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2017年中考冲刺数学试卷两套汇编十一附答案解析中考数学试卷
一、选择题每小题3分,共30分1.3的相反数是( )A.﹣3B.3C.﹣D.2.计算(a2)3的结果是( )A.a5B.a6C.a8D.3a23.一个角的余角是30°,则这个角的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.70°4.点P(4,3)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图所示几何体的主视图是( )A.B.C.D.6.今年第一季度,我省固定资产投资完成
475.6亿元,这个数据用科学记数法可表示为( )A.
47.56×109元B.
0.4756×1011元C.
4.756×1010元D.
4.756×109元7.一元二次方程x2+x+=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定根的情况8.有甲、乙两个不透明的袋子中装着只有颜色不同的小球,甲袋中有两个红球,乙袋中有一个红球,一个白球,从两个袋中各摸出一个球,则两个球都是红球的概率是( )A.B.C.D.9.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=3,cosB=,则AC的长为( )A.3B.
3.5C.
4.8D.510.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC于点F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是( )A.B.C.D.
二、填空题每小题4分,共24分11.一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的解是 .12.分解因式2x2﹣2y2= .13.一个n边形的内角和是其外角和的2倍,则n= .14.下列式子按一定规律排列,,,,…,则第10个式子是 .15.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形的周长为 .16.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BC=AC,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,若AB=2,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 (结果保留π).
三、解答题每小题6分,共18分17.计算|﹣3|﹣2cos60°++()﹣1.18.解不等式组,并把该不等式组的解集表示在数轴上.19.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连结BD,若BD平分∠CBA,求∠A的度数.
四、解答题每小题7分,共21分20.居民区有“广场舞”引起媒体关注,潮州电视台为此进行过专访报道.小林想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次A.非常赞同;B.赞同但要有时间限制;C.无所谓;D.不赞同.并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)将图1和图2补充完整;
(3)估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有多少人.21.近些年全国各地频发雾霾天气,给人民群众的身体健康带来了危害,某商场看到商机后,决定购进空气净化器进行销售,现有甲、乙两种空气净化器可供选择.
(1)若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元,且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同.求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元?
(2)在
(1)的条件下,该商场准备用18000元来购买甲、乙两种空气净化器中的一种,已知该商场在出售空气净化器时,每台甲种空气净化器的售价为1400元,每台乙种空气净化器的售价为1800元,该商场选用哪种空气净化器能获得更大利润?22.如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
(1)求证△ABF≌△ECF;
(2)若∠AFC=2∠D,连接AC、BE,求证四边形ABEC是矩形.
五、解答题每小题9分,共27分23.如图,已知反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于A(4,1)、B(2,2)两点,一次函数的图象与y轴的交点为C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出在第一象限内一次函数大于反比例函数的值的x的取值范围;
(3)若点D的坐标为(1,0),求△ACD的面积.24.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D,连接AO并延长AO交BC于点M,交于点E,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)求证∠BAP=∠CAP;
(2)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=9,BC=6,求PC的长.25.如图
(1),在矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,如图
(2)以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t>0).
(1)如图
(3),当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)如图
(4),当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时,求运动时间t的值;
(3)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请求出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量,的取值范围. 参考答案与试题解析
一、选择题每小题3分,共30分1.3的相反数是( )A.﹣3B.3C.﹣D.【考点】相反数.【分析】根据相反数的含义,可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,据此解答即可.【解答】解根据相反数的含义,可得3的相反数是﹣3.故选A.【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确相反数是成对出现的,不能单独存在;求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”. 2.计算(a2)3的结果是( )A.a5B.a6C.a8D.3a2【考点】幂的乘方与积的乘方.【分析】根据幂的乘方,底数不变,指数相乘,计算后直接选取答案.【解答】解(a2)3=a6.故选B.【点评】本题考查了幂的乘方的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 3.一个角的余角是30°,则这个角的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.70°【考点】余角和补角.【分析】根据余角的概念若两个角的和为90°,则这两个角互余计算即可.【解答】解∵一个角的余角是30°,∴这个角的度数是90°﹣30°=60°,故选C.【点评】本题考查的是余角的概念,掌握若两个角的和为90°,则这两个角互余是解题的关键. 4.点P(4,3)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】点的坐标.【分析】根据点在第一象限的坐标特点解答即可.【解答】解因为点P(4,3)的横坐标是正数,纵坐标是正数,所以点P在平面直角坐标系的第一象限.故选A.【点评】本题考查了点的坐标,解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征第一象限正正,第二象限负正,第三象限负负,第四象限正负. 5.如图所示几何体的主视图是( )A.B.C.D.【考点】简单组合体的三视图.【专题】计算题.【分析】从正面看几何体即可确定出主视图.【解答】解几何体的主视图为.故选C【点评】此题考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图. 6.今年第一季度,我省固定资产投资完成
475.6亿元,这个数据用科学记数法可表示为( )A.
47.56×109元B.
0.4756×1011元C.
4.756×1010元D.
4.756×109元【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解将
475.6亿元用科学记数法表示为
4.756×1010.故选C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 7.一元二次方程x2+x+=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定根的情况【考点】根的判别式.【分析】求出△的值即可判断.【解答】解一元二次方程x2+x+=0中,∵△=1﹣4×1×=0,∴原方程由两个相等的实数根.故选B.【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根. 8.有甲、乙两个不透明的袋子中装着只有颜色不同的小球,甲袋中有两个红球,乙袋中有一个红球,一个白球,从两个袋中各摸出一个球,则两个球都是红球的概率是( )A.B.C.D.【考点】列表法与树状图法.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球都是红球的情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解画树状图得∵共有4种等可能的结果,两个球都是红球的有2种情况,∴两个球都是红球的概率是=.故选A.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比. 9.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=3,cosB=,则AC的长为( )A.3B.
