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文本内容:
课题函数的单调性【教学目标】
(1)知识与技能使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法.
(2)过程与方法从生活实际和已有所学知识出发,引导学生探索函数的单调性的概念;通过应用函数图象和单调性的定义解决函数单调性问题,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
(3)情感态度价值观通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程和不断探求新知识的精神.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.【教学难点】根据定义判断和证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习.【教学手段】计算机、投影仪.【教学过程】教学内容的流程教师“教”的流程学生“学”的流程创设情境,引入课题
1.源于学生生活实际:观察中国人口增长示意图及某一天中国石化(股票)的走势图引导学生从哪个角度观察图形和感受图象的变化特点学生观察图形,初步感受图象的变化特点
2.源于过去经验引例1观察下列函数的图象
1.y=x+1;
2.y=-x+1;
3.y=x
2.随着自变量x的变化,应变量y有什么变化规律,对应的图象有什么特征?(引出课题)进一步引导学生从自变量x的、应变量y的角度观察图形和感受图象的变化特点学生重新审视学过的几个函数的图形,较为理性的思考图象的变化特点引例2给出北京2008年8月8日24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图问题1说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的?继续让学生观察图象,为引导学生进一步理性思考做铺垫进一步观察图象的变化趋势建构概念思考如何用严谨的数学语言表述函数图象是上升还是下降的? 问题2怎样用数学语言来刻画在4至14时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?教师引导要点
1.如果要精确刻画,应该运用图上点的坐标(对应函数的自变量、应变量);
2.图象的变化趋势与函数的自变量、应变量的关系;
3.区间I内随着x的增大,y也增在区间I内x1,x2,当x1x2时,有fx1fx2先独立思考、再分组讨论,然后汇报小组结论.(理性地建构概念)师生共同给出严格定义一般地,设函数y=fx的定义域为A,区间IA.如果取区间M中的任意两个值x
1、x2该变量△x=x2-x10则当△y=fx2-fx10时,称函数y=fx在区间I上是增函数.I称为y=fx的单调增区间同样的,如果取区间M中的任意两个值x
1、x2该变量△x=x2-x10则当△y=fx2-fx10时,称函数y=fx在区间I上是减函数.I称为y=fx的单调减区间引导学生逐步给出严格的单调性定义引导学生用严格的单调性定义去重新审视前面仅从图象的角度观察过的几个已知函数的单调性学生逐步总结并完善,用严格的数学语言表达单调性定义从严格的单调性定义的角度去重新审视前面仅从图象的角度观察过的几个已知函数的单调性(正向认识与强化)例1利用定义判断下列函数的单调性
1.y=x+1;
2.y=-x+1;
3.y=x
2.(加深对定义的理解)例2判断题
1.已知函数,因为所以是增函数;
2.命题“函数=n,x∈[nn+1n∈N任意变量x都有fxfx+1则函数为增函数”是真命题吗?
3.若函数在12]和23上均为增函数,则函数在13上为增函数.通过对判断题的讨论,引导学生进一步深入地理解概念,引导要点
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数在整个定义域内单调如一次函数,有的函数只在定义域内的某些区间单调如二次函数,有的函数根本没有单调区间如常函数.
③函数在定义域内的两个区间AB上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.通过对几个反面例子的思考和辨析,进一步深入地理解定义,并总结要点掌握证法,进一步理解定义例3证明函数在上是增函数.证明任取 ∴∴即∴函数在上是增函数. [探索与研究]除了用定义外,如果证得对任意的,且有,能断定函数在区间上是增函数吗引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数.教学分为三个环节难点突破、详细板书、归纳步骤.1.难点突破先让学生自己用定义尝试证明,再组织学生讨论,引导学生从已有的认知出发,考虑分组分解法,把形式相同的项分在一起,变形后找到公因式提取后即可判断符号.2.详细板书在上面分析的基础上,对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯.3.归纳步骤在板书的基础上,引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法步骤设元作差变形断号定论.通过对证明过程的分析,使学生明确每一步的必要性和目的,特别是第三步,让学生明确变形的方法及程度,帮助学生掌握方法,提高学生的推理论证能力.
1.学生自己用定义尝试证明,再分组讨论;
2.大家一起完成严格、规范的证明过程的完整板书;
3.总结规律和方法.巩固练习练习.利用单调性的定义证明函数在(-∞,+∞)上是减函数让学生动手实践利用定义证明函数单调性,巩固前面所学学生先自己完成证明,然后师生交流证明归纳小结,提高认识对本堂课所学进行归纳小结,进一步提高学生对单调性的认识1.小结1概念探究过程直观到抽象、特殊到一般、感性到理性2证明方法和步骤设元、作差、变形、断号、定论3数学思想方法数形结合、等价转化、类比等2.作业书面作业课本第60页习题
2.3第4,5,6题.课后探究研究函数的单调性.在知识层面上,引导学生回顾函数单调性定义的探究过程,使学生对单调性概念的发生发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的三个阶段直观感受、文字描述和严格定义在方法层面上,首先引导学生回顾判断,证明函数单调性的方法和步骤;然后引导学生回顾知识探究过程中用到的数学思想方法,如数形结合,等价转化,类比等,重点强调用符号语言来刻画图形语言用定量分析来解释定性结果;同时对学习过程作必要的反思为后续的学习做好铺垫.先自己总结本节课所学,再与同学老师一起共同完成对知识、方法上的总结。