”.如上题中的选项B,有,也构不成三角形. 例2如图是某个蔬菜大棚的构架图,那么图中共有多少个三角形? 分析数图形个数时,既要不重又要不漏.数三角形个数有两种方法
(1)按大小顺序数,其中“单个的小三角形”有四个,含有两个小三角形的较大三角形有两个,另外还有一个大三角形.
(2)先固定一个顶点,变换另两个顶点来数.例如以A为顶点的三角形有3个,分别是,用该法时注意不要重复. 解图中共有7个三角形. 例3三角形一个角是第二个角的倍,第三个角比这两个角的和大30°,求这个三角形的三个角. 分析如果设第二个角是,则有第一个角是,第三个角是,由三角形内角和等于180°可以列出方程,从而求出各个角. 解设第二个角是,则第一个角是,第三个角是,根据三角形三个内角和是180°,得 解这个方程,得 所以. 答这个三角形第一个角是45°,第二个角是30°,第三个角是105°. 说明一般在三角形求内角问题时,我们首先应考虑应用三角形三个内角间的关系. 例4根据条件,判断的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)
(1)
(2)
(3) 分析三角形中如果有一个内角是钝角(或直角)那么这个三角形一定是钝角三角形(或直角三角形),但是如果有一个内角是锐角,那么它未必是锐角三角形,因为锐角三角形必须是三个内角均为锐角.可以根据三角形内角和定理确定各内角的度数,进而确定三角形的形状. 解
(1), ∴是锐角三角形.
(2)∵在中, 又,∴, ∴是直角三角形.
(3),又,∴,∴,∴∴是钝角三角形. 例5在Rt中,,AD是的高,找出图中相等的角. 分析根据题意可知,图中有三个直角三角形,分别是Rt、Rt、Rt,根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角,再根据“同角(或等角)的余角相等”可以找出相等的角. 解∵在Rt中, ∴(直角三角形的两个锐角互余) 又∵在Rt中,,∴ ∴(同角的余角相等) 同理可得. 习题精选
一、选择题 1.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,则应在下列四根木棒中选取() A.10cm的木棒B.20cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒 2.以下列三条线段为边,能构成三角形的是() A.3,6,12B.3,7,10C.2,6,9D.3,4,3 3.三角形的高在() A.三角形外部B.三角形内部 C.三角形的边上D.三角形内部、外部或与边重合
二、填空题 1.一个等腰三角形的周长为30cm,它有一条边长是另一条边长的一半,它的底边________cm,一腰长________cm. 2.三角形的两边分别为4和5,第三边为,则的取值范围是_________. 3.等腰三角形的腰长为6,它的底边长的范围是___________. 4.若,线段c的长是正整数,则以a、b、c为边的三角形有__________种可能形状. 5.中,,周长是一个偶数,则,是________三角形. 6.如图,AD是的角平分线,且,则度,度. 7.如图,,则度,度. 8.如图,中,平分交AB于E,则的度数为_________,的度数为_________. 9.如图,已知AD是的BC边的高,AE是的平分线,若则度. 10.如图,图中共有_____个三角形,其中,以AC为一边的三角形有________,是中边_________的对角. 11.如果用3根火柴作为一边,用8根火柴作为另一边摆三角形,那么第三边能用火柴的根数是________. 12.若一个三角形的两个内角分别为53°和60°,则此三有形为________三角形. 13.三角形三个内角的比为135,则最大内角是_________度,该三角形是_______三角形.
三、解答题 1.的周长为24cm,三边为a、b、c,且,求a、b、c. 2.如图,点E是的两条角平分线的交点.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的度数;
(3)能是直角吗?能是锐角吗?说明理由. 参考答案
一、1.B2.D3.D
二、1.6,122.3.大于0,小于124.55.9,等腰6.7.78,1108.35,859.16°10.8,11.
7、
7、
8、
9、1012.锐角13.100钝角
三、1. 2.
