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图形的相似一.选择题(共30小题)1.(2015•东营)若=,则的值为( )A.1B.C.D.2.(2015•眉山)如图,AD∥BE∥CF,直线l
1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为( )A.4B.5C.6D.83.(2015•乐山)如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.已知,则的值为( )A.B.C.D.4.(2015•舟山)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点G,且AG=2,GB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.5.(2015•嘉兴)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.6.(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )A.2B.4C.6D.87.(2015•淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l
1、l
2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若=,DE=4,则EF的长是( )A.B.C.6D.108.(2015•黔西南州)已知△ABC∽△A′B′C′且,则S△ABC S△ABC′为( )A.12B.21C.14D.419.(2015•永州)如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD•ACD.=10.(2015•海南)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对11.(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.=D.=12.(2015•随州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.=D.=13.(2015•酒泉)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE S△CDE=13,则S△DOE S△AOC的值为( )A.B.C.D.14.(2015•黔西南州)在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1;将AB折成正三角形,使点A、B重合于点P,如图2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM的延长线与x轴交于点N(n,0),如图3,当m=时,n的值为( )A.4﹣2B.2﹣4C.﹣D.15.(2015•湘潭)在△ABC中,D、E为边AB、AC的中点,已知△ADE的面积为4,那么△ABC的面积是( )A.8B.12C.16D.2016.(2015•贵港)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列五个结论
①△AEF∽△CAB;
②CF=2AF;
③DF=DC;
④tan∠CAD=;
⑤S四边形CDEF=S△ABF,其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个17.(2015•常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似.如图,如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形,且半径OA O1A1=k(k为不等于0的常数).那么下面四个结论
①∠AOB=∠A101B1;
②△AOB∽△A101B1;
③=k;
④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2.成立的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个18.(2015•铜仁市)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE EC=31,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )A.34B.916C.91D.3119.(2015•台湾)如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图,其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为何?( )A.10B.11C.D.20.(2015•哈尔滨)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是( )A.=B.=C.=D.=21.(2015•南京)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是( )A.=B.=C.=D.=22.(2015•宁波)如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015,到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为( )A.B.C.1﹣D.2﹣23.(2015•济南)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点.若AM=2,则线段ON的长为( )A.B.C.1D.24.(2015•滨州)如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变25.(2015•恩施州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE EA=34,EF=3,则CD的长为( )A.4B.7C.3D.1226.(2015•毕节市)在△ABC中,DE∥BC,AE EC=23,DE=4,则BC等于( )A.10B.8C.9D.627.(2015•株洲)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )A.B.C.D.28.(2015•南通)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( )A.
2.5B.
2.8C.3D.
3.229.(2015•牡丹江)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC边中线,点D,E分别在边AC和BC上,DB=DE,EF⊥AC于点F,以下结论
(1)∠DBM=∠CDE;
(2)S△BDE<S四边形BMFE;
(3)CD•EN=BE•BD;
(4)AC=2DF.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.430.(2015•宜宾)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为12,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(,)D.(2,1)2015中考数学真题分类汇编图形的相似参考答案与试题解析一.选择题(共30小题)1.(2015•东营)若=,则的值为( )A.1B.C.D.考点比例的性质.专题计算题.分析根据合分比性质求解.解答解∵=,∴==.故选D.点评考查了比例性质常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.2.(2015•眉山)如图,AD∥BE∥CF,直线l
1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为( )A.4B.5C.6D.8考点平行线分线段成比例.分析由AD∥BE∥CF可得=,代入可求得EF.解答解∵AD∥BE∥CF,∴=,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴=,解得EF=6,故选C.点评本题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键.3.(2015•乐山)如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.已知,则的值为( )A.B.C.D.考点平行线分线段成比例.分析根据平行线分线段成比例定理得出=,根据已知即可求出答案.解答解∵l1∥l2∥l3,,∴===,故选D.点评本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键,注意一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.4.(2015•舟山)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点G,且AG=2,GB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.考点平行线分线段成比例.分析根据平行线分线段成比例可得,代入计算,可求得答案.解答解∵AG=2,GB=1,∴AB=AG+BG=3,∵直线l1∥l2∥l3,∴=,故选D.