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文本内容:
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2.
3.1抛物线及其标准方程【学情分析】学生已经学习过椭圆和双曲线,掌握了椭圆和双曲线的定义经历了根据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的直角坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程【教学目标】
(1)知识与技能掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念;能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法
(2)过程与方法在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力
(3)情感、态度与价值观培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想【教学重点】抛物线的定义和抛物线的标准方程【教学难点】
(1)抛物线标准方程的推导;
(2)利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题【课前准备】Powerpoint或投影片【教学过程设计】教学环节教学活动设计意图
一、复习引入抛物线的定义
1.椭圆的定义平面内与两定点F
1、F2的距离的和等于常数()的点的轨迹.2.双曲线的定义平面内与两定点F
1、F2的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹.3.思考与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e1时是双曲线.那么,当e=1时它是什么曲线呢?抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的通过类似的方法,让学生了解抛物线的形成,从而理解并掌握抛物线的定义
二、建立抛物线的标准方程如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.设则焦点F的坐标为(,0),准线的方程为.设点Mx,y是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是点的集合.∵;d=.∴.化简得.注叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴,坐标是,准线方程是.探究抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表根据抛物线的定义,让学生逐步填空,推出抛物线的标准方程通过填空,让学生牢固掌握抛物线的标准方程
三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程1过点-32; 2焦点在直线x-2y-4=0分析根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式解
(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2pyp0则将点-32方程得或 ∴所求的抛物线方程为
(2)令x=0,由方程x-2y-4=0的y=-
2. ∴抛物线的焦点为F0-
2.设抛物线方程为x2=2py则由得∴所求的抛物线方程为x2=-8y或令y=0由x-2y-4=0得x=4∴抛物线焦点为F40 .设抛物线方程为y2=2px则由得∴所求的抛物线方程为y2=16x 注意本题是用待定系数法来解的,要注意解题方法与技巧例2已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程 1y2=6x; 2y=ax
2.分析先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程解
(1)由抛物线方程得焦点坐标为准线方程是
(2)将抛物线方程化为标准方程,则焦点坐标为,准线方程为 例3已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值分析解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m、p的方程组,解关于m、p的方程组;其二利用抛物线的定义,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的解(方法一)设抛物线方程为y2=-2pxp0则焦点,由题设可得,解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为(方法二)由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为5,∵M的坐标为(-3,m),∴∴p=4,故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为
四、巩固练习1.选择⑴若抛物线y2=2pxp0上横坐标为-6的点到焦点的距离是10则焦点到准线的距离是BA、4B、8C、16D、32⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于若那么等于BA.10B.8C.6D.4⑶已知点F是抛物线的焦点M是抛物线上的动点当最小时,M点的坐标是CA.B.C.D.2.填空⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是;⑵抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a),则点M到准线的距离是_a_,点M的横坐标是.
四、巩固练习3.1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;2已知抛物线的焦点坐标是F0,-2,求它的标准方程.线的标准方程是x2=-8y.4.已知点M与点F(4,0)的距离比它到直线L x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程分析根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线 又由焦点位置可得,所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程 解如图8-20所示,设点M的坐标为Mxy则由已知条件得“点M与点F(4,0)的距离比它到直线L x+5=0的距离小1”,就是“点M与点F(4,0)的距离等于它到直线L x+4=0的距离”,根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点M,直线x+4=0为准线的抛物线,且 ∴所求的抛物线方程为y2=16x.围绕抛物线标准方程练习,让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程
五、课后练习
1.浙江函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=BABCD
12.(上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B)A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在
3.抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为DA2B3C4 D
54.(江苏卷)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是BABCD05.求经过点A(2,-3)的抛物线的标准方程分析抛物线的标准方程中只有一个参数p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求出p值就可以写出其方程,但要注意两解的情况解经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式y2=2px或x2=-2py.(如图)点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=点A(2,-3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得2p=∴所求抛物线的标准方程是y2=x或x2=-y
6.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.分析画出示意图2-14可知原条件M点到F(4,0)和到x=-4距离相等,由抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线.所求方程是y2=16x.根据学生情况分层布置作业练习与测试(说明题目6个(以上)——其中基础题4个,难题2个;每个题目应该附有详细解答)1.选择题
(1)已知抛物线方程为y=ax2(a>0),则其准线方程为( D )ABCD
(2)抛物线(m≠0)的焦点坐标是( B )A(0,)或(0,)B(0,)C(0,)或(0,)D(0,)
(3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线标准方程是( C )Ay2=16x或x2=16yBy2=16x或x2=12yCx2=-12y或y2=16xDx2=16y或y2=-12x2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)过点(-3,4)
(2)过焦点且与x轴垂直的弦长是16解
(1)或
(2)y2=±16x3.点M到点(0,8)的距离比它到直线y=-7的距离大1,求M点的轨迹方程.解x2=32y4.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+y+32=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程 分析设动圆圆心为Mxy半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求 解设动圆圆心为Mxy半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y 变题
(1)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2axa0外切,求动圆圆心M的轨迹方程
(2)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2axa0相切,求动圆圆心M的轨迹方程 解
(1)当x0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax
(2)本题可分外切时,当x0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax内切时当x≥0时,y=0x≠a;当x0时,y2=4ax。