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2017年中考冲刺数学试卷两套汇编五附答案解析中考数学试卷
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.截止到2015年底,我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖,志愿者总数已超110000000人.将110000000用科学记数法表示应为( )A.110×106B.11×107C.
1.1×108D.
0.11×1082.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示绝对值相等的两个实数的点是( )A.点A与点DB.点B与点DC.点B与点CD.点C与点D3.一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,抛掷这枚骰子一次,则向上的面的数字大于4的概率是( )A.B.C.D.4.京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介.在下面的四个京剧脸谱中,不是轴对称图形的是( )A.B.C.D.5.将一副三角板按图中方式叠放,则角α等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°,堤高BC=5m,则坡面AB的长度是( )A.10mB.10mC.15mD.5m7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击的平均成绩恰好都是
9.6环,方差分别是S甲2=
0.96,S乙2=
1.12,S丙2=
0.56,S丁2=
1.58.在本次射击测试中,成绩最稳定的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁8.如图,经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,能解释这一实际应用的数学知识是( )A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9.商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售,销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系的图象如图所示,则降价后每件商品销售的价格为( )A.5元B.10元C.
12.5元D.15元10.一个观察员要到如图1所示的A,B,C,D四个观测点进行观测,行进路线由在同一平面上的AB,BC,CD,DA,AC,BD组成.为记录观察员的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设观察员行进的路程为x,观察员与定位仪器之间的距离为y,若观察员匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则观察员的行进路线可能为( )A.A→D→C→BB.A→B→C→DC.A→C→B→DD.A→C→D→B
二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.分解因式x3﹣4x2+4x= .12.已知射线OM.以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,如图所示,则∠AOB= (度)13.关于x的不等式ax<b的解集为x>﹣1,写出一组满足条件的实数a,b的值a= ,b= .14.我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?如果译成白话文,其意思是有100个和尚分100个馒头,正好分完.如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各有几人?设大和尚x人,小和尚y人,可列方程组为 .15.北京市2010﹣2015年机动车保有量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,预估2016年北京市机动车的保有量约 万辆,你的预估理由是 .16.如图,在棋盘中建立直角坐标系xOy,三颗棋子A,O,B的位置分别是(﹣1,1),(0,0)和(1,0).如果在其他格点位置添加一颗棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标 .
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)17.计算.18.已知4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2的值.19.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为负整数,求此时方程的根.20.如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,E为BC的中点,连接DE.求证DE=DC.21.2016年5月29日,北京园博园迎来了“挑战100,一起跑”百公里接力路跑赛事,活动里程共100公里,采用10人×10公里的方式展开接力竞赛.王刚是一名长跑爱好者,原来每天从家匀速跑步到单位,共12公里.为参加此次活动,王刚计划加强训练,速度提高到原来的
1.2倍,结果提前10分钟到单位.问王刚原来每小时跑多少公里?22.如图,菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证四边形OCED是矩形;
(2)若AD=5,BD=8,计算tan∠DCE的值.23.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(﹣1,6).
(1)求k的值;
(2)过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点B的坐标.24.如图,AB是⊙O的直径,BD交⊙O于点C,E为BC的中点,连接AE交BD于点F,作FG⊥AB,垂足为G,连接AD,且∠D=2∠BAE.
(1)求证AD为⊙O的切线;
(2)若cosD=,AD=6,求FG的长.25.阅读下列材料日前,微信发布《2016微信春节大数据报告》显示,2016年除夕当日,利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达
4.2亿分钟,是2015年除夕的4倍,“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情,其作者共获得124508元的“赞赏”.报告显示,除夕当日,微信红包的参与者达
4.2亿人,收发总量达
80.8亿个,是2015年除夕的8倍.除了通常的定额红包、拼手气红包,除夕到初一期间,微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片,以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包.其中,在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%.作为一款“国民社交平台”,微信在春节通过红包激活了用户的使用热情,用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感,实现了科技与人文的交汇,成为“过好春节”的标配.根据以上材料回答下列问题
(1)2016年除夕当日,拼手气红包收发量约为 亿个;
(2)选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来.26.有这样一个问题探究函数y=的图象与性质小宏根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.下面是小宏的探究过程,请补充完整
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值求m,n的值;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,写出该函数的性质(两条即可)
①
② .27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与x轴交于A,B两点,且点A的坐标为(3,0).
(1)求点B的坐标及m的值;
(2)当﹣2<x<3时,结合函数图象直接写出y的取值范围;
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点,结合图象求k的取值范围.28.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.点D为AC的中点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接EF,CF.过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.
(1)若点E在线段DC上,如图1,
①依题意补全图1;
②判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)若E为线段DC的延长线上一点,如图2,且CE=,∠CFE=15°,请求出△FCH的面积∠CFE=12°,请写出求△FCH的面积的思路.(可以不写出计算结果)29.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,﹣1).点P是平面内任意一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆恰好经过点C(2,0),则称此时的点P为理想点.
(1)请判断P1(﹣4,0),P2(3,0)是否为理想点;
(2)若直线x=﹣3上存在理想点,求理想点的纵坐标;
(3)若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,直接写出m的取值范围. 参考答案与试题解析
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.截止到2015年底,我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖,志愿者总数已超110000000人.将110000000用科学记数法表示应为( )A.110×106B.11×107C.
1.1×108D.