3.5C.
4.8D.5【考点】解直角三角形.【分析】根据题中所给的条件,在直角三角形中解题.根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出AC.【解答】解∵在Rt△ABC中,cosB=,∴sinB=,tanB=.∵在Rt△ABD中AD=3,∴AB=.在Rt△ABC中,∵tanB=,∴AC=,故选D【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系. 10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC于点F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是( )A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【专题】动点型.【分析】点E在运动过程中,AE⊥EF是保持不变的,则可以证出△ABE∽△ECF,通过边的比值计算得出y与x的函数关系式为二次函数,从而确定了选项在C、D中产生,再通过配方法得出顶点坐标就能得到答案.【解答】解∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FCE=90°∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°AB=BC=4,∴∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠FCE,∴△ABE∽△ECF,∴,∵BE=x,FC=y,∴EC=4﹣x,则有,整理后得y=x2+x配方后得到y=﹣(x﹣2)2+1从而得到图象为抛物线,开口朝下,顶点坐标为(2,1).故选C.【点评】本题将正方形性质、相似三角形及二次函数图象巧妙的融合在一题中,计算量不大,但是涉及的知识点都很重要,是道考察学生综合运用知识的好题.
二、填空题每小题4分,共24分11.一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的解是 x1=4,x2=﹣2 .【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】利用十字相乘法因式分解法解方程得出答案.【解答】解x2﹣2x﹣8=0(x﹣4)(x+2)=0,解得x1=4,x2=﹣2.故答案为x1=4,x2=﹣2.【点评】此题主要考查了因式分解法解方程,正确因式分解是解题关键. 12.分解因式2x2﹣2y2= 2(x+y)(x﹣y) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.【解答】解2x2﹣2y2=2(x2﹣y2)=2(x+y)(x﹣y).故答案为2(x+y)(x﹣y).【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底. 13.一个n边形的内角和是其外角和的2倍,则n= 6 .【考点】多边形内角与外角.【分析】根据多边形内角和公式(n﹣2)•180(n≥3且n为整数)结合题意可列出方程180(n﹣2)=360×2,再解即可.【解答】解由题意得180(n﹣2)=360×2,解得n=6,故答案为6;【点评】此题主要考查了多边形内角和和外角和,关键是掌握多边形内角和公式(n﹣2)•180(n≥3且n为整数),多边形的外角和等于360度. 14.下列式子按一定规律排列,,,,…,则第10个式子是 .【考点】单项式;规律型数字的变化类.【专题】规律型.【分析】第1个式子第2个式子=发现分子的底数都是a,指数是2n﹣1,奇数;分母是连续的偶数.【解答】解第10个式子是=,故答案为.【点评】本题是数字类的规律题,此类题要认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法;此题从第1个式子入手,从分子与分母两方面进行分析,从而发现规律,得出结论. 15.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形的周长为 16 .【考点】三角形中位线定理;菱形的性质.【专题】计算题.【分析】根据中位线定理先求边长BC,再求周长.【解答】解∵菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,EF=2,∴BC=2EF=2×2=4.即AB=BC=CD=AD=4.故菱形的周长为4BC=4×4=16.故答案为16.【点评】此题很简单,考查的是菱形的性质及三角形中位线定理.菱形的性质菱形的四条边相等.三角形中位线定理三角形的中位线平行于底边,且等于底边的一半. 16.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BC=AC,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,若AB=2,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 (结果保留π).【考点】扇形面积的计算;等腰直角三角形;旋转的性质.【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=,再根据旋转的性质得到AC′=AC=,AB′=AB=2,∠BAB′=45°,∠B′AC′=45°,而S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′,根据扇形的面积公式计算即可.【解答】解∵∠ACB=90°,CB=AC,AB=2,∴AC=BC=,∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,∴AC′=AC=,AB′=AB=2,∠BAB′=45°,∠B′AC′=45°,∴S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′=﹣=.故答案为.【点评】本题考查了扇形的面积公式S=.也考查了等腰直角三角形的性质.
三、解答题每小题6分,共18分17.计算|﹣3|﹣2cos60°++()﹣1.【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简求出答案.【解答】解原式=3﹣2×+2+4=8.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键. 18.解不等式组,并把该不等式组的解集表示在数轴上.【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解,解方程
①得x≥﹣1,解不等式
②,得x<2,故不等式组的解集为﹣1≤x<2,将不等式解集表示在数轴上如图【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 19.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连结BD,若BD平分∠CBA,求∠A的度数.【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出即可;
(2)利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD,再利用角平分线的性质求出即可.【解答】解
(1)如图所示,DE为所求作的垂直平分线;
(2)∵DE是AB边上的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A,∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠ABD=∠A,∵∠C=90°,∴∠CBD+∠ABD+∠A=90°,∴∠A=30°.【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
四、解答题每小题7分,共21分20.居民区有“广场舞”引起媒体关注,潮州电视台为此进行过专访报道.小林想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次A.非常赞同;B.赞同但要有时间限制;C.无所谓;D.不赞同.并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)将图1和图2补充完整;
(3)估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有多少人.【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】
(1)由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可;
(2)由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比,再求出B所占的百分比,再乘以总人数可得B层次人数,用总人数乘以C层次所占的百分比可得C层次的人数不全图形即可;
(3)求出样本中A层次与B层次的百分比之和,乘以4000即可得到结果.【解答】解
(1)90÷30%=300(人),答本次被抽查的居民有300人;
(2)D所占的百分比30÷300=10%B所占的百分比1﹣20%﹣30%﹣10%=40%,B对应的人数300×40%=120(人),补全图形如图
(3)(30%+40%)×4000=2800(人),答估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有2800人.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想. 21.近些年全国各地频发雾霾天气,给人民群众的身体健康带来了危害,某商场看到商机后,决定购进空气净化器进行销售,现有甲、乙两种空气净化器可供选择.