(1)130°
(2)80°
(3)不能是直角,如果是直角则,不可能,同理也不能是锐角,如果是锐角则,不可能典型例题 例1指出下面图形中,哪对是全等图形. 分析
(1)
(2)
(4)的形状大小都没变,所以
(1)
(2)
(4)的每对图形都是全等图形,而
(3)大小发生了变化,故
(3)中的一对图形不是全等图形. 解
(1)、
(2)、
(4)是全等图形,
(3)不是全等图形. 说明在判断两个图形是否全等时,
(1)是形状相同,
(2)是大小相等. 例2指出下列8个图形中的全等图形 分析要判断两个图形是否是全等图形,可以根据定义,即把两个图形叠在一起,看是否能够重合,重叠时根据需要可以适当改变图形的方向;也可以观察两个图形的大小和形状是否相同. 解上面8个图形中,全等图形有
(1)与
(6),
(4)与
(5),
(7)与
(8) 例3下列叙述
(1)能够重合的图形一定是全等图形
(2)全等图形的面积一定相同
(3)两个面积相等的图形一定是全等图形
(4)两个周长相等的图形一定是全等图形. 中正确的个数是( ) A.1个B.2个C.3个 分析全等图形的形状、大小、面积、周长均相同,但是很明显,面积或周长相同的两个图形未必是全等图形,因为它们的形状可以各种各样.故本题中,
(1)、
(2)是正确的,而
(3)、
(4)是错误的. 解选B. 例4将下面的平行四边形田地划分成两个全等的部分. 分析结合图形的实际进行全等图形的划分,对于平行四边形有四种划分方法. 解习题精选
一、填空题 1.下列图形中是全等图形的是__________ 2.从同一张底片上冲出来的两张五寸照片___________全等图形,从同一张底片上洗出来的一张五寸照片和一张七寸照片_____________全等图形(填“是”或“不是”). 3.如图,把沿直线BC为轴翻转180°后变到的位置,那么与________全等图形(填“是”或“不是”);若的面积为3,则的面积为______________.
二、判断题 1.正方体的两个面是全等图形;( ) 2.所有半径相等的圆都是全等图形;( ) 3.面积相等的两个三角形是全等图形;( ) 4.所有的正方形都是全等图形;( ) 5.所有的等边三角形都是全等图形;( )
三、解答题 1.一个正方形纸片,沿着其对角线剪开得到两个三角形,这两个三角形是否全等?为什么? 2.如图,分别是长方形、平行四边形、梯形、圆四种纸片,沿图中给的虚线剪开,都得到一对图形,问有哪几对是全等图形,并说明理由. 参考答案
一、1.
(2)与
(3),
(4)与
(8),
(1)与
(9),
(11)与
(12) 2.是不是 3.是3
二、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.×
三、1.全等,互相重合 2.长方形、平行四边形、圆,沿虚线剪开,所得的一对图形分别彼此全等,理由是,剪开后相互重合梯形剪开后所得的一对图形不是全等图形,理由是彼此不能重合.2009-08-1020:19典型例题 例1按下列步骤设计图案
(1)画一个正方形;
(2)去掉两个全等的直角三角形
1、2;
(3)将直角三角形
1、2分别放在
3、4的位置上;
(4)在得到的图形上画出你喜欢的图案;
(5)再做出若干个这样的图案,利用它们拼成一个美丽的图案 解析根据提示可以得到图案(见下图),展开丰富的想象力,在图形上绘制出适当的图案,再试着将若干个这样全等的图形拼摆起来得到一个大的图案下面给出一种参考答案 例2下图是由几种全等图形拼成的图案,请你在图案中找出几种全等的图形,并分别说出它们的名称. 分析仔细观察,注意发现全等图形. 解有全等六边形,全等五边形,全等正方形和两种全等三角形……等. 说明图形要观察全面. 基础习题 1.用如图所示的六个全等的菱形,你能设计出一个美丽的图案吗?试试看! 2.给你两块全等的含30°角的三角板,如图所示,展开你丰富的想象力,你能拼出哪些不同的几何图形? 3.请你自己设计一个美丽的图案,并简单地写出设计图案的步骤,与你的同伴交流. 参考答案 1.略 2. 3.略提高习题 1.观察下图,请指出每个图案都由几种简单图形组成,试把这几种图形画出来,并试设计一种图案 2.如下图,试用电脑中的图,组合成下面图案,并把组成图案的图单独画出来 2009-08-1020:20典型例题 例1如图,≌,写出其对应顶点、对应边、对应角. 分析找对应元素,有一简便方法先结合图形判断已知条件中的“≌”是否按照对应顶点的顺序写的,如果确认顺序正确,则可以按照以下顺序 写出它们的对应边AB与AD,BC与DE,AC与AE,类似地,可以写出它们的对应顶点、对应角. 解对应顶点A与A,B与D,C与E 对应边AB与AD,BC与DE,AC与AE 对应角与,与,与 例2如图,已知≌,且在同一直线上,
(1)和相等吗?试说明理由;
(2)如果,求和的度数. 分析
(1)因为≌, 所以.
(2)因为≌,, 又因为, 所以. 所以. 解
(1), 因为≌,所以 所以.