0.11×108【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解110000000=
1.1×108,故选C. 2.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示绝对值相等的两个实数的点是( )A.点A与点DB.点B与点DC.点B与点CD.点C与点D【考点】实数与数轴;实数的性质.【分析】根据互为相反数的绝对值相等,可得答案.【解答】解|﹣2|=2,|﹣1|=1=|1|,|3|=3,故选C. 3.一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,抛掷这枚骰子一次,则向上的面的数字大于4的概率是( )A.B.C.D.【考点】概率公式.【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率.【解答】解正方体骰子,六个面上分别刻有的1,2,3,4,5,6六个数字中,大于4为5,6,则向上一面的数字是大于4的概率为=.故选C. 4.京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介.在下面的四个京剧脸谱中,不是轴对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解A、不是轴对称图形,故本选项正确;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、是轴对称图形,故本选项错误;D、是轴对称图形,故本选项错误.故选A. 5.将一副三角板按图中方式叠放,则角α等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°【考点】三角形的外角性质;平行线的性质.【分析】利用两直线平行,内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.【解答】解如图,根据两直线平行,内错角相等,∴∠1=45°,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,∴∠α=∠1+30°=75°.故选D. 6.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°,堤高BC=5m,则坡面AB的长度是( )A.10mB.10mC.15mD.5m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】直接利用坡脚的度数结合锐角三角函数求出答案.【解答】解∵河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°,堤高BC=5m,∴sin30°=,∴AB==10(m).故选A. 7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击的平均成绩恰好都是
9.6环,方差分别是S甲2=
0.96,S乙2=
1.12,S丙2=
0.56,S丁2=
1.58.在本次射击测试中,成绩最稳定的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁【考点】方差;算术平均数.【分析】根据方差越大,波动性越大,越不稳定进行判断.【解答】解∵s2丙<s2甲<s2乙<s2丁,∴在本次测试中,成绩最稳定的是丙.故选C. 8.如图,经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,能解释这一实际应用的数学知识是( )A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【考点】直线的性质两点确定一条直线.【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可.【解答】解经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,此操作的依据是两点确定一条直线.故选A. 9.商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售,销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系的图象如图所示,则降价后每件商品销售的价格为( )A.5元B.10元C.
12.5元D.15元【考点】一次函数的应用.【分析】由图象可知40件销售金额为600元,80件的销售金额为1000元,所以降价后买了80﹣40=40件,销售金额为1000﹣600=400元,则降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元.【解答】解∵由图象可知40件销售金额为600元,80件的销售金额为1000元,∴降价后买了80﹣40=40件,销售金额为1000﹣600=400元,∴降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元.故选B 10.一个观察员要到如图1所示的A,B,C,D四个观测点进行观测,行进路线由在同一平面上的AB,BC,CD,DA,AC,BD组成.为记录观察员的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设观察员行进的路程为x,观察员与定位仪器之间的距离为y,若观察员匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则观察员的行进路线可能为( )A.A→D→C→BB.A→B→C→DC.A→C→B→DD.A→C→D→B【考点】动点问题的函数图象.【分析】观察图2,发现观察员与定位仪器之间的距离先越来越远,再先近后远,最后越来越近,确定出观察员的行进路线即可.【解答】解观察图2得观察员与定位仪器之间的距离先越来越远,再先近后远,最后越来越近,结合图1得观察员的行进路线可能为A→D→C→B,故选A.
二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.分解因式x3﹣4x2+4x= x(x﹣2)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式x,然后利用完全平方式进行因式分解即可.【解答】解x3﹣4x2+4x=x(x2﹣4x+4)=x(x﹣2)2,故答案为x(x﹣2)2. 12.已知射线OM.以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,如图所示,则∠AOB= 60 (度)【考点】等边三角形的判定与性质.【分析】首先连接AB,由题意易证得△AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质,可求得∠AOB的度数.【解答】解连接AB,根据题意得OB=OA=AB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.故答案为60. 13.关于x的不等式ax<b的解集为x>﹣1,写出一组满足条件的实数a,b的值a= ﹣2 ,b= 2 .【考点】解一元一次不等式.【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系,写出一组满足题意a与b的值即可.【解答】解∵不等式ax<b的解集为x>﹣1,∴=﹣1,且a<0,则一组满足条件的实数a=﹣2,b=2,故答案为﹣2;2 14.我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?如果译成白话文,其意思是有100个和尚分100个馒头,正好分完.如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各有几人?设大和尚x人,小和尚y人,可列方程组为 .【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.【分析】根据100个和尚分100个馒头,正好分完.大和尚一人分3个,小和尚3人分一个得到等量关系为大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100,依此列出方程组即可.【解答】解设大和尚x人,小和尚y人,由题意可得.故答案为. 15.北京市2010﹣2015年机动车保有量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,预估2016年北京市机动车的保有量约 562 万辆,你的预估理由是 从各年的保有量增长看,汽车已趋于饱和,故2016年保有量相对2015年变化不大 .【考点】用样本估计总体;折线统计图.【分析】根据折线统计图可以得到得到各年相对去年的增长量,从而可以预估2016年北京市机动车的保有量,并说明理由.【解答】解根据折线统计图可得,2010﹣2011汽车保有量增长498﹣480=18,2011﹣2012汽车保有量增长520﹣498=22,2010﹣2011汽车保有量增长543﹣520=23,2010﹣2011汽车保有量增长559﹣543=16,2010﹣2011汽车保有量增长561﹣559=2,由上预估2016年北京市机动车的保有量约562万辆,理由从各年的保有量增长看,汽车已趋于饱和,故2016年保有量相对2015年变化不大;故答案为562,从各年的保有量增长看,汽车已趋于饱和,故2016年保有量相对2015年变化不大. 16.如图,在棋盘中建立直角坐标系xOy,三颗棋子A,O,B的位置分别是(﹣1,1),(0,0)和(1,0).如果在其他格点位置添加一颗棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标 (﹣1,2),(2,1),(﹣1,﹣1),(0,﹣1) .【考点】轴对称图形;坐标确定位置.【分析】根据A,B,O,C的位置,结合轴对称图形的性质,进而画出对称轴即可.【解答】解如图所示,C点的位置为(﹣1,2),(2,1),A,O,B,C四颗棋子组成等腰梯形,直线l为该图形的对称轴,C点的位置为(﹣1,﹣1),x轴是对称轴,C点的位置为(0,﹣1),故答案为(﹣1,2),(2,1),(﹣1,﹣1),(0,﹣1).
