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高三单元滚动检测卷·数学考生注意1.本试卷分第Ⅰ卷填空题和第Ⅱ卷解答题两部分,共4页.2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟,满分160分.4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.单元检测五 平面向量第Ⅰ卷
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在题中横线上1.2015·湖北宜昌一中模拟已知向量a=42,向量b=x3,且a平行b,则x=________.2.已知向量a=12,b=01,c=k,-2,若a+2b⊥c,则k=________.3.2015·吉林省实验中学二模已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=________.4.2015·广东广雅中学模拟在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=24,=13,则用坐标表示=________.5.2015·南昌调研设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=a-1e1+e2,=be1-2e2a0,b0,若A,B,C三点共线,则ab的最大值是________.6.2015·资阳模拟已知a,b为平面向量,若a+b与a的夹角为,a+b与b的夹角为,则=________.7.2015·南通模拟如图,已知圆M x-32+y-32=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,·的最大值是________.8.2014·四川平面向量a=12,b=42,c=ma+bm∈R,且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.9.向量=4,-3,向量=2,-4,则△ABC的形状是__________三角形.10.定义平面向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|sin〈a,b〉,给出下列四个命题
①a⊗b=b⊗a;
②λa⊗b=λa⊗b;
③a+b⊗c=a⊗c+b⊗c;
④若a=x1,y1,b=x2,y2,a⊗b=|x1y2-x2y1|.其中真命题的个数是________.
11.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为________.12.2015·攸县一中模拟若等边△ABC的边长为1,平面内一点M满足=+,则·=______________.
13.如图所示,在平面四边形ABCD中,若AC=3,BD=2,则+·+=________.14.在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB,AD的长分别为21,若M,N分别是边BC,CD上的点,其满足=,则·的取值范围是________.第Ⅱ卷
二、解答题本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.14分已知向量a=sinθ,cosθ-2sinθ,b=12.1若a∥b,求tanθ的值;2若|a|=|b|0θπ,求θ的值.16.14分2015·惠州二调设向量a=sinx,sinx,b=cosx,sinx,x∈[0,].1若|a|=|b|,求x的值;2设函数fx=a·b,求fx的最大值.
17.14分在直角坐标系xOy中,已知点A11,B23,C32,点Px,y在△ABC三边围成的区域含边界上,且=m+nm,n∈R.1若m=n=,求||;2用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.18.16分2015·苏州模拟在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sinA-BsinB+cosA+C=-.1求cosA的值;2若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.
19.16分2015·德州高三期末已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=sinA1,n=cosA,,且m∥n.1求角A的大小;2若a=2,b=2,求△ABC的面积.20.16分2015·赣州联考已知向量m=sinx,-1,向量n=cosx,-,函数fx=m+n·m.1求fx的最小正周期T;2已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且fA恰是fx在[0,]上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.答案解析1.6解析 由题意得4×3-2x=0得到x=
6.2.8解析 因为a=12,b=01,所以a+2b=14,又a+2b⊥c,c=k,-2,所以a+2b·c=0⇒k-8=0⇒k=
8.3.-解析 若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则2e1-e2=ke1+λe2=ke1+λke2,得解得λ=-.4.11解析 ∵=+,∴=-,而=-=--=--1,-1=11.
5.解析 若A,B,C三点共线,则=λ,∴a-1e1+e2=λbe1-2e2,即∴b=2-2a.∴ab=a2-2a=2a1-a≤=,当且仅当a=,b=1时,abmax=.