(2) 因为≌,所以, 所以,所以, 所以. 说明该题主要是应用“全等三角形对应边相等,对应角相等”,在找相等的边和角时,应注意“对应”. 例3下列各题的全等三角形经过怎样的运动后能完全重合?
(1)≌;
(2)≌;
(3)≌. 分析这样的题关键是先找到对应边和对应角,即哪个边和哪个边重合,哪个角和哪个角重合就可以找到运动的办法. 解
(1)把三角形ADE顺时针旋转45°;
(2)把三角形ABC沿AC对折过去;
(3)把三角形ABC沿A、F所在的直线对折过去. 说明
(1)要找准对应边、对应角;
(2)运动是相对的,所以两个三角形中移动哪个都可以. 例4如图,≌,求证 分析本题是全等三角形与平行线的综合应用,由三角形全等可推出对应角相等,而由角相等可推出直线(或线段)平行.同学们,数学知识是前后贯通的,你体会到了吗? 解≌ ∴(全等三角形对应角相等) ∴(内错角相等,两直线平行) 例5 如图,与全等,你能找出其中相等的线段和相等的角吗? 分析观察图形可知,公共边BC与CB、最长边BD与CA、最短边AB与DC是对应边.然后根据“对应边所对的角是对应角”或“两条对应边所夹的角是对应角”可以识别对应角. 解由全等三角形的对应边相等,对应角相等,得 习题精选
一、选择题 1.已知≌,且,则( ) A.50°B.100°C.30°D.50°或100°或30° 2.已知≌,且,则=( ) A.3cmB.4cmC.5cmD.以上都不对 3.若两个三角形(),则一个三角形,和另一个三角形全等. A.面积相等B.周长相等 C.对应边相等,对应角相等D.以上都不对 4.如果D是中BC边上一点,并且≌,则是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形
二、填空题 1.如图,若把沿着直线BC移动,它就和重合,那么和_________;对应相等的边分别是_________、_________、_________;对应相等的角分别是_________、__________、___________. 2.如图,≌,则对应边有__________,对应角有________. 3.如图,≌,则的对应角是___________,BD的对应边是__________. 4.已知≌,,cm,则. 5.如果≌,cm,则cm. 6.若≌,的周长为32cm,,则cm,cm,cm. 7.如图,沿BC折叠,若A与D重合,则_____,其对应边为 ,对应角为. 8.如图,≌,写出相等的角和边 9.已知,≌,则
三、解答题 1.如图,下列各题的全等三角形,经过怎样的运动才能完全重合.
(1)≌;
(2)≌;
(3)≌. 2.已知≌,若,你能求出的周长吗? 3.如图,已知≌且,求证.
四、解答题 1.如图,在一条直线上运动到的位置,延长AC、相交于D点,
(1)试说明;
(2)试说明;
(3)你还能发现哪些信息. 2.如图,是由绕A点点逆时针旋转60°得到的,且.
(1)求的度数;
(2)若,求四边形的周长. 参考答案
一、1.C 2.A3.C4.D
二、1.全等; 2.AC和AB,AE和AF,BE和CF;和 3. 4.70°,10cm 5.47°,25 6.9,12,11 7.≌AB与DB、AC与DC、BC与BC 与与与 8.边 角 9.78°23
三、1.
(1)把其中一个三角形沿AF所在的直线对折过去
(2)把其中一个三角形绕O点旋转180°
(3)把其中一个三角形沿的角平分线对折过去. 2.周长为25cm 3.≌且 ∴ ∴
四、1.提示≌ 2.
(1)
(2)8cm(提示≌)
5.探索三角形全等的条件2009-08-1020:23典型例题 例1分析下列结论
(1)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
(2)有两边和一角对应相等的两个三角形全等
(3)判定两个三角形全等,至少需要一对对边应相等
(4)三个角对应相等的两个三角形全等
(5)三条边对应相等的两个三角形全等 其中,正确的个数是( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 分析
(1)有两角和一边对应相等,只有两种情况两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等,可以根据ASA、AAS判定全等,故
(1)正确.
(2)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等,如下图故
(2)错误. 在与中但显然与不全等.
(3)观察四个判定三角形全等的条件(包括后面将要学习的HL),每一个都至少要求一对边对应相等,故
(3)正确.