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)17.计算.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,特殊角的三角函数值,以及绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.【解答】解原式=4﹣2×+1+2=4+2. 18.已知4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2的值.【考点】整式的混合运算—化简求值.【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算,进一步合并,最后代入求得答案即可.【解答】解(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣(x2﹣y2)﹣2y2=﹣4xy+3y2=﹣y(4x﹣3y).∵4x=3y,∴原式=0. 19.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为负整数,求此时方程的根.【考点】根的判别式.【分析】
(1)由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac>0,代入数据即可得出关于m的一元一次不等式,解不等式即可得出结论;
(2)根据m为负整数以及
(1)的结论可得出m的值,将其代入原方程,利用分解因式法解方程即可得出结论.【解答】解
(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=32﹣4(1﹣m)>0,即5+4m>0,解得m>﹣.∴m的取值范围为m>﹣.
(2)∵m为负整数,且m>﹣,∴m=﹣1.将m=﹣1代入原方程得x2+3x+2=(x+10)(x+2)=0,解得x1=﹣1,x2=﹣2.故当m=﹣1时,此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2. 20.如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,E为BC的中点,连接DE.求证DE=DC.【考点】等边三角形的性质.【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC,CD=AC,∠BDC=90°,根据直角三角形的性质得到DE=BC,于是得到结论.【解答】解∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∵BD⊥AC于点D,∴CD=AC,∠BDC=90°,∵E为BC的中点,∴DE=BC,∴DE=DC. 21.2016年5月29日,北京园博园迎来了“挑战100,一起跑”百公里接力路跑赛事,活动里程共100公里,采用10人×10公里的方式展开接力竞赛.王刚是一名长跑爱好者,原来每天从家匀速跑步到单位,共12公里.为参加此次活动,王刚计划加强训练,速度提高到原来的
1.2倍,结果提前10分钟到单位.问王刚原来每小时跑多少公里?【考点】分式方程的应用.【分析】先由题意得出等量关系列出方程即,然后解出来,最后检验并作答.【解答】解设这个人从甲地到乙地原定的平均速度是每分钟x千米,则根据题意列出方程,解得x=
0.2(千米/分钟),经检验x=
0.2是所列出的分式方程的解,
0.2×60=12答王刚原来每小时跑12公里. 22.如图,菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证四边形OCED是矩形;
(2)若AD=5,BD=8,计算tan∠DCE的值.【考点】矩形的判定;菱形的性质.【分析】
(1)首先证明四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的性质可得AC⊥BD,进而得到四边形OCED是矩形;
(2)首先根据菱形的性质可得OD=BD=4,OC=OA,AD=CD,然后再根据勾股定理可计算出DE=OC=3,再利用三角函数定义可得答案.【解答】
(1)证明∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四边形OCED是矩形;
(2)解∵四边形ABCD是菱形,BD=8,∴OD=BD=4,OC=OA,AD=CD,∵AD=5,∴OC==3,∵四边形OCED是矩形,∴DE=OC=3,在Rt△DEC中,sin∠DCE==. 23.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(﹣1,6).
(1)求k的值;
(2)过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点B的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)由反比例函数y═的图象经过点A(﹣1,6),即可求得k的值;
(2)由
(1)的结论可得反比例函数的解析式,然后作AD⊥OC于D,BE⊥OC于E,可得△CEB∽△CDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得点B的坐标.【解答】解
(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(﹣1,6),∴6=,∴k=﹣6;
(2)∵k=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣,作AD⊥OC于D,BE⊥OC于E,∴AD∥BE,∴△CEB∽△CDA,∴,∵AB=2BC,∴=,∵AD=6,∴BE=2,∴点B的纵坐标为1,∵点B在反比例函数的图象上,∴2=﹣,∴x=﹣3,∴点B的坐标为(﹣3,2);点B在第二象限,∵AB=2BC,∴AC′=BC′,∴BF=AD=6,∴OF=1,∴点B的坐标为(1,﹣6). 24.如图,AB是⊙O的直径,BD交⊙O于点C,E为BC的中点,连接AE交BD于点F,作FG⊥AB,垂足为G,连接AD,且∠D=2∠BAE.