6.解析 如图所示.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=a+b,∠BAC=,∠DAC=∠ACB=.在△ABC中,由正弦定理得===.7.6解析 由题意可得⊥,所以·=
0.又易知||=,||=3,所以·=·+=·+·=·=6cosπ-∠OME,当∠OME=π时,·取得最大值
6.8.2解析 c=ma+b=m+42m+2,由题意知=,即=,即5m+8=,解得m=
2.9.直角解析 ∵=4,-3,=2,-4,∴=-=-2,-1,∴·=21·-24=0,∴∠C=90°,且||=,||=2,||≠||.∴△ABC是直角三角形.10.2解析 由定义可知b⊗a=|b|·|a|sin〈b,a〉=|a|·|b|·sin〈a,b〉=a⊗b,所以
①正确;当λ0时,〈λa,b〉=π-〈a,b〉,所以λa⊗b=|λa||b|sin〈λa,b〉=-λ|a||b|·sin〈a,b〉,而λa⊗b=λ|a||b|sin〈a,b〉,所以
②不正确;若a+b=0,则a+b⊗c=0,a⊗c+b⊗c=|a||c|sin〈a,c〉+|b||c|sin〈b,c〉=2|a||c|sin〈a,c〉不一定为零,所以
③不正确;a⊗b2=|a|2|b|2sin2〈a,b〉=|a|2|b|21-cos2〈a,b〉=|a|2|b|2-|a|2|b|2·cos2〈a,b〉=|a|2|b|2-a·b2=x+yx+y-x1x2+y1y22=x1y2-x2y12,所以a⊗b=|x1y2-x2y1|,所以
④正确,所以真命题是
①④.11.2解析 ∵O是BC的中点,∴=+.又∵=m,=n,∴=+.∵M,O,N三点共线,∴+=
1.则m+n=
2.12.-解析 ·=-·-=-·-=·-2-2=-.13.5解析 由于=+,=+,所以+=+++=-.+·+=-·+=||2-||2=9-4=
5.14.
[25]解析 建立平面直角坐标系,如图.则B20,C,,D,.令==λ,则M+2,λ,N-2λ,.∴·=+2·-2λ+λ=-λ2-2λ+5=-λ+12+
6.∵0≤λ≤1,∴·∈
[25].15.解 1因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ.于是4sinθ=cosθ,故tanθ=.2由|a|=|b|知,sin2θ+cosθ-2sinθ2=12+22,所以1-2sin2θ+4sin2θ=
5.从而-2sin2θ+21-cos2θ=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是sin2θ+=-.又由0θπ知,2θ+,所以2θ+=或2θ+=.所以θ=或θ=.16.解 1由|a|==2,|b|==1,及|a|=|b|,得sin2x=.又x∈[0,],从而sinx=,所以x=.2fx=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin2x-+.当x∈[0,]时,2x-∈[-,],所以当2x-=,即x=时,sin2x-取得最大值1,所以fx的最大值为.17.解 1∵m=n=,=12,=21,∴=12+21=22,∴||==
2.2∵=m12+n21=m+2n2m+n,∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B23时,t取得最大值1,故m-n的最大值为
1.18.解 1由2cos2cosB-sinA-BsinB+cosA+C=-,得[cosA-B+1]cosB-sinA-BsinB-cosB=-,∴cosA-BcosB-sinA-BsinB=-,∴cosA-B+B=-,即cosA=-.2由cosA=-,0Aπ,得sinA=,由正弦定理,有=,所以sinB==.由题意知ab,则AB,故B=.根据余弦定理,有42=52+c2-2×5c×-,解得c=1或c=-7舍去.故向量在方向上的投影为||cosB=.19.解 1根据m∥n,可得到tanA=.注意到A∈0,π,得到A=.2由正弦定理可得sinB==,因为ab,所以AB,所以B=或.当B=时,sinC=sinA+B=sinAcosB+cosA·sinB=,所以S△ABC=absinC=1+;当B=时,sinC=sinA+B=sinAcosB+cosA·sinB=,所以S△ABC=absinC=-
1.故△ABC的面积为1+或-
1.20.解 1fx=m+n·m=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x-cos2x+2=sin2x-+2,因为ω=2,所以T==π.2由1知fA=sin2A-+
2.当x∈[0,]时,-≤2x-≤,由正弦函数图象可知,当2x-=时fx取得最大值
3.所以2A-=,A=,由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,∴12=b2+16-2×4b×,∴b=2,从而S=bcsinA=×2×4sin60°=
2.综上,A=,b=2,S=
2.。