(4)三个角对应相等的两个三角形未必全等,如下图所示的两个三角形 根据“SSS”,
(5)正确. 解选C. 例2如图,在与中,如果,那么与全等吗?如果全等,请指出根据. 分析在与中,由于,,根据三边对应相等,两个三角形全等,可知≌. 解≌,根据,即. 说明判断两个三角形是否全等,应找其全等应满足的条件. 例3如图,A、F、C、D在同一直线上,,问和能全等吗?如果全等请指出根据. 分析在和中,由,可知;由,可知;而由可知,所以根据,可得≌. 解≌. 根据因为,所以, 又因为,所以, 因为,所以 所以根据得,≌. 说明这个题也可以根据来判断,请读者自行试一试. 例4如下图,,那么≌吗? 分析判定两个三角形全等,需要三个条件,已知两个条件一对边对应相等,一对角对应相等,需要结合图形,寻找第三个条件,一般地,可以从以下几个方面考虑
①公共边
②公共角
③对顶角
④直角.本题中有公共边,可以利用SAS来证明三角形全等,注意三个条件的罗列顺序,第一个是边相等,第二个是角相等,第三个是边相等. 解在和中 ∴≌(SAS) 例5如图,AC是的角平分线,且,试说明. 分析要说明,只需说明≌,而,所以≌. 解在和中, 因为,且AC平分,即. 所以≌,根据是,所以. 说明在两个三角形中,来判断两个三角形的两条边相等,经常用判断这两个三角形全等的办法来判断,但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边.2009-08-1020:24习题精选
一、选择题 1.如图,在中,为BC边中点,那么以下结论不正确的是() A.≌B. C.AD平分D.是等边三角形 2.如图,,则() A.45°B.55°C.35°D.65° 3.已知如图,AB与DC相交于点,若使≌,则() A.应补充条件 B.应补充条件 C.不用补充条件 D.以上说法都不正确 4.如图,已知,则图中全等三角形的总对数是() A.3B.4C.5D.6
二、填空题 1.如图,已知,则≌____,≌____. 2.如图,若点E、F在DC上,,则____≌____,根据是____. 3.如图,BE平分,且,则____≌____,根据是_________;,根据是______. 4.已知在和中,,若≌,还需要的条件是_____________ 5.如图,在中,于于F,且与DC相等吗?你能说明下面小明思考过程的理由吗?
①__________________
②_________________
三、解答题 1.如图,已知C在BD上,和全等吗?若全等请说出根据. 2.如图,已知,问和全等吗?若全等请说出根据. 3.如图,已知的交点是E,并且与相等吗?试说明你的答案. 4.如图已知,,那么≌吗? 5.如图,D是的边AB上一点,DF交AC于点,那么吗? 参考答案
一、1.D2.B3.C4.D
二、1.2.3.,全等三角形对应边相等4.或或 5.
①AAS
②全等三角形的对应边相等
三、1.全等,根据 2.全等,根据或 3.相等(提示≌) 4. ∴ 即 在和中 ∴≌(SSS) 5. ∴ 在和中 ∴≌(ASA) ∴2009-08-1020:25典型例题 例有一个池塘的形状如图所示,A、B之间的距离不能直接测得,你能否想办法测量A、B之间的距离?并且说明理由(只有卷尺可以利用). 分析想方设法构造全等三角形,使AB等于另一条便于测量长度的线段. 解在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C,连结AC并延长至D,使得,连接BC并延长至E,使得,连接DE,则DE的长度就是A、B之间的距离.理由在和中 (已知) (对顶角相等) (已知) ∴≌(SAS) ∴(全等三角形的对应边相等)习题精选 1.如图,为了要测量湖宽AB,先在AB的延长线上选下C点,再选一适当的点M,然后延长BM、CM到,使,又在的延长线上找一点,使、M、A三点在同一条直线上,这时,只要量出线段的长度就可知湖宽. 你能说明其中的道理吗? 2.如图,将两根钢条的中点O连在一起,可以作成一个测量工件内槽宽的工具(工人把这种工具叫卡钳),只要量出的长度,就可以知道工件的内径AB是否符合标准,你能说出工人这样做的道理吗? 3.如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段弧状,A、B之间的距离不能直接测量,你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A、B之间的距离吗? 参考答案 1.提示≌,≌≌. 2.在和中 ∴≌(SAS) ∴ 3.