(1)求证AD为⊙O的切线;
(2)若cosD=,AD=6,求FG的长.【考点】切线的判定.【分析】
(1)连接AC,欲证AD是⊙O的切线,只需证明AD⊥AB即可;
(2)解直角三角形求得AC和BD,然后根据勾股定理求得AB,证△FAG≌△FAC从而求得AG=AC=;然后根据平行线分相等成比例定理即可求得FG.【解答】
(1)证明连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°,∵E为的中点,∴∠BAE=∠CAE,∴∠BAC=2∠BAE,∵∠D=2∠BAE,∴∠BAC=∠D,∴∠ABC+∠D=90°,∴∠BAD=90°,∴BA⊥AD,∴AD为⊙O的切线;
(2)∵cosD=,AD=6,∴sinD=,BD===10,∴AC=AD•sinD=6×=,AB==8,在△FAG和△FAC中∴△FAG≌△FAC(AAS),∴AG=AC=,∴BG=8﹣=,∵FG⊥AB,DA⊥AB,∴FG∥DA,∴△BFG∽△BDA,∴=,即=,∴FG=. 25.阅读下列材料日前,微信发布《2016微信春节大数据报告》显示,2016年除夕当日,利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达
4.2亿分钟,是2015年除夕的4倍,“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情,其作者共获得124508元的“赞赏”.报告显示,除夕当日,微信红包的参与者达
4.2亿人,收发总量达
80.8亿个,是2015年除夕的8倍.除了通常的定额红包、拼手气红包,除夕到初一期间,微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片,以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包.其中,在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%.作为一款“国民社交平台”,微信在春节通过红包激活了用户的使用热情,用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感,实现了科技与人文的交汇,成为“过好春节”的标配.根据以上材料回答下列问题
(1)2016年除夕当日,拼手气红包收发量约为
16.16 亿个;
(2)选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来.【考点】统计图的选择;用样本估计总体.【分析】
(1)根据“除夕当日,微信红包的参与者达
4.2亿人,收发总量达
80.8亿个,其中拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%”可得;
(2)根据“2016年除夕音视频通话时长达
4.2亿分钟,是2015年除夕的4倍”及“微信红包的参与者达
4.2亿人,收发总量达
80.8亿个,是2015年除夕的8倍”可得2015年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长,列表可得.【解答】解
(1)根据题意,2016年除夕当日,拼手气红包收发量约为
80.8×20%=
16.16(亿个),故答案为
16.16;
(2)列表如下 26.有这样一个问题探究函数y=的图象与性质小宏根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.下面是小宏的探究过程,请补充完整
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 x≠0 ;
(2)下表是y与x的几组对应值求m,n的值;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,写出该函数的性质(两条即可)
① x<0时,函数y随x的增大而增大.
② x>0时,函数y随x的增大而增大. .【考点】反比例函数的图象;反比例函数的性质;二次函数的性质.【分析】
(1)根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、
(2)利用描点法即可画出图象,观察图象可得函数的性质.【解答】解
(1)数y=的自变量x的取值范围x≠0,故答案为x≠0.
(2)函数图象如图所示,性质
①x<0时,函数y随x的增大而增大.
②x>0时,函数y随x的增大而增大.故答案为x<0时,函数y随x的增大而增大;为x>0时,函数y随x的增大而增大. 27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与x轴交于A,B两点,且点A的坐标为(3,0).
(1)求点B的坐标及m的值;
(2)当﹣2<x<3时,结合函数图象直接写出y的取值范围;
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点,结合图象求k的取值范围.【考点】抛物线与x轴的交点;一次函数图象与系数的关系;二次函数图象与几何变换.【分析】
(1)求出对称轴,根据对称性求出点B坐标,利用待定系数法求出m的值.
(2)画出图象,利用图象即可解决问题.
(3)当直线y=kx+1经过点(,﹣)时,k=﹣,推出直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点,由图象可知k<﹣,当直线y=kx+1经过点(﹣1,0)时,k=1,此时直线y=kx+1也满足条件,由此即可解决问题.【解答】解
(1)∵抛物线的对称轴x=1,点A坐标(3,0),又∵A、B关于对称轴对称,∴B(﹣1,0),把点B(﹣1,0)代入得到0=m+2m﹣3,∴m=1.
(2)如图,由图象可知,当﹣2<x<3时,﹣4≤y<5.
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象M,如图所示,∵x=时,y=﹣1﹣3=﹣,∴当直线y=kx+1经过点(,﹣)时,k=﹣,∴直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点,由图象可知k<﹣,当直线y=kx+1经过点(﹣1,0)时,k=1,此时直线y=kx+1也满足条件,综上所述,k的取值范围为k<﹣或k=1. 28.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.点D为AC的中点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接EF,CF.过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.
(1)若点E在线段DC上,如图1,
①依题意补全图1;
②判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)若E为线段DC的延长线上一点,如图2,且CE=,∠CFE=15°,请求出△FCH的面积∠CFE=12°,请写出求△FCH的面积的思路.(可以不写出计算结果)【考点】三角形综合题.【分析】
(1)
①依题意补全图1
②延长DF交AB于点G,根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点,根据中位线的性质及已知条件AC=BC,得出DC=DG,从而EC=FG,易证∠1=∠2=90°﹣∠DFC,∠CEF=∠FGH=135°,由AAS证出△CEF≌△FGH.所以CF=FH.