点评本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.5.(2015•嘉兴)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.考点平行线分线段成比例.分析根据AH=2,HB=1求出AB的长,根据平行线分线段成比例定理得到=,计算得到答案.解答解∵AH=2,HB=1,∴AB=3,∵l1∥l2∥l3,∴==,故选D.点评本题考查平行线分线段成比例定理,掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键.6.(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )A.2B.4C.6D.8考点平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图.分析根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.解答解∵根据作法可知MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理DF∥AE,∴四边形AEDF是菱形,∴AE=DE=DF=AF,∵AF=4,∴AE=DE=DF=AF=4,∵DE∥AC,∴=,∵BD=6,AE=4,CD=3,∴=,∴BE=8,故选D.点评本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.7.(2015•淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l
1、l
2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若=,DE=4,则EF的长是( )A.B.C.6D.10考点平行线分线段成比例.分析根据平行线分线段成比例可得,代入计算即可解答.解答解∵l1∥l2∥l3,∴,即,解得EF=6.故选C.点评本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.8.(2015•黔西南州)已知△ABC∽△A′B′C′且,则S△ABC S△ABC′为( )A.12B.21C.14D.41考点相似三角形的性质.分析根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可.解答解∵△ABC∽△A′B′C′,,∴=()2=,故选C.点评本题考查了相似三角形的性质的应用,能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键,注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.9.(2015•永州)如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD•ACD.=考点相似三角形的判定.分析根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,分别判断得出即可.解答解A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;B、∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;C、∵AB2=AD•AC,∴=,∠A=∠A,△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;D、=不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.故选D.点评本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.10.(2015•海南)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对考点相似三角形的判定;平行四边形的性质.分析利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.解答解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CPB,∴△EDC∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.点评此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.11.(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.=D.=考点相似三角形的判定.分析分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.解答解A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C、当=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选D.点评此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.12.(2015•随州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.=D.=考点相似三角形的判定.分析由于两三角形有公共角,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断.解答解∵∠DAE=∠CAB,∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED;当=时,△ABC∽△AED.故选D.点评本题考查了相似三角形的判定两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.13.(2015•酒泉)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE S△CDE=13,则S△DOE S△AOC的值为( )A.B.C.D.考点相似三角形的判定与性质.分析证明BE EC=13,进而证明BE BC=14;证明△DOE∽△AOC,得到=,借助相似三角形的性质即可解决问题.解答解∵S△BDE S△CDE=13,∴BE EC=13;∴BE BC=14;∵DE∥AC,∴△DOE∽△AOC,∴=,∴S△DOE S△AOC==,故选D.点评本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答.14.(2015•黔西南州)在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1;将AB折成正三角形,使点A、B重合于点P,如图2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM的延长线与x轴交于点N(n,0),如图3,当m=时,n的值为( )A.4﹣2B.2﹣4C.﹣D.考点相似三角形的判定与性质;实数与数轴;等边三角形的性质;平移的性质.分析先根据已知条件得出△PDE的边长,再根据对称的性质可得出PF⊥DE,DF=EF,锐角三角函数的定义求出PF的长,由m=求出MF的长,再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM∽△PON,利用相似三角形的性质即可得出结论.解答解∵AB=3,△PDE是等边三角形,∴PD=PE=DE=1,以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,∵△PDE关于y轴对称,∴PF⊥DE,DF=EF,DE∥x轴,∴PF=,∴△PFM∽△PON,∵m=,∴FM=﹣,∴=,即=,解得ON=4﹣2.故选A.点评本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质,能根据题意得出FM的长是解答此题的关键.15.(2015•湘潭)在△ABC中,D、E为边AB、AC的中点,已知△ADE的面积为4,那么△ABC的面积是( )A.8B.12C.16D.20考点相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析由条件可以知道DE是△ABC的中位线,根据中位线的性质就可以求出,再根据相似三角形的性质就可以得出结论.解答解∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,,∴△ADE∽△ABC,∴,∵△ADE的面积为4,∴,∴S△ABC=16.故选C.点评本题考查中位线的判定及性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答时证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键.16.(2015•贵港)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列五个结论
①△AEF∽△CAB;
②CF=2AF;
③DF=DC;
④tan∠CAD=;
⑤S四边形CDEF=S△ABF,其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个考点相似三角形的判定与性质;矩形的性质.分析
①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故