方案在湖右边的空地上选一个能直接到达A点和B点的C点,连接AC并延长至D,使,连接BC并延长至E,使,连接DE,并测量DE的长度即可求出A、B之间的距离.2009-08-1020:26典型例题 例1如图,已知,求证 分析要证,可以证明;要证明,可以通过证明≌,或者≌再看已知两个垂直条件(垂直可以得到直角三角形),还有(是两个直角三角形的斜边、直角边),故可以利用“HL”来证明≌ 解 ∴ 在Rt和Rt中, ∴Rt≌Rt(HL) ∴(全等三角形的对应角相等) ∴(内错角相等,两直线平行) 例2如图,点C在内部,于于,若,求AB的长. 分析观察图可以发现,最好能说明,只要连结AC,问题就变成了说明Rt≌Rt了. 解连结AC 在和中,因为且是公用边. 所以Rt≌Rt,所以. 说明这种判断三角形全等的方法只有在两个三角形都是直角三角形时才能使用,题中的连线叫做辅助线,目的是通过做辅助线建立已知和所求之间的联系,这是几何中常用的方法. 例3已知如图,AD是的中线,于于F,且.问AD是否平分?如果是请说明理由. 分析(如图) ≌ ≌ 解AD平分 理由在和中, 已知由(HL)可知≌,所以, 在和中, 由(HL)可知在≌ 所以,即AD平分. 例4如图,D是的平分线OC上一点,过点D的直线交AO、BO于点E、F,并且,求证 分析要证明,可以通过证明≌,由得,和都是直角三角形,要证明两个直角三角形全等,首先考虑“HL”,但有时也要用到其他判定方法.本题由OC是的平分线得,另外有两个直角、一条公共边,故可以利用“ASA”来证明全等. 解, ∴ 是的平分线 ∴ 在和中, (已证) (公共边) (已证) ∴≌(ASA) ∴(全等三角形的对应边相等)习题精选一 1.如图,,问AD和BC相等吗?为什么? 2.如图,已知,垂足为,那么吗? 3.已知,如图于于F,求证. 4.如图,在Rt的斜边BC上截取,过点D作BC的垂直线交AB于E,则有哪两条线段相等,请说明理由. 5.如图,等腰直角中,,过C作直线于于N,则BN和CM相等吗?请说明你的答案. 参考答案 1.相等(提示连结DC,根据HL有≌) 2.提示直接利用HL 3.证明 ∴ 在和中 ∴≌(AAS) ∴ 4.(提示连结CE,说明≌) 5.相等(提示≌)二 1.如图,在中,于于,找出和相等的线段,并说明理由. 2.如图,已知,若,求D到AB的距离. 3.如图,已知是和平分线上的交点,且交AC于.试求AB和CD间的距离. 参考答案 1.(提示≌) 2.3(提示作于E,有≌) 3.6(提示过O点作AB、CD的垂线,垂足设为G、H,则≌,≌)第五章三角形单元测试2009-08-1020:26
一、填空题 1.若一个三角形的两边长是7cm和3cm,且周长是偶数,那么第三边的长可能是________. 2.在一个三角形中最多有__________个锐角,最大的锐角不小于________. 3.3条高所在直线的交点在三角形的外部,此三角形是_________. 4.Rt中,是的2倍,,则. 5.如图,如果≌,已知,还需条件__________或________. 6.如图,,则CB和ED的位置关系是________. 7.如果中,,则是________三角形. 8.如图,在中,高相交于点G,若,则.
二、选择题 9.中,,三角形周长是40,则AB的长为( ). A.20B.16C.18D.16或20 10.如图,某同学把一块三角形玻璃板打破成三块,现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃,那么他可以带( ) A.
①B.
②C.
③D.
①② 11.如果一个三角形的3条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 12.如图,已知,且中,,要证≌,则需( ). A.cmB.cmC.cmD.cm 13.已知a、b、c是三角形的三条边,则代数式的值是( ). A.负数B.0C.正数D.非负数 14.在下列各组的三个条件中,不能判定和全等的是( ). A. B. C. D.
三、解答题 15.如图,已知和线段,求作,使(不要求写作法). 16.如图,四边形ABCD是一河堤坝的横截面,,且与的关系如何?请说明理由. 17.如图,把两根钢条AB、CD的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),只要量得AC的长度,就可知工件的内径BD是否符合标准,请说出其中的道理. 18.如图,已知,试说明. 参考答案
一、 1.6cm或8cm2.3,60°3.钝角三角形4.30°5.或6.平行7.直角8.120°
二、 9.B10.C11.B12.A13.C14.D
三、 15.先作,以B为顶点作,以点C为顶点作,∴就是所要求作的(图略). 16.解,∴.∴. ≌ (HL).∴. ∴与的关系是相等. 17.解是AB中点,∴. O是CD中点,∴. ≌(SAS).∴. ∴只要测出AC的长度,就可知BD是否标准. 18.解,∴.∴. ≌(SAS).∴.。