(2)通过证明△CEF≌△FGH(ASA)得出FC=FH,再求出FC的长,即可解答.【解答】解
(1)
①如图1,
②FH与FC的数量关系是FH=FC.证明如下如图2,延长DF交AB于点G,由题意,知∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF,∴DG∥CB,∵点D为AC的中点,∴点G为AB的中点,且DC=AC,∴DG为△ABC的中位线,∴DG=BC.∵AC=BC,∴DC=DG,∴DC﹣DE=DG﹣DF,即EC=FG.∵∠EDF=90°,FH⊥FC,∴∠1+∠CFD=90°,∠2+∠CFD=90°,∴∠1=∠2.∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DGA=45°,∴∠CEF=∠FGH=135°,在△CEF和△FGH中,∴△CEF≌△FGH,∴CF=FH.
(2)如图3,∴∠DFE=∠DEF=45°,∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,∵DF∥BC,∴∠CBA=∠FGB=45°,∴∠FGH=∠CEF=45°,∵点D为AC的中点,DF∥BC,∴DG=BC,DC=AC,∴DG=DC,∴EC=GF,∵∠DFC=∠FCB,∴∠GFH=∠FCE,在△FCE和△HFG中,∴△FCE≌△HFG(ASA),∴HF=FC,∵∠EDF=90°,DE=DF,∴∠DEF=∠DFE=45°,∵∠CFE=15°,∴∠DFC=45°﹣15°=30°,∴CF=2CD,DF=CD,∵DE=DF,CE=.∴+CD=CD,∴CD=,∴CF=2CD=.∵∠CFH=90°,∴△FCH的面积为CF•CH•==4+2. 29.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,﹣1).点P是平面内任意一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆恰好经过点C(2,0),则称此时的点P为理想点.
(1)请判断P1(﹣4,0),P2(3,0)是否为理想点;
(2)若直线x=﹣3上存在理想点,求理想点的纵坐标;
(3)若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,直接写出m的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】
(1))
①如图1中,O′是MN的中点,由△P1AB∽△P1MN得=,求出MN,即可判断.
②如图2,画出图形即可判断点P2不是理想点.
(2)存在,如图3中,作PK⊥MN由H,交AB于G,假设P是理想点,MN与x轴的交点为H,由AB∥MN,得△PAB∽△PMN,得=,求出MN,得到点M的坐标,再求出直线AM的解析式,即可求出点P坐标,再根据对称性求得另一个理想点.
(3)如图4中,假设点P在x轴的正半轴上,是理想点,求出点P坐标即可解决问题.【解答】解
(1)
①如图1中,O′是MN的中点,∵AB∥MN,∴△P1AB∽△P1MN,∴=,∴=,∴MN=2,∴O′M=O′N=2,∵CO′=2,∴点C在⊙O′上,∴点P1是理想点.
②由图2可知,点P2不是理想点.
(2)存在,如图3中,作PK⊥MN由H,交AB于G,假设P是理想点,MN与x轴的交点为H.∵AB∥MN,∴△PAB∽△PMN,∴=,∴=,∴MN=,∴O′M=,在RT△CHO′中,O′H==,∴MH=﹣=,∴点M坐标(4,),∴直线AM的解析式为y=x+1,∴x=﹣3时,y=,∴点P坐标(﹣4,),根据对称性点P′(﹣4,﹣)也是理想点.线x=﹣3上存在理想点,理想点的纵坐标为±.
(3)如图4中,假设点P在x轴的正半轴上,是理想点.∵AB∥MN,AB=2,MN=4,∴△PAB∽△PNM,∴=,∴=,∴PO=,∴点P坐标(,0),∵点P1(﹣4,0)也是理想点,由图象可知,若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,则m的取值范围是﹣4≤m<0或0<m≤.中考数学试卷
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.在下列各数中,属于无理数的是( )A.4B.C.D.2.已知a>b,下列关系式中一定正确的是( )A.a2<b2B.2a<2bC.a+2<b+2D.﹣a<﹣b3.一次函数y=kx﹣1(常数k<0)的图象一定不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是( )A.(0,2)B.(0,﹣2)C.(0,4)D.(0,﹣4)5.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD S△ABC=12,那么S△AOD S△BOC是( )A.13B.14C.15D.16
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.函数y=的定义域是 .8.方程=2的根是 .9.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 .10.从点数为
1、
2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌,摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是 .11.将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位,所得抛物线的表达式是 .12.如果点A(﹣2,y1)和点B(2,y2)是抛物线y=(x+3)2上的两点,那么y1 y2.(填“>”、“=”、“<”)13.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,那么这个多边形的边数为 .14.点G是△ABC的重心,GD∥AB,交边BC于点D,如果BC=6,那么CD的长是 .15.已知在△ABC中,点D在边AC上,且AD DC=21.设=,=.那么= .(用向量、的式子表示)16.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是 .17.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,联结CE并延长,交对角线BD于点F,交BA的延长线于点G,如果DE=2AE,那么CF EFEG= .18.如图,已知△ABC,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在边AB上的点E处,点B落在点D处,连接BD,如果∠DAC=∠DBA,那么的值是 .