(1)若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元,且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同.求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元?
(2)在
(1)的条件下,该商场准备用18000元来购买甲、乙两种空气净化器中的一种,已知该商场在出售空气净化器时,每台甲种空气净化器的售价为1400元,每台乙种空气净化器的售价为1800元,该商场选用哪种空气净化器能获得更大利润?【考点】分式方程的应用.【分析】
(1)设每台甲种空气净化器为x元,乙种净化器为(x+300)元,根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同,列方程求解;
(2)分别求出甲种空气净化器的利润,乙种空气净化器的利润为,再比较即可.【解答】解设每台甲种空气净化器为x元,乙种净化器为(x+300)元,由题意得,=,解得x=1200,经检验x=1200是原方程的解,则x+300=1500(元),答每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元,1500元;
(2)∵甲种空气净化器的利润为×(1400﹣1200)=3000元,乙种空气净化器的利润为×(1800﹣1500)=3600元,∴该商场选用乙种空气净化器能获得更大利润.【点评】本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的等量关系,列方程求解. 22.如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
(1)求证△ABF≌△ECF;
(2)若∠AFC=2∠D,连接AC、BE,求证四边形ABEC是矩形.【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定.【专题】证明题.【分析】
(1)先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC,AB=DC,⇒∠ABF=∠ECF,从而证得△ABF≌△ECF;
(2)由
(1)得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形,通过角的关系得出FA=FE=FB=FC,AE=BC,得证.【解答】证明
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠ABF=∠ECF,∵EC=DC,∴AB=EC,在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,∴△ABF≌△ECF(AAS).
(2)∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴FA=FE,FB=FC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC,∵∠AFC=∠ABC+∠BAF,∴∠ABC=∠BAF,∴FA=FB,∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形.【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定和性质及矩形的判定,关键是先由平行四边形的性质证三角形全等,然后推出平行四边形通过角的关系证矩形.
五、解答题每小题9分,共27分23.如图,已知反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于A(4,1)、B(2,2)两点,一次函数的图象与y轴的交点为C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出在第一象限内一次函数大于反比例函数的值的x的取值范围;
(3)若点D的坐标为(1,0),求△ACD的面积.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)把点A或B的坐标代入反比例函数解析式,求k的值,即可求出函数解析式;
(2)由图象观察可直接得出;
(3)利用一次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标;然后由S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA进行解答.【解答】解
(1)∵点A(4,1)在反比例函数y=上,∴m=xy=4×1=4,∴y=;
(2)∵A(4,1)、B(2,2),∴有图象可以看出,一次函数大于反比例函数的值的x的取值范围2<x<4;
(3)∵把A(4,1),B(2,2)代入y=kx+b∴解得,∴一次函数的解析式为y=﹣x+3,∵点C在直线y=y=﹣x+3上,∴当x=0时,y=3,∴C(0,3)过A作AE⊥x轴于E.∴S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA=﹣×1×3﹣×1×3=5.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,解题时,注意“数形结合”数学思想的应用. 24.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D,连接AO并延长AO交BC于点M,交于点E,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)求证∠BAP=∠CAP;
(2)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=9,BC=6,求PC的长.【考点】圆的综合题.【分析】
(1)由AD是⊙O的切线,BC∥AD,易得AO⊥BC,然后由垂径定理求得=,继而证得结论;
(2)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+∠BCE=90°,由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,而∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;
(3)根据切线的性质得到OA⊥AD,而BC∥AD,则AM⊥BC,根据垂径定理求得BM与CM的长,根据等腰三角形性质有AC=AB=9,在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6,设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6﹣r,在Rt△OCM中,根据勾股定理计算出r的值即可.【解答】
(1)证明∵AD是⊙O的切线,∴OA⊥AD,∵BC∥AD,∴OA⊥BC,∴=,∴∠BAP=∠CAP;
(2)PC与圆O相切,理由为解过C点作直径CE,连接EB,如图,∵CE为直径,∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°,∵AB∥DC,∴∠ACD=∠BAC,∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.∴∠E=∠BCP,∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°,∴CE⊥PC,∴PC与圆O相切;
(3)解∵AD是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AD,∵BC∥AD,∴AM⊥BC,∴BM=CM=BC=3,∴AC=AB=9,在Rt△AMC中,AM==6,设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6﹣r,在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即32+(6﹣r)2=r2,解得r=.【点评】此题属于圆的综合题,考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及勾股定理等知识.注意准确作出辅助线、利用方程思想求解是解此题的关键. 25.如图
(1),在矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,如图
(2)以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t>0).
(1)如图
(3),当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)如图
(4),当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时,求运动时间t的值;
(3)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请求出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量,的取值范围.【考点】几何变换综合题.【分析】
(1)当边FG恰好经过点C时,∠CFB=60°,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;
(2)利用当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时,OG垂直平分EF,进而得出t的值;
(3)按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点,分为0≤t<1,1≤t<3,3≤t<4,4≤t<6四种情况,分别写出函数关系式.【解答】解
(1)当边FG恰好经过点C时,(如图1)∠CFB=60°,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,BC=2,tan∠CFB=,∴tan60°=,∴BF=2,即3﹣t=2,∴t=1,∴当边FG恰好经过点C时,t=1.
