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文本内容:
函数的单调性教学设计【课题】函数的单调性(教学设计)【教材】北师大版《数学》必修1,第二章《函数》§3第一课时北京师范大学出版社【授课类型】新授课
一、教材分析
1、教材内容本节课是北师大版全日制普通高级中学教科书(必修1)数学第二章《函数》§3第一课时,该课时主要学习增函数、减函数的定义,以及应用定义解决一些简单问题.
2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石,函数的单调性是首先研究的一个性质.通过对本节课的学习,让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤,并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题.通过上述活动,加深对函数本质的认识.函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础.此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用,它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一.从方法论的角度分析,本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法.
二、教学目标
(1)知识与技能使学生理解函数单调性的概念,并能从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法.
(2)过程与方法从生活实际和已有旧知出发,引导学生探索函数的单调性的概念,通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
(3)情感态度价值观通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程也培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神.
三、教学重点与难点教学重点
(1)函数单调性的概念;
(2)运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性. 教学难点
(1)函数单调性的知识形成;
(2)利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性.
四、教学手段计算机多媒体、投影仪.
五、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课,教师要启发讲授,学生要探究学习.因此,教法上要注意
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发了学生求知欲,调动了学生主体参与的积极性.
2、在运用定义解题的过程中,紧扣定义中的关键语句,通过学生的主体参与,逐个完成对各个难点的突破,以获得各类问题的解决.
3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用.具体体现在设问、讲评和规范书写等方面,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并成功地完成书面表达.
4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段,增大教学容量和直观性.在学法上
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力.
2、让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃.
六、教学过程
一、创设情境,引入课题为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况,下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.问题观察图形,能得到什么信息?预案1当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻;2在某时刻的温度;3某些时段温度升高,某些时段温度降低.教师指出在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.问题还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.归纳用函数观点看,其实这些例子反映的就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
二、归纳探索,形成概念对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,是函数的重要性质,称为函数的单调性,同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1.借助图象,直观感知问题1分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化规律?预案1函数,在整个定义域内y随x的增大而增大;函数,在整个定义域内y随x的增大而减小.2函数,在上y随x的增大而增大,在上y随x的增大而减小.3函数,在上y随x的增大而减小,在上y随x的增大而减小.引导学生进行分类描述增函数、减函数,同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.问题2能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗预案如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数;如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数在该区间上为减函数.教师指出这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识.〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.2.抽象思维,形成概念问题1如图是函数的图象能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题2如何从解析式的角度说明在上为增函数?预案1在给定区间内取两个数,例如2和3,因为2232,所以在上为增函数.2仿1,取多组数值验证均满足,所以在为增函数.3任取因为即,所以在上为增函数.对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习做好铺垫.问题3你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.1板书定义2巩固概念判断题
①.
②若函数.
③若函数在区间和23上均为增函数,则函数在区间13上为增函数.
④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.通过判断题,强调三点
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数在整个定义域内单调如一次函数,有的函数只在定义域内的某些区间单调如二次函数,有的函数根本没有单调区间如常函数.
③函数在定义域内的两个区间AB上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.思考如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法,适当延展例1证明函数在上是增函数.1.分析解决问题针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.证明任取 设元 求差 变形 断号∴∴即∴函数在上是增函数. 定论2.归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤设元、作差、变形、断号、定论.练习证明函数在上是增函数.问题除了用定义外,如果证得对任意的,且有,能断定函数在区间上是增函数吗引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数.〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.了解等价形式进一步发展可以得到导数法,为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
四、问题讨论问题讨论函数的单调性.实际问题在一碗水中,加入一定量的糖,糖加得越多糖水就越甜.你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗?
五、归纳小结,提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.1.小结1概念探究过程直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.2证明方法和步骤设元、作差、变形、断号、定论.3数学思想方法数形结合.2.作业书面作业课本第38页习题2-3第4,5题.课后探究研究函数的单调性.
六、板书设计函数的单调性
一、函数单调性的概念增函数定义、减函数定义
二、例题
三、学生课堂练习
四、课时小结
五、作业
七、课后反思本课设计以学生活动为主体的探究式教学教学设计,从课堂反映来看,学生创造潜能是无限的,思维是相当活跃的要关爱学生,及时鼓励;充分发挥学生主体作用,调动学生的学习积极性;切实重渗透教学思想方法,培养综合运用能力.重注意以下几个问题:1)重视学生的亲身体验.具体体现在两个方面
①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识,学生对“y随x的增大而增大”的理解;
②运用新知识尝试解决新问题.如对函数在定义域上的单调性的讨论.
(2)重视学生发现的过程.如充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程;充分暴露在正、反两个方面探讨活动中,学生认知结构升华、发现的过程.
(3)重视学生的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固,让学生动手去实践运用定义.
(4)重视课堂问题的设计.通过对问题的设计,引导学生解决问题.。