三、解答题(本大题共7题,满分78分)19.计算÷(a﹣1)+.20.解方程组.21.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于横坐标为2的点A,平移直线OA,使它经过点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求平移后直线的表达式;
(2)求∠OBC的余切值.22.某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图6,大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为12米,它的坡度i=1.在离C点40米的D处,用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°,测角仪DE的高为
1.5米,求大楼AB的高度约为多少米?(结果精确到
0.1米)(参考数据sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,tan37°≈
0.75,≈
1.73.)23.已知如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,CG2=GE•GD.
(1)求证∠ACF=∠ABD;
(2)连接EF,求证EF•CG=EG•CB.24.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点,连接BC,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.
(1)求这个抛物线的表达式;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q在x轴上,若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似,求点Q的坐标.25.已知如图,在菱形ABCD中,AB=5,联结BD,sin∠ABD=.点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合),联结AP,与对角线BD相交于点E,联结EC.
(1)求证AE=CE;
(2)当点P在线段BC上时,设BP=x,△PEC的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当点P在线段BC的延长线上时,若△PEC是直角三角形,求线段BP的长. 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.在下列各数中,属于无理数的是( )A.4B.C.D.【考点】分数指数幂;无理数.【分析】根据无理数的定义,可得答案.【解答】解4=2,,是有理数,是无理数,故选B.【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有π,2π等;开方开不尽的数;以及像
0.1010010001…,等有这样规律的数. 2.已知a>b,下列关系式中一定正确的是( )A.a2<b2B.2a<2bC.a+2<b+2D.﹣a<﹣b【考点】不等式的性质.【分析】根据不等式的性质分别进行判断,即可求出答案.【解答】解A,a2<b2,错误,例如2>﹣1,则22>(﹣1)2;B、若a>b,则2a>2b,故本选项错误;C、若a>b,则a+2>b+2,故本选项错误;D、若a>b,则﹣a<﹣b,故本选项正确;故选D.【点评】此题考查了不等式的性质,掌握不等式的性质是解题的关键,不等式的基本性质
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 3.一次函数y=kx﹣1(常数k<0)的图象一定不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】一次函数的性质;一次函数的图象.【分析】一次函数y=kx﹣1(常数k<0)的图象一定经过第
二、三,四象限,不经过第﹣象限.【解答】解∵一次函数y=kx﹣1(常数k<0),b=﹣1<0,∴一次函数y=kx﹣1(常数k<0)的图象一定经过第
二、三,四象限,不经过第﹣象限.故选A.【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系,图象上的点满足解析式,满足解析式的点在函数图象上.并且本题还考查了一次函数的性质,都是需要熟记的内容. 4.抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是( )A.(0,2)B.(0,﹣2)C.(0,4)D.(0,﹣4)【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标,即要令x等于0,代入抛物线的解析式求出对应的y值,写成坐标形式即可.【解答】解把x=0代入抛物线y=2x2+4中,解得y=4,则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是(0,4).故选C.【点评】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标,即要求函数与x轴交点坐标就要令y=0,要求函数与y轴的交点坐标就要令x=0,是学生必须掌握的基本题型. 5.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形【考点】中点四边形.【分析】因为题中给出的条件是中点,所以可利用三角形中位线性质,以及矩形对角线相等去证明四条边都相等,从而说明是一个菱形.【解答】解连接AC、BD,在△ABD中,∵AH=HD,AE=EB∴EH=BD,同理FG=BD,HG=AC,EF=AC,又∵在矩形ABCD中,AC=BD,∴EH=HG=GF=FE,∴四边形EFGH为菱形.故选A.【点评】本题考查了菱形的判定,菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法
①定义,
②四边相等,
③对角线互相垂直平分. 6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD S△ABC=12,那么S△AOD S△BOC是( )A.13B.14C.15D.16【考点】相似三角形的判定与性质;梯形.【专题】推理填空题.【分析】首先根据S△ACD S△ABC=12,可得AD BC=12;然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方,求出S△AOD S△BOC是多少即可.【解答】解∵在梯形ABCD中,AD∥BC,而且S△ACD S△ABC=12,∴AD BC=12;∵AD∥BC,∴△AOD~△BOC,∵AD BC=12,∴S△AOD S△BOC=14.故选B.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用,以及梯形的特征和应用,要熟练掌握.