(2)当点G在CD边上时,如图2,此时FB=t﹣3,AE=t﹣3,得OE=OF.∴OG垂直平分EF∵OG=AD=2,∴OE==2,∴AE=t﹣3=1,解得t=4;
(3)依题意可知,当t=3时,F点到B点,E点到A点;当t=6时,E、F两点相遇,停止运动.分四种情形讨论
①当0<t≤1时,如图3所示.此时重叠部分面积S=S梯形BCME=(MC+BE)=BC,∵MN=2,∴EN=2,而BE=OB+OE=3+t,∴BN=CM=3+t﹣2=1+tS=(1+t+3+t)×2=2t+4,
②当1≤t≤3时,如图4所示此时重叠部分的面积S=S五边形ECHIM=S△GEF﹣S△HCF﹣S△GMI此时PF=t,BE=3﹣t,所以EF=6,△GEF是边长为6的正三角形∵MN=2,∴ME=4,得GM=2,三角形GMI是边长为2的正三角形∵CF=3﹣t,∴HC=(3﹣t),∴S=﹣×2×﹣×(3﹣t)2×=﹣(t﹣3)2+8;
③当3<t≤4时,如图5所示此时重叠部分的面积S=S梯形EFIM=(EF+MI)MN,此时,CF=BE=t﹣3,EF=12﹣2t,∵MN=2,∴ME=4,∴MG=12﹣2t﹣4=8﹣2t,三角形GMI是边长为8﹣2t的正三角形∴S=(12﹣2T+8﹣2T)×=﹣4t+20;
④当4<t≤6时,如图6所示此时,CF=BE=t﹣3,EF=12﹣2t,O为EF的中点,GO⊥EF此时重叠部分的面积S=S△GEF=EF•GO,∵EF=12﹣2t,∴EO=6﹣t,GO=EO=(6﹣t),∴S=(12﹣2t)×(6﹣t)=(t﹣6)2,综上所述S=.【点评】本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形的有关知识以及多边形面积求法,关键是根据特殊三角形的性质,分类讨论得出. 中考数学试卷
一、选择题本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.计算(﹣6)+(﹣3)的结果等于( )A.﹣9B.9C.﹣3D.32.tan60°的值等于( )A.B.C.D.3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.4.据统计,在“文化惠民,阅读共享”为主题的2016书香天津•春季书展中,共实现销售码洋5100000多万元,将5100000用科学记数法表示应为( )A.510×104B.51×105C.
5.1×106D.
0.51×1075.如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体,它的俯视图是( )A.B.C.D.6.﹣2的值在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间7.正六边形的边心距为,则该正六边形的外接圆半径为( )A.B.2C.3D.28.已知A(1,y1),B(2,y2)两点在反比例函数y=图象上,若y1<y2,则实数m的取值范围是( )A.m>0B.m<0C.mD.m9.如图,在⊙O中,AB平分∠CAO,∠BAO=25°,则∠BOC的大小为( )A.25°B.50°C.65°D.80°10.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF的长为( )A.3B.4C.5D.411.张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又到文具店买笔,然后散步回家.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上,他从家跑步到体育场的平均速度是他从体育场到文具店的平均速度的2倍.设他出发后所用的时间为x(单位min),离家的距离为y(单位km),y与x的函数关系如图所示,则下列说法中错误的是( )A.体育场离张强家的距离为3kmB.体育场离文具店的距离为
1.5kmC.张强从体育场到文具店的平均速度为100m/minD.张强从文具店散步回家的平均速度为60m/min12.已知两个关于x的一元二次方程M ax2+bx+c=0;N cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c,有下列三个结论
①若方程M有两个相等的实数根,则方程N也有两个相等的实数根;
②若6是方程M的一个根,则是方程N的一个根;
③若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根一定是x=1.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3
二、填空题本大题共6小题,每小题3分,共18分.13.计算(﹣x)2x3的结果等于 .14.一个不透明的袋子中装有分别标着数字1,2,3,4,5的五个乒乓球,现从袋中随机摸出一个乒乓球,则摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是 .15.分式方程的解为 .16.如图,在▱ABCD中,点E在AD上,连接CE并延长,与BA的延长线交于点F,若AD=3AE,CD=2,则AF的长为 .17.已知二次函数y=x2+bx+3,其中b为常数,当x≥2时,函数值y随着x的增大而增大,则b的取值范围是 .18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(1)计算△ABC的面积等于 ;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以BC为一边的矩形,使该矩形的面积是△ABC面积的5倍,并简要说明画图方法(不要求证明) .
三、解答题本大题共7小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.19.解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答
(1)解不等式
①,得 ;
(2)解不等式
②,得 ;
(3)把不等式
①和
②的解集在数轴上表示出来
(4)原不等式组的解集为 .20.为了了解八年级学生参加社会实践活动情况,某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制了统计图
①和图
②,请根据图中提供的信息,回答下列问题
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图
①中的m的值为 ;
(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;
(3)若该区八年级学生有3000人,估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数.21.已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线于点P,CP与⊙O交于点D.
(1)如图
①,若AP=AC,求∠B的大小;
(2)如图
②,若AP∥BC,∠P=42°,求∠BAC的大小.22.热气球的探测器显示,从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°,看这栋楼底部C处的俯角为61°,已知这栋楼BC的高度为300m,求热气球所在位置距地面的距离(结果保留整数).(参考数据tan35°≈
0.70,tan61°≈
1.80)23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都让利酬宾,在甲商场按累计购物金额的80%收费;在乙商场累计购物金额超过200元后,超出200元的部分按70%收费,设小红在同一商场累计购物金额为x元,其中x>200.
(1)根据题意,填写下表(单位元)
(2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(3)“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱?24.在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且△OAB为等边三角形,C为OB的中点,连接AC.
(1)如图
①,求点C的坐标;
(2)如图
②,将△OAC沿x轴向右平移得到△DFE,设OD=m,其中0<m<4.
①设△OAB与△DEF重叠部分的面积为S,用含m的式子表示S;
②连接BD,BE,当BD+BE取最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可).25.抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=kx+m交于A(1,3),B(4,0)两点,点P是抛物线上A、B之间(不与点A、B重合)的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D.