①正确;
②由AE=AD=BC,又AD∥BC,所以,故
②正确;
③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故
③正确;
④而CD与AD的大小不知道,于是tan∠CAD的值无法判断,故
④错误;
⑤根据△AEF∽△CBF得到,求出S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCDS四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,即可得到S四边形CDEF=S△ABF,故
⑤正确.解答解过D作DM∥BE交AC于N,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故
①正确;∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴,∵AE=AD=BC,∴=,∴CF=2AF,故
②正确,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故
③正确;∵tan∠CAD=,而CD与AD的大小不知道,∴tan∠CAD的值无法判断,故
④错误;∵△AEF∽△CBF,∴,∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD∵S△ABE=S矩形ABCD,S△ACD=S矩形ABCD,∴S△AEF=S四边形ABCD,又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,∴S四边形CDEF=S△ABF,故
⑤正确;故选B.点评本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.17.(2015•常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似.如图,如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形,且半径OA O1A1=k(k为不等于0的常数).那么下面四个结论
①∠AOB=∠A101B1;
②△AOB∽△A101B1;
③=k;
④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2.成立的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个考点相似三角形的判定与性质;弧长的计算;扇形面积的计算.专题新定义.分析根据扇形相似的定义,由弧长公式=可以得到
①②③正确;由扇形面积公式可得到
④正确.解答解由扇形相似的定义可得,所以n=n1故
①正确;因为∠AOB=∠A101B1,OA O1A1=k,所以△AOB∽△A101B1,故
②正确;因为△AOB∽△A101B1,故==k,故
③正确;由扇形面积公式可得到
④正确.故选D.点评本题主要考查了新定义题型,相似的判定与性质,弧长和扇形面积公式,题型新颖,有一定难度.18.(2015•铜仁市)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE EC=31,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )A.34B.916C.91D.31考点相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.解答解∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE EC=31,∴DE DC=1=34,∴DE AB=34,∴S△DFE S△BFA=916.故选B.点评本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质,注相似三角形的面积之比等于相似比的平方.19.(2015•台湾)如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图,其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为何?( )A.10B.11C.D.考点相似三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质.分析由四边形ABCD,BEFG是正方形,得到BC=CD=AB=5,GF=BG=3,∠C=∠BGF=∠GFE=∠CGF=∠GFH=90°,根据四边形DGHI是矩形,得到∠DGH=90°,于是得到∠DGC=∠FGH,推出△DGC∽△HGF,得到比例式,求得FH的长度,代入三角形的面积公式即可求出结果.解答解∵四边形ABCD,BEFG是正方形,∴BC=CD=AB=5,GF=BG=3,∠C=∠BGF=∠GFE=∠CGF=∠GFH=90°,∵四边形DGHI是矩形,∴∠DGH=90°,∴∠DGC+∠CGH=∠FGH+∠HGC=90°,∴∠DGC=∠FGH,∴△DGC∽△HGF,∴=,∴FH===,∴S△FHG=GF•FH=,故选D.点评本题考查了正方形的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积,掌握定理是解题的关键.20.(2015•哈尔滨)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是( )A.=B.=C.=D.=考点相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析根据相似三角形的判定和性质进行判断即可.解答解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BF,BE∥DC,AD=BC,∴,,,故选C.点评此题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断.21.(2015•南京)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是( )A.=B.=C.=D.=考点相似三角形的判定与性质.分析由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,然后由相似三角形的对应边成比例可得,然后由=,即可判断A、B的正误,然后根据相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误.解答解∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∵=,∵=,故A、B选项均错误;∵△ADE∽△ABC,∴==,=()2=,故C选项正确,D选项错误.故选C.点评此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟记相似三角形的对应边之比等于相似比;相似三角形的周长之比等于相似比;相似三角形的面积之比等于相似比的平方.22.(2015•宁波)如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015,到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为( )A.B.C.1﹣D.2﹣考点相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理;翻折变换(折叠问题).专题规律型.分析根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA=DB,从而可得∠ADA=2∠B,结合折叠的性质,∠ADA=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE∥BC,得出DE是△ABC的中位线,证得AA1⊥BC,得到AA1=2,求出h1=2﹣1=1,同理h2=2﹣,h3=2﹣=2﹣,于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣,求得结果h2015=2﹣.解答解连接AA1,由折叠的性质可得AA1⊥DE,DA=DA1,又∵D是AB中点,∴DA=DB,∴DB=DA1,∴∠BA1D=∠B,∴∠ADA1=2∠B,又∵∠ADA1=2∠ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,∴AA1⊥BC,∴AA1=2,∴h1=2﹣1=1,同理,h2=2﹣,h3=2﹣=2﹣,…∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣,∴h2015=2﹣,故选D.点评本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形中位线的性质,平行线等分线段定理,找出规律是解题的关键.23.(2015•济南)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点.若AM=2,则线段ON的长为( )A.B.C.1D.考点相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;正方形的性质.专题计算题.分析作MH⊥AC于H,如图,根据正方形的性质得∠MAH=45°,则△AMH为等腰直角三角形,所以AH=MH=AM=,再根据角平分线性质得BM=MH=,则AB=2+,于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2OC=AC=+1,所以CH=AC﹣AH=2+,然后证明△CON∽△CHM,再利用相似比可计算出ON的长.