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.函数y=的定义域是 x≠1 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可.【解答】解由题意得,x﹣1≠0,解得x≠1.故答案为x≠1.【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 8.方程=2的根是 x= .【考点】无理方程.【分析】两边平方得出3x﹣1=4,求出即可.【解答】解∵=2,∴3x﹣1=4,∴x=,经检验x=是原方程组的解,故答案为.【点评】本题考查了解无理方程,能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键. 9.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 m≤1 .【考点】根的判别式.【分析】方程有实数根即△≥0,根据△建立关于m的不等式,求m的取值范围.【解答】解由题意知,△=4﹣4m≥0,∴m≤1答m的取值范围是m≤1.【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根. 10.从点数为
1、
2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌,摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是 .【考点】列表法与树状图法.【分析】首先画树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的点数之和为素数的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解画树状图如下一共有6种等可能结果,其中和为素数的有4种,∴点数之积为素数的概率是=,故答案为.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 11.将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位,所得抛物线的表达式是 y=x2+4x﹣3 .【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据向下平移,纵坐标要减去3,即可得到答案.【解答】解∵抛物线y=x2+4x向下平移3个单位,∴抛物线的解析式为y=x2+4x﹣3,故答案为y=x2+4x﹣3.【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换,向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|. 12.如果点A(﹣2,y1)和点B(2,y2)是抛物线y=(x+3)2上的两点,那么y1 < y2.(填“>”、“=”、“<”)【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】把点A、B的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解.【解答】解当x=﹣2时,y1=(﹣2+3)2=1,当x=2时,y2=(2+3)2=25,y1<y2,故答案为<.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键. 13.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,那么这个多边形的边数为 6 .【考点】多边形内角与外角.【分析】多边形的外角和是360°,内角和是它的外角和的2倍,则内角和是2×360=720度.n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.【解答】解设这个多边形的边数为n,∵n边形的内角和为(n﹣2)•180°,多边形的外角和为360°,∴(n﹣2)•180°=360°×2,解得n=8.∴此多边形的边数为6.故答案为6.【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数,这是常用的一种方法,需要熟记. 14.点G是△ABC的重心,GD∥AB,交边BC于点D,如果BC=6,那么CD的长是 4 .【考点】三角形的重心;平行线的性质.【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可.【解答】解延长AG交BC与F,∵点G是△ABC的重心,BC=6,∴BF=3,∵点G是△ABC的重心,∴AG GF=21,∵GD∥AB,∴BD DF=DG GF=21,∴BD=2,DF=1,∴CD=3+1=4,故答案为4【点评】本题考查了三角形的重心,熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键. 15.已知在△ABC中,点D在边AC上,且AD DC=21.设=,=.那么= + .(用向量、的式子表示)【考点】*平面向量.【专题】推理填空题.【分析】由=2得=,即AD=AC,在根据==+=()+可得答案.【解答】解如图,∵=2,∴=,即AD=AC,则==+=()+=+=+,故答案为+.【点评】本题主要考查平面向量,注意掌握三角形法则的应用,注意掌握数形结合思想的应用. 16.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是 .【考点】解直角三角形;线段垂直平分线的性质.【专题】计算题;等腰三角形与直角三角形.【分析】由DE垂直平分AB,得到AD=BD,设CD=x,则有BD=AD=3﹣x,在直角三角形BCD中,利用勾股定理求出x的值,确定出CD的长,利用锐角三角函数定义求出所求即可.【解答】解∵边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,∴AD=BD,设CD=x,则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x,在Rt△BCD中,根据勾股定理得(3﹣x)2=x2+22,解得x=,则tan∠DBC==,故答案为【点评】此题考查了解直角三角形,以及线段垂直平分线性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 17.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,联结CE并延长,交对角线BD于点F,交BA的延长线于点G,如果DE=2AE,那么CF EFEG= 645 .【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】设AE=x,则DE=2x,由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x,AD∥BC,证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得==、==,即=,设EF=2y,则CF=3y、GE=y,从而得出答案.【解答】解设AE=x,则DE=2x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=AE+DE=3x,AD∥BC,∴△GAE∽△GBC,△DEF∽△BCF,∴==,==,∴=,设EF=2y,则CF=3y,∴EC=EF+CF=5y,∴GE=y,则CF EFEG=3y2y y=645,故答案为645.【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 18.如图,已知△ABC,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在边AB上的点E处,点B落在点D处,连接BD,如果∠DAC=∠DBA,那么的值是 .【考点】旋转的性质.【分析】由旋转的性质得到AB=AD,∠CAB=∠DAB,根据三角形的内角和得到∠ABD=∠ADB=72°,∠BAD=36°,过D作∠ADB的平分线DF推出△ABD∽△DBF,解方程即可得到结论.【解答】解如图,由旋转的性质得到AB=AD,∠CAB=∠DAB,∴∠ABD=∠ADB,∵∠CAD=∠ABD,∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD,∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,∴∠ABD=∠ADB=72°,∠BAD=36°,过D作∠ADB的平分线DF,∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°,∴∠BFD=72°,∴AF=DF=BD,∴△ABD∽△DBF,∴,即,解得=,故答案为.【点评】本题考查了旋转的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)19.计算÷(a﹣1)+.【考点】分式的混合运算.【分析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可.【解答】解原式=×+=+=+=.【点评】本题考查了分式的混合运算,解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则. 20.解方程组.【考点】高次方程.【分析】由
①得出x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2,原方程组转化成两个二元一次方程组,求出方程组的解即可.【解答】解由
①得x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2.原方程可化为,解得,原方程的解是,.【点评】本题考查了解高次方程组,能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键. 21.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于横坐标为2的点A,平移直线OA,使它经过点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求平移后直线的表达式;
(2)求∠OBC的余切值.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;坐标与图形变化-平移;解直角三角形.【分析】
(1)根据点A在反比例函数图象上可求出点A的坐标,进而可求出正比例函数表达式,根据平移的性质可设直线BC的函数解析式为y=2x+b,根据点B的坐标利用待定系数法即可求出b值,此题得解;
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C的坐标,从而得出OC的值,再根据余切的定义即可得出结论.【解答】解
(1)当x=2时,y==4,∴点A的坐标为(2,4).∵A(2,4)在y=kx(k≠0)的图象上,∴4=2k,解得k=2.设直线BC的函数解析式为y=2x+b,∵点B的坐标为(3,0),∴0=2×3+b,解得b=﹣6,∴平移后直线的表达式y=2x﹣6.