(1)求抛物线与直线AB的解析式;
(2)当点C为线段AB的中点时,求PC的长;
(3)设点E的坐标为(s,t),当以点P、C、D、E为顶点的四边形为矩形时,用含有t的式子表示s,并求出s的取值范围. 参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.计算(﹣6)+(﹣3)的结果等于( )A.﹣9B.9C.﹣3D.3【考点】有理数的加法.【专题】计算题;实数.【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果.【解答】解原式=﹣(6+3)=﹣9,故选A.【点评】此题考查了有理数的加法,熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键. 2.tan60°的值等于( )A.B.C.D.【考点】特殊角的三角函数值.【分析】求得60°的对边与邻边之比即可.【解答】解在直角三角形中,若设30°对的直角边为1,则60°对的直角边为,tan60°==,故选D.【点评】考查特殊角的三角函数值;熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键. 3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、是轴对称图形,也是中心对称图形;B、是轴对称图形,不是中心对称图形;C、不是轴对称图形,是中心对称图形;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选A.【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 4.据统计,在“文化惠民,阅读共享”为主题的2016书香天津•春季书展中,共实现销售码洋5100000多万元,将5100000用科学记数法表示应为( )A.510×104B.51×105C.
5.1×106D.
0.51×107【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于5100000有7位,所以可以确定n=7﹣1=6.【解答】解5100000=
5.1×106.故选C.【点评】本题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键. 5.如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体,它的俯视图是( )A.B.C.D.【考点】简单组合体的三视图;截一个几何体.【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.【解答】解从上面看,是正方形右边有一条斜线,故选A.【点评】本题考查了三视图的知识,根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键. 6.﹣2的值在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间【考点】估算无理数的大小.【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大进行求解即可.【解答】解∵16<17<25,∴4<<5.∴2<﹣2<3.故选B.【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小,夹逼法的应用是解题的关键. 7.正六边形的边心距为,则该正六边形的外接圆半径为( )A.B.2C.3D.2【考点】正多边形和圆.【分析】设正六边形的中心是O,一边是AB,过O作OG⊥AB与G,在直角△OAG中,根据三角函数即可求得边长AB,从而求出周长.【解答】解如图,在Rt△AOG中,OG=,∠AOG=30°,∴OA=OG÷cos30°=÷=2;故选B.【点评】本题主要考查正多边形的计算问题,常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算,属于常规题. 8.已知A(1,y1),B(2,y2)两点在反比例函数y=图象上,若y1<y2,则实数m的取值范围是( )A.m>0B.m<0C.mD.m【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数的性质.【分析】根据已知和反比例函数的性质得出5+2m<0,求出即可.【解答】解∵0<1<2,A(1,y1),B(2,y2)两点在反比例函数y=图象上,y1<y2,∴5+2m<0,∴m<﹣,故选D.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的性质的应用,注意反比例函数y=(k≠0,k为常数),当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小,当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大. 9.如图,在⊙O中,AB平分∠CAO,∠BAO=25°,则∠BOC的大小为( )A.25°B.50°C.65°D.80°【考点】圆周角定理.【分析】由∠BAO=25°,利用等腰三角形的性质,可求得∠AOC的度数,又由AB平分∠CAO,可求得∠CAO的度数,继而求得∠AOC的度数,则可求得答案.【解答】解∵∠BAO=25°,OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°,∵AB平分∠CAO,∠BAO=25°,∴∠CAO=2∠BAO=50°,∵OA=OC,∴∠C=∠CAO=50°,∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=80°,∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=50°.故选B.【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注意利用等腰三角形的性质求解是关键. 10.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF的长为( )A.3B.4C.5D.4【考点】旋转的性质.【分析】先依据旋转的性质得到CE、CD的长,然后过点F作FG⊥AC,从而可证明FG是△ECD的中位线,从而可得到EG、FG的长,最后依据勾股定理可求得AF的长.【解答】解如图所示过点F作FG⊥AC.∵由旋转的性质可知CE=BC=4,CD=AC=6,∠ECD=∠BCA=90°.∴AE=AC﹣CE=2.∵FG⊥AC,CD⊥AC,∴FG∥CD.又∵F是ED的中点,∴G是CE的中点,∴EG=2,FG=CD=3.∴AG=AE+EG=4.∴AF==5.故选C.【点评】本题主要考查的是旋转的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理的应用,证得FG为△△ECD的中位线是解题的关键. 11.张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又到文具店买笔,然后散步回家.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上,他从家跑步到体育场的平均速度是他从体育场到文具店的平均速度的2倍.设他出发后所用的时间为x(单位min),离家的距离为y(单位km),y与x的函数关系如图所示,则下列说法中错误的是( )A.体育场离张强家的距离为3kmB.体育场离文具店的距离为
1.5kmC.张强从体育场到文具店的平均速度为100m/minD.张强从文具店散步回家的平均速度为60m/min【考点】一次函数的应用.【分析】因为张强从家直接到体育场,故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离,即可判断A;求出从家跑步到体育场的平均速度,除以2是他从体育场到文具店的平均速度,即可判断C;再乘以从体育场到文具店的时间,即可判断B;先求出张强家离文具店的距离,再求出从文具店到家的时间,求出二者的比值即可.【解答】解由函数图象可知,体育场离张强家的距离为3千米,故A选项正确;∵张强15分钟从家跑步去体育场,∴从家跑步到体育场的平均速度为3÷15=
0.2(千米/分),∴从体育场到文具店的平均速度为
0.2÷2=
0.1(千米/分)=100(米/分),故C选项正确;∵从体育场到文具店的时间为45﹣30=15(分),∴体育场离文具店的距离为
0.1×15=
1.5(千米),故B选项正确;∵文具店离张强家3﹣
1.5=
1.5千米,张强从文具店散步走回家花了85﹣55=30分,∴张强从文具店回家的平均速度是
1.5÷30=
0.05(千米/分)=50(米/分),故D选项错误.故选D.【点评】本题主要考查一次函数的应用,速度=路程÷时间的应用,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答此题的关键. 12.已知两个关于x的一元二次方程M ax2+bx+c=0;N cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c,有下列三个结论
①若方程M有两个相等的实数根,则方程N也有两个相等的实数根;
②若6是方程M的一个根,则是方程N的一个根;
③若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根一定是x=1.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【考点】根的判别式;一元二次方程的解.【分析】
①由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同,从而得出
①正确;
②将x=6代入方程M中,即可得出36a+6b+c=0,等式两边同时除以36即可得出a+b+c=0,从而得出
