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二次函数的图象和性质学案一.知识回顾1.形如(为常数)的函数,当时是;当=,时是一次函数2.已知二次函数的图象开口向上,则=;3.下列函数中,是二次函数的为();A.B.C.D.4.把抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,得抛物线;5.的图象开口,顶点坐标,当时,随增大而增大;6.若一个二次函数的图象顶点坐标为
(13),且经过点
(30)则这个函数的解析式为7.一条抛物线的顶点是(-31),且由平移得到,则这条抛物线的解析式为8.抛物线与x轴有两个公共点,它们分别是,这两点间的距离是9.若抛物线http://www.mathschina.com/上的所有点都在x轴下方,则必有()A.B.C.D.二.典型例题讲解例1已知函数,⑴求函数的顶点P坐标和对称轴;⑵求函数与x轴的交点A、B的坐标,与y轴的交点C的坐标;⑶画出这个函数的大致图象;⑷在抛物线上有一点Q,可以使△QAB的面积为4,求出点Q的坐标例2已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图.则下列代数式ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b,,中,其值大于0的代数式是三.巩固练习
1.抛物线的顶点坐标是()A.(-2,3)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)
2.二次函数的图象与轴有交点,则的取值范围是()A.B.C.D.
3.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是A.y=2x-22+2B.y=2x+22-2C.y=2x-22-2D.y=2x+22+
24.已知二次函数http://www.mathschina.com/()的图象如图5所示,有下列5个结论
①;
②;
③;
④;
⑤;其中正确的结论有;
5.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标是
6.在同一坐标平面内,下列4个函数
①,
②,
③,
④的图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是(填序号).例3如图,已知二次函数的图象经过点A和点B;⑴.求该二次函数的解析式及其对称轴和顶点坐标;⑵.点Q(mm)与点P均在该函数图象上(其中),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离⑶.点E从O点出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度运动,点F从点Q出发沿QP以每秒2个单位长度的速度向终点P运动,当点F到达终点时,点E也随之停止,设运动时间为t秒,当t为何值时,△OEF为等腰三角形?课后练习
1.已知二次函数(其中),关于这个二次函数的图象有如下说法
①图象的开口一定向上;
②图象的顶点一定在第四象限;
③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧.以上说法正确的个数为
2.函数化成的形式是,顶点坐标为;
3.二次函数的开口向,有最值为;顶点坐标为;
4.把抛物线向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则平移后抛物线为()A.B.C.D.
5.将抛物线向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线为,则原抛物线的顶点坐标是
6.下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值,判断方程(为常数)的一个解的范围是()
6.
176.
186.
196.20A.B.C.D.
7.抛物线与轴只有一个公共点,则的值为.
8.若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y
29.已知二次函数的大致图象如图所示,那么函数的图象不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
10.如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分,对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积,你认为与其最接近的值是()A.4B.C.D.
11.已知二次函数()与一次函数的图象相交于点A(-2,4),B(8,2)(如图所示),则能使成立的的取值范围是 12.若抛物线的顶点在轴下方,则的值为()A.=5B.=-1C.=5或=-1D.=-513.无论k为何值时,直线与抛物线()A都有一个交点B都有两个公共点C没有交点D公共点的个数随k的变化而变化14.已知,点、、都在函数上,则()A.B.C.D.15.已知函数的图象与直线有一个公共点
(21),则函数的图象与直线的交点个数为16.在抛物线上取三点A、B、C,设A、B的横坐标分别为
(0)、+1,直线BC与轴平行;⑴.把△ABC的面积用S表示,求S与的函数关系式;⑵.当△ABC的面积S为15时,求的值;⑶.当△ABC的面积S=15时,在BC上求一点D的坐标,使△ACD的面积等于1017.已知函数;⑴.若函数的图象与轴恰有一个交点,求的值;⑵.若函数的图象是抛物线,且顶点始终在轴的上方,求的取值范围18.已知抛物线的顶点A在上;⑴.求抛物线的顶点坐标;⑵.若抛物线与轴交于B、C两点,求△ABC外接圆的面积19.如图,直线与抛物线都经过点、.⑴.求抛物线的解析式;⑵.动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值;⑶.当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形若存在,请求出Q点的坐标;若不存在.请说明理由.20.如图在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点;与轴交于C点,与轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,点B的坐标为
(30),OB=OC,OA∶OC=1∶3;⑴.求这个二次函数的表达式;⑵.经过C、D两点的直线,与轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由⑶.若平行于轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径圆与轴相切,求该圆半径的长度;⑷.如图,若点G(2,)是该抛物线上的一点,点P是直线AG下方抛物线上的动点,当点P运动到什么位置,△APG的面积最大?求出此时P点坐标和△APG的最大面积xy01。