(2)当x=0时,y=﹣6,∴点C的坐标为(0,﹣6),∴OC=6.∴.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形,根据点B的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式是解题的关键. 22.某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图6,大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为12米,它的坡度i=1.在离C点40米的D处,用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°,测角仪DE的高为
1.5米,求大楼AB的高度约为多少米?(结果精确到
0.1米)(参考数据sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,tan37°≈
0.75,≈
1.73.)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H,在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长,则DF即可求得,然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长,进而求得AB的长.【解答】解延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H.∵在Rt△BCF中,=i=1,∴设BF=k,则CF=,BC=2k.又∵BC=12,∴k=6,∴BF=6,CF=.∵DF=DC+CF,∴DF=40+6.∵在Rt△AEH中,tan∠AEH=,∴AH=tan37°×(40+6)≈
37.8(米),∵BH=BF﹣FH,∴BH=6﹣
1.5=
4.5.∵AB=AH﹣HB,∴AB=
37.8﹣
4.5=
33.3.答大楼AB的高度约为
33.3米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解,注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法. 23.已知如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,CG2=GE•GD.
(1)求证∠ACF=∠ABD;
(2)连接EF,求证EF•CG=EG•CB.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)先根据CG2=GE•GD得出,再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC,∠GDC=∠GCE.根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC,故可得出结论;
(2)先根据∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE,故.再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC,进而可得出结论.【解答】证明
(1)∵CG2=GE•GD,∴.又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD.
(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE.∴.又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC.∴.∴FE•CG=EG•CB.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 24.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点,连接BC,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.
(1)求这个抛物线的表达式;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q在x轴上,若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似,求点Q的坐标.【考点】相似形综合题.【分析】
(1)利用待定系数法即可得出结论;
(2)先判断出△PMC≌△PNB,再用PC2=PB2,建立方程求解即可;
(3)先判断出点Q只能在点O左侧,再分两种情况讨论计算即可.【解答】解
(1)∵抛物线y=ax2﹣4ax+1,∴点C的坐标为(0,1).∵OB=3OC,∴点B的坐标为(3,0).∴9a﹣12a+1=0,∴.∴.
(2)如图,过点P作PM⊥y轴,PN⊥x轴,垂足分别为点M、N.∵∠MPC=90°﹣∠CPN,∠NPB=90°﹣∠CPN,∴∠MPC=∠NPB.在△PCM和△PBN中,,∴△PMC≌△PNB,∴PM=PN.设点P(a,a).∵PC2=PB2,∴a2+(a﹣1)2=(a﹣3)2+a2.解得a=2.∴P(2,2).
(3)∵该抛物线对称轴为x=2,B(3,0),∴A(1,0).∵P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),∴PO=,AC=,AB=2.∵∠CAB=135°,∠POB=45°,在Rt△BOC中,tan∠OBC=,∴∠OBC≠45°,∠OCB<90°,在Rt△OAC中,OC=OA,∴∠OCA=45°,∴∠ACB<45°,∴当△OPQ与△ABC相似时,点Q只有在点O左侧时.(i)当时,∴,∴OQ=4,∴Q(﹣4,0).(ii)当时,∴,∴OQ=2,∴Q(﹣2,0).当点Q在点A右侧时,综上所述,点Q的坐标为(﹣4,0)或(﹣2,0).【点评】此题是相似形综合题,主要考查了待定系数法,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的性质,解本题的关键是判断出点Q只能在点O的左侧,是一道很好的中考常考题. 25.已知如图,在菱形ABCD中,AB=5,联结BD,sin∠ABD=.点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合),联结AP,与对角线BD相交于点E,联结EC.
(1)求证AE=CE;
(2)当点P在线段BC上时,设BP=x,△PEC的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当点P在线段BC的延长线上时,若△PEC是直角三角形,求线段BP的长.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)由菱形的性质得出BA=BC,∠ABD=∠CBD.由SAS证明△ABE≌△CBE,即可得出结论.
(2)联结AC,交BD于点O,过点A作AH⊥BC于H,过点E作EF⊥BC于F,由菱形的性质得出AC⊥BD.由三角函数求出AO=OC=,BO=OD=.由菱形面积得出AH=4,BH=3.由相似三角形的性质得出,求出EF的长,即可得出答案;∴,
(3)因为点P在线段BC的延长线上,所以∠EPC不可能为直角.分情况讨论
①当∠ECP=90°时,
②当∠CEP=90°时,由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案.【解答】解
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BA=BC,∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中,又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE∴AE=CE.
(2)连接AC,交BD于点O,过点A作AH⊥BC,过点E作EF⊥BC,如图1所示垂足分别为点H、F.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∵AB=5,,∴AO=OC=,BO=OD=.∵,∴AH=4,BH=3.∵AD∥BC,∴,∴,∴,∴.∵EF∥AH,∴,∴.∴.
(3)因为点P在线段BC的延长线上,所以∠EPC不可能为直角.如图2所示
①当∠ECP=90°时∵△ABE≌△CBE,∴∠BAE=∠BCE=90°,∵,∴,∴BP=.
②当∠CEP=90°时,∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB=45°,∴,∴,.∵AD∥BP,∴,∴,∴BP=15.综上所述,当△EPC是直角三角形时,线段BP的长为或15.【点评】本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键. x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣ 1 2 3… y…﹣﹣0m﹣﹣0 n… x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣ 1 2 3… y…﹣﹣0m﹣﹣0 n…。