②不正确;
③根据方程M、N有相同的根,可得出ax2+bx+c=cx2+bx+a,再结合ac≠0,a≠c,即可得出x2=1,求出x的值即可得出
③不正确.综上即可得出结论.【解答】解
①在方程ax2+bx+c=0中,△=b2﹣4ac;在方程cx2+bx+a=0中,△=b2﹣4ac.即两方程的根的判别式△相等,∴
①正确;
②∵6是方程M的一个根,∴36a+6b+c=0,∴a+b+c=0,即a+b+c=0.∴是方程N的一个根.∴
②不正确;
③∵方程M和方程N有一个相同的根,∴ax2+bx+c=cx2+bx+a,即(a﹣c)x2=a﹣c.∵ac≠0,a≠c,∴x2=1,解得x=±1.∴这个相等的根为x=1或x=﹣1.∴
③不正确.综上可知只有一个结论正确.故选B.【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根,解题的关键是
①结合两方程的根的判别式相等来判断结论
①;
②将x=6代入方程M,再变形;
③令ax2+bx+c=cx2+bx+a求出x值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据两方程的系数找出两方程的根的关系是关键.
二、填空题本大题共6小题,每小题3分,共18分.13.计算(﹣x)2x3的结果等于 x5 .【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法.【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则求解.【解答】解(﹣x)2x3=x2x3=x5.故答案为x5.【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法,掌握运算法则是解答本题的关键. 14.一个不透明的袋子中装有分别标着数字1,2,3,4,5的五个乒乓球,现从袋中随机摸出一个乒乓球,则摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是 .【考点】概率公式.【分析】根据概率的求法,找准两点
①全部情况的总数;
②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.依此即可求解.【解答】解∵数字1,2,3,4,5中,偶数有2个,∴摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是2÷5=.故答案为.【点评】此题考查了概率公式,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=. 15.分式方程的解为 x=2 .【考点】分式方程的解.【分析】方程两边都乘以(x﹣1)(2x+1)化为整式方程,然后求解,再进行检验即可.【解答】解方程两边都乘以(x﹣1)(2x+1)得,2x+1=5(x﹣1),解得x=2,检验当x=2时,(x﹣1)(2x+1)=(2﹣1)×(2×2+1)=5≠0,所以,x=2是方程的解,所以,原分式方程的解是x=2.故答案为x=2.【点评】本题考查了解分式方程,
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根. 16.如图,在▱ABCD中,点E在AD上,连接CE并延长,与BA的延长线交于点F,若AD=3AE,CD=2,则AF的长为 1 .【考点】平行四边形的性质.【分析】与平行四边形的性质得出AB∥CD,证出△AEF∽△DEC,得出AF CD=AE DE,由已知条件得出AF CD=AE DE=12,即可得出结果.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴△AEF∽△DEC,∴AF CD=AE DE,∵AD=3AE,∴DE=2AE,∴AF CD=AE DE=12,∴AF=CD=1;故答案为1.【点评】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键. 17.已知二次函数y=x2+bx+3,其中b为常数,当x≥2时,函数值y随着x的增大而增大,则b的取值范围是 b≥﹣4 .【考点】二次函数的性质;解一元一次方程.【分析】根据二次函数解析式可找出二次函数的对称轴,再由二次项系数>0即可得出二次函数的单增区间,结合给定条件即可得出关于b的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.【解答】解∵二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=﹣=﹣,且a=1>0,∴当x≥﹣时,函数值y随着x的增大而增大,∵当x≥2时,函数值y随着x的增大而增大,∴﹣≤2,解得b≥﹣4.【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式,解题的关键是根据二次函数的性质找出二次函数的单增区间.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数性质找出单增区间,再结合题意得出不等式是关键. 18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(1)计算△ABC的面积等于 ;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以BC为一边的矩形,使该矩形的面积是△ABC面积的5倍,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点D、E,连结CD、BE;再取格点M、N、P、Q,连结MN交CD于G,连结PQ交BE于H,连结GH,则四边形BCGH为所求 .【考点】作图—复杂作图.【专题】作图题.【分析】
(1)根据三角形面积公式计算即可;
(2)先计算出BC=,画BC分别绕点C、B逆时针和顺时针旋转90°得到CD、BE,则CD=BE=,然后把CD和BE4等份,这样得到BH=CG=,从而得到矩形BCGH的面积为.【解答】解
(1)S△ABC=×1×3=;
(2)如图,取格点D、E,连结CD、BE;再取格点M、N、P、Q,连结MN交CD于G,连结PQ交BE于H,连结GH,则四边形BCGH为所求.故答案为,取格点D、E,连结CD、BE;再取格点M、N、P、Q,连结MN交CD于G,连结PQ交BE于H,连结GH,则四边形BCGH为所求.【点评】本题考查了作图﹣复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
三、解答题本大题共7小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.19.解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答
(1)解不等式
①,得 x≥﹣2 ;
(2)解不等式
②,得 x≤2 ;
(3)把不等式
①和
②的解集在数轴上表示出来
(4)原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤2 .【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.【分析】
(1)移项,合并同类项,系数化成1即可;
(2)移项,合并同类项,系数化成1即可;
(3)在数轴上表示出来即可;
(4)根据数轴得出即可.【解答】解
(1)3x+1≥﹣5,3x≥﹣5﹣1,3x≥﹣6,x≥﹣2,故答案为x≥﹣2;
(2)2x﹣1≤3,2x≤4,x≤2,故答案为x≤2;
(3)在数轴上表示不等式的解集为;
(4)原不等式组的解集为﹣2≤x≤2,故答案为﹣2≤x≤2.【点评】本题考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集的应用,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键. 20.为了了解八年级学生参加社会实践活动情况,某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制了统计图
①和图
②,请根据图中提供的信息,回答下列问题
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 80 ,图
①中的m的值为 20 ;
(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;
(3)若该区八年级学生有3000人,估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数.【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数;众数.【分析】
(1)利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数;利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值;
(2)根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为5;把数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,位置处于中间的是两个数都是6,从而可得中位数为6;求出数据的总和再除以80即可得到平均数;
(3)利用样本估计总体的方法可得该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%,然后可得答案.【解答】解
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为8÷10%=80,m%=100%﹣25%﹣35%﹣10%﹣10%=20%,则m=20,故答案为80,20.