解答解作MH⊥AC于H,如图,∵四边形ABCD为正方形,∴∠MAH=45°,∴△AMH为等腰直角三角形,∴AH=MH=AM=×2=,∵CM平分∠ACB,∴BM=MH=,∴AB=2+,∴AC=AB=(2+)=2+2,∴OC=AC=+1,CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+,∵BD⊥AC,∴ON∥MH,∴△CON∽△CHM,∴=,即=,∴ON=1.故选C.点评本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和正方形的性质.24.(2015•滨州)如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变考点相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征.分析如图,作辅助线;首先证明△BOM∽△OAN,得到;设B(﹣m,),A(n,),得到BM=,AN=,OM=m,ON=n,进而得到mn=,mn=,此为解决问题的关键性结论;运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值,即可解决问题.解答解如图,分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴;∵∠AOB=90°,∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°,∴∠BOM=∠OAN,∵∠BMO=∠ANO=90°,∴△BOM∽△OAN,∴;设B(﹣m,),A(n,),则BM=,AN=,OM=m,ON=n,∴mn=,mn=;∵∠AOB=90°,∴tan∠OAB=
①;∵△BOM∽△OAN,∴===
②,由
①②知tan∠OAB=为定值,∴∠OAB的大小不变,故选D.点评该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.25.(2015•恩施州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE EA=34,EF=3,则CD的长为( )A.4B.7C.3D.12考点相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析由EF∥AB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得,则可求得AB的长,又由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得CD的长.解答解∵DE EA=34,∴DE DA=37∵EF∥AB,∴,∵EF=3,∴,解得AB=7,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=7.故选B.点评此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.26.(2015•毕节市)在△ABC中,DE∥BC,AE EC=23,DE=4,则BC等于( )A.10B.8C.9D.6考点相似三角形的判定与性质.分析根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BC的长.解答解∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴BC=10.故选A.点评此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用,注意数形结合思想的应用.27.(2015•株洲)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )A.B.C.D.考点相似三角形的判定与性质.分析易证△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,根据相似三角形的性质可得=,=,从而可得+=+=1.然后把AB=1,CD=3代入即可求出EF的值.解答解∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.故选C.点评本题主要考查的是相似三角形的判定与性质,发现+=1是解决本题的关键.28.(2015•南通)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( )A.
2.5B.
2.8C.3D.
3.2考点相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理.分析连接BD、CD,由勾股定理先求出BD的长,再利用△ABD∽△BED,得出=,可解得DE的长,由AE=AB﹣DE求解即可得出答案.解答解如图1,连接BD、CD,,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴BD=,∵弦AD平分∠BAC,∴CD=BD=,∴∠CBD=∠DAB,在△ABD和△BED中,∴△ABD∽△BED,∴=,即=,解得DE=,∴AE=AB﹣DE=5﹣=
2.8.点评此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理,解答此题的关键是得出△ABD∽△BED.29.(2015•牡丹江)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC边中线,点D,E分别在边AC和BC上,DB=DE,EF⊥AC于点F,以下结论
(1)∠DBM=∠CDE;
(2)S△BDE<S四边形BMFE;
(3)CD•EN=BE•BD;
(4)AC=2DF.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4考点相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形.分析
(1)设∠EDC=x,则∠DEF=90°﹣x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°﹣(90°﹣x)﹣45°=45°+x,∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x,从而可得到∠DBM=∠CDE;
(2)可证明△BDM≌△DEF,然后可证明△DNB的面积=四边形NMFE的面积,所以△DNB的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积++△BNE的面积;
(3)可证明△DBC∽△NEB;
(4)由△BDM≌△DEF,可知DF=BM,由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=AC.解答解
(1)设∠EDC=x,则∠DEF=90°﹣x∴∠DBE=∠DEB=180°﹣(90°﹣x)﹣45°=45°+x,∵BD=DE∴∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x.∴∠DBM=∠CDE,故
(1)正确;
(2)在Rt△BDM和Rt△DEF中,,∴Rt△BDM≌Rt△DEF.∴S△BDM=S△DEF.∴S△BDM﹣S△DMN=S△DEF﹣S△DMN,即S△DBN=S四边形MNEF.∴S△DBN+S△BNE=S四边形MNEF+S△BNE,∴S△BDE=S四边形BMFE,故
(2)错误;
(3)∵∠BNE=∠DBM+∠BDN,∠BDM=∠BDE+∠EDF,∠EDF=∠DBM,∴∠BNE=∠BDM.又∵∠C=∠NBE=45°∴△DBC∽△NEB.∴,∴CD•EN=BE•BD;故
(3)正确;
(4)∵Rt△BDM≌Rt△DEF,∴BM=DF,∵∠B=90°,M是AC的中点,∴BM=.∴DF=,故
(4)正确.故选C.点评本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定,等腰直角三角形的性质,利用面积法证明S△BDE=S四边形BMFE是解答本题的关键.30.(2015•宜宾)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为12,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(,)D.(2,1)考点位似变换;坐标与图形性质.分析首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标,再利用位似是特殊的相似,若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心,相似比是k,△ABC上一点的坐标是(x,y),则在△A′B′C′中,它的对应点的坐标是(kx,ky)或(﹣kx,ky),进而求出即可.解答解∵∠OAB=∠OCD=90°,AO=AB,CO=CD,等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,点B的坐标为(1,0),∴BO=1,则AO=AB=,∴A(,),∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,O为位似中心,相似比为12,∴点C的坐标为(1,1).故选B.点评此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.。