(2)∵在这组样本数据中,5出现了28次,出现的次数最多,∴这组样本数据的众数为5.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是6,有=6,∴这组样本数据的中位数为6.观察条形统计图,==
6.4,∴这组数据的平均数是
6.4.
(3)∵在80名学生中,参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例为20%,∴由样本数据,估计该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%,于是,有3000×20%=600.∴该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为600人.【点评】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图,以及众数、中位数、加权平均数的计算,关键是正确从统计图中获取正确信息. 21.已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线于点P,CP与⊙O交于点D.
(1)如图
①,若AP=AC,求∠B的大小;
(2)如图
②,若AP∥BC,∠P=42°,求∠BAC的大小.【考点】切线的性质;圆周角定理;三角形的外接圆与外心.【分析】
(1)如图
①,连接OA、AD.由等腰三角形的性质可知∠P=∠ACP,然后由切线的性质可证明∠PAO=90°,于是得到∠P+∠POA=90°,然后依据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质可证明∠AOP=2∠ACP,从而可求得∠ACP的度数,然后可求得∠ADC的度数,最后依据圆周角定理可求得∠B的度数;
(2)如图,连接BD.由直径所对的圆周角等于90°可求得∠DBC=90°,然后依据平行线的性质可求得∠PCB的度数,于是可得到∠CDB的度数,最后依据圆周角定理可求得∠BAC的度数.【解答】解
(1)如图
①,连接OA、AD.∵AP=AC,∴∠P=∠ACP.∵PA与⊙O与相切,∴∠PAO=90°.∴∠P+∠POA=90°.∵OA=0C,∴∠ACO=∠CAO.∴∠AOP=2∠ACO.∵∠P+∠POA=90°,∴∠ACP+2∠ACP=90°.∴∠ACP=30°.∴∠B=2∠ACP=60°.
(2)如图,连接BD.∵DC为⊙O的直径,∴∠DBC=90°.∴∠CDB+∠DCB=90°.∵AP∥BC,∴∠PCB=∠P=42°.∴∠CDB=90°﹣42°=48°.∴∠BAC=∠BDC=48°.【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键. 22.热气球的探测器显示,从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°,看这栋楼底部C处的俯角为61°,已知这栋楼BC的高度为300m,求热气球所在位置距地面的距离(结果保留整数).(参考数据tan35°≈
0.70,tan61°≈
1.80)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,根据题意,∠BAD=35°,∠CAD=61°,BC=300m,在Rt△ABD中,根据三角函数的定义得到BD=AD•tan35°,在Rt△AC中,根据三角函数的定义得到CD=AD•tan61°,于是得到结论.【解答】解如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,根据题意,∠BAD=35°,∠CAD=61°,BC=300m,∵在Rt△ABD中,tan∠BAD=,∴BD=AD•tan35°,∵在Rt△AC中,tan∠CAD=,∴CD=AD•tan61°,又∵BC=BD+CD,∴AD=,∴CD=AD•tan61°=≈=216m,答热气球所在位置距地面的距离约为216m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解. 23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都让利酬宾,在甲商场按累计购物金额的80%收费;在乙商场累计购物金额超过200元后,超出200元的部分按70%收费,设小红在同一商场累计购物金额为x元,其中x>200.
(1)根据题意,填写下表(单位元)
(2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(3)“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱?【考点】一元一次不等式的应用;列代数式;一元一次方程的应用.【分析】
(1)根据两种购买方案即可求解;
(2)小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解;
(3)利用
(1)所得代数式,分两种情况列不等式求解.【解答】解
(1)700×80%=560,在甲商场购买x元的金额时,实际花费是
0.8x(元);200+(500﹣200)×70%=410(元),在甲商场购买x元的金额时,实际花费是200+(x﹣200)×70%=
0.7x+60.故答案是560;
0.8x;410;
0.7x+60;
(2)根据题意,有
0.8x=
0.7x+60,解得x=600,∴当x=600时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同.
(3)由
0.8x<
0.7x+60,解得x<600.由
0.8x>
0.7x+60,解得x>600.∴当小红累计购物的金额超过600元时,在乙商场购物更省钱;当小红累计购物的金额不超过600元时,在甲商场购物更省钱.【点评】本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题意,列出不等式,进行求解. 24.在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且△OAB为等边三角形,C为OB的中点,连接AC.
(1)如图
①,求点C的坐标;
(2)如图
②,将△OAC沿x轴向右平移得到△DFE,设OD=m,其中0<m<4.
①设△OAB与△DEF重叠部分的面积为S,用含m的式子表示S;
②连接BD,BE,当BD+BE取最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可).【考点】几何变换综合题.【分析】
(1)过C作CH⊥OA,垂足为H,根据线段与角度之间的关系,可求得C点的坐标为(1,);
(2)
①分两种情况讨论,Ⅰ、当0<m≤2时,重合面积为四边形,此时S=S△DEF﹣S△AGFⅡ、当2<m<4时,重合面积为等边三角形,此时S=S△KAD;
②分0<m≤2和2<m<4两种情况讨论计算,Ⅰ、如图4,BD+BE转化为BD+BE,而BD+BE最小,则当D、B、E三点共线时,BD+BE取得最小值,可求得E.Ⅱ、同Ⅰ的方法即可得出m=4,不符合要求.【解答】解(Ⅰ)如图1,过C作CH⊥OA,垂足为H,∵OA=4,△OAB为等边三角形,∴∠BOA=60°,OB=4,∵C为OB的中点,∴OC=2,∠OCA=90°,∴∠OCH=30°,∴OH==1,CH=,∴点C的坐标为(1,);(Ⅱ)
①∵△DEF是△OCA平移得到的,∴AF=OD=m,当0<m≤2时,如图2,设AB与EF交于点G,过点A作AI⊥EF,垂足为I,∵∠BAF=120°,∠DFE=30°,∴∠AGF=30°,∴AI=m,GF=2FI=,∴S=S△DEF﹣S△AGF=2﹣m2,当2<m<4时,如图3,设AB与DE交于点K∵∠KDA=∠KAD=60°,∴△KAD为等边三角形,∵DA=4﹣m,∴S=S△KAD=(4﹣m)2,综上所述S=;
②Ⅰ、当0<m≤2时,如图4,过点B作直线l∥x轴,作点E关于直线l的对称点E,直线l的解析式为y=2,连接BE,BE,∴BE=BE,∴BD+BE=BD+BE,要使BD+BE最小,∴BD+BE最小,即点D,B,E三点共线,∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE,设OD=m,∴CE=OD=m,D(m,0),由
(1)知,C(1,),∴E(m+1,),∵点E关于直线l的对称点E,∴E(m+1,3),由点D(m,0),E(m+1,3),得出直线DE的解析式为y=3x﹣3m,∵点B在直线DE上,∴3×2﹣3m=2,∴m=,∴E.Ⅱ、当2<m<4时,作点E关于直线l的对称点E,连接BE,BE,∴BE=BE,∴BD+BE=BD+BE,要使BD+BE最小,∴BD+BE最小,即点D,B,E三点共线,∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE,设OD=m,∴CE=OD=m,D(m,0),由
(1)知,C(1,),∴E(m+1,),∵点E关于直线l的对称点E,∴E(m+1,﹣),由点D(m,0),E(m+1,﹣),得出直线DE的解析式为y=﹣x+m,∵点B在直线DE上,∴﹣×2+m=2,∴m=4(舍去)∴当BD+BE取最小值时,点E的坐标为.【点评】此题是几何变换综合题,以三角形为背景,考查等边三角形的性质、平移的性质、待定系数法,用面积割补法来求不规则图形的面积,对称的性质,体现了分类讨论的思想,确定出直线DE的解析式是解本题的关键,借助点D,E的横坐标相差1,此题
(2)
②容易丢点第二种不成立的理由. 25.抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=kx+m交于A(1,3),B(4,0)两点,点P是抛物线上A、B之间(不与点A、B重合)的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D.
(1)求抛物线与直线AB的解析式;
(2)当点C为线段AB的中点时,求PC的长;
(3)设点E的坐标为(s,t),当以点P、C、D、E为顶点的四边形为矩形时,用含有t的式子表示s,并求出s的取值范围.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题.【分析】
(1)把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;然后利用待定系数法求直线AB的解析式;
(2)利用线段中点坐标公式求出C点坐标,再利用PC∥x轴可得到P点的纵坐标为,然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标,再计算PC的长;
(3)设点P的坐标为(n,﹣n2+4n),利用四边形PCED为矩形可表示出C(s,﹣n2+4n),D(n,t),再利用点C、D在直线y=﹣x+4上得到﹣n2+4n=﹣s+4,t=﹣n+4,然后消去n得到s与t的函数关系式,再根据二次函数的性质确定s的范围.【解答】解
(1)∵点A(1,3),B(4,0)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x;∵点A(1,3),B(4,0)在直线y=kx+m上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x+4;
(2)∵点C为线段AB的中点时,∴C点坐标为(,),∵PC∥x轴,∴P点的纵坐标为,当y=时,﹣x2+4x=,解得x1=2+(舍去),x2=2﹣,∴P(2+,),∴PC=2+﹣=;
(3)设点P的坐标为(n,﹣n2+4n),∵四边形PCED为矩形,E(s,t),∴C(s,﹣n2+4n),D(n,t),而点C、D在直线y=﹣x+4上,∴﹣n2+4n=﹣s+4,t=﹣n+4,即n=4﹣t,∴﹣(4﹣t)2+4(4﹣t)=﹣s+4,∴s=t2﹣4t+4(0<t<3),∵s=(t﹣2)2,∴抛物线的对称轴为直线t=2,∵0<t<3时,当t=2时,s有最小值0,而t=0时,s=4,∴s的范围为0≤s<4.【点评】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质. 累计购物实际花费500700…x在甲商场400 … 在乙商场 550… 累计购物实际花费500700…x在甲商场400 560 …
0.8x 在乙商场 410 550…
0.7x+60 。