还剩37页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第九讲轴对称、平移与旋转明确目标〮定位考点图形与变换部分主要考查了图形的对称、平移、旋转、图形的相似及运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题在网格中画对称、平移、旋转图形是最近几年经常出现的题目,这部分要求学生通过具体实例认识对称、平移、旋转,探索它们的基本性质,理解它们的性质能按要求作出简单平面图形变换后的图形以后的中考试题可能会出现这方面的作图题,或与直角坐标系融合起来求点的坐标问题热点聚焦﹒考点突破热点一 轴对称、平移与中心对称图形【例1-1】(2014广州花都一模)民族图案是数学文化中的一块瑰宝.下列图案中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A.B.C.D.规律方法 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解答案CA、是中心对称图形,不符合题意;B、是轴对称图形,不符合题意;C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;D、是轴对称图形,不符合题意.故选C.【变式训练1】(2015•广州)将图所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是【】A.B.C.D.【例1-2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)写出△ABC的各顶点坐标;
(2)作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(3)将△ABC向下平移3个单位长度,画出平移后的△A2B2C2.规律方法
(1)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可;
(2)根据网格结构准确找出对应点A
1、B
1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(3)根据网格结构找出向下平移3个单位的对应点A
2、B
2、C2的位置,然后顺次连接即可.答案解
(1)A(-2,3),B(-3,2),C(-1,1);
(2)△A1B1C1如图所示;
(3)△A2B2C2如图所示.【变式训练2】如图,三角形ABC中任意一点P(x,y),经过平移后对应的点Q(x+5,y+3),将三角形ABC作同样的平移到三角形A1B1C1.
(1)画出平移后的图形;
(2)求A
1、B
1、C1的坐标.热点二 轴对称(翻折)【例2-1】已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图
①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图
②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).规律方法 此题考查了轴对称中折叠的性质,矩形的性质,相似三角形的判定及性质等概念,要注意数形结合及方程的思想的应用答案(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t∵OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得t1=,t2=-(舍去).∴点P的坐标为(,6)(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ∴由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m.∴∴(0<t<11)(Ⅲ)点P的坐标为(,6)或(,6)【变式训练3】如图所示,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE,过B点折纸片使A点叠在直线AD上,得折痕PQ.
(1)求证△PBE∽△QAB;
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明.如果不相似请说明理由;
(3)如果沿直线EB折叠纸片,A点是否能叠在直线EC上?为什么?、热点三 平移与旋转【例3-1】在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A(3,0),B(
0.4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD.记旋转角为α.∠ABO为β.(I)如图
①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;(II)如图
②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系(III)当旋转后满足∠AOD=β时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).规律方法 本题关键在于考查图形的旋转,利用旋转结合相似,勾股定理等性质答案
(1)∵点A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4,∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5,根据题意,有DA=OA=3.如图
①,过点D作DM⊥x轴于点M,则MD∥OB,∴△ADM∽△ABO.有,得,∴OM=,∴MD=,∴点D的坐标为(,).
(2)如图
②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,∴∠ABC=∠ACB,∴在△ABC中,∴α=180°﹣2∠ABC,∵BC∥x轴,得∠OBC=90°,∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,∴α=2β;
(3)若顺时针旋转,如图,过点D作DE⊥OA于E,过点C作CF⊥OA于F,∵∠AOD=∠ABO=β,∴tan∠AOD==,设DE=3x,OE=4x,则AE=4x﹣3,在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2,∴9=9x2+(4x﹣3)2,∴x=,∴D(,),∴直线AD的解析式为y=x﹣,∵直线CD与直线AD垂直,且过点D,∴设y=﹣x+b,则b=4,∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1,∴直线CD的解析式为y=﹣x+4.【例3-2】在平面直角坐标系中,已知点,点,点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.(Ⅰ)如图
①,求点的坐标;(Ⅱ)如图
②,将△AEO沿x轴向右平移得△A’E’O’,连接.
①设,其中,试用含的式子表示,并求出使取得最小值时点的坐标;
②当取得最小值时,求点的坐标(直接写出结果即可).规律方法本题综合考差了相似三角形的判定及性质,平移的性质,及勾股定理等知识点,难度较大答案(Ⅰ)如图
①,∵点A(﹣2,0),点B(0,4),∴OA=2,OB=4.∵∠OAE=∠OBA,∠EOA=∠AOB=90°,∴△OAE∽△OBA,∴,即,解得,OE=1,∴点E的坐标为(0,1);(Ⅱ)
①如图
②,连接EE′.由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2﹣m.在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20.∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.∴∠BEE′=90°,EE′=m.又BE=OB﹣OE=3,∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).
②如图
②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.易证△AB′A′≌△EBE′,∴B′A=BE′,∴A′B+BE′=A′B+B′A′.当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.易证△AB′A′∽△OBA′,∴,∴AA′=×2=,∴EE′=AA′=,∴点E′的坐标是(,1).【变式训练4】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(12,0)、(12,6),直线y=﹣x+b与y轴交于点P,与边OA交于点D,与边BC交于点E(Ⅰ)若直线y=﹣x+b过矩形OABC对角线交点,求b的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当直线y=﹣x+b绕点P顺时针旋转时,与直线BC和x轴分别交于点N、M,问是否存在ON平分∠CNM的情况?若存在,求线段DM的长;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)当直线y=﹣x+b沿y轴向平移个单位长度时,将矩形OABC沿平移后的直线折叠,带你O恰好落在边BC上.查漏补缺﹒易错警示旋转画图容易分不清逆时针和顺时针典例易错分析 要求逆时针旋转90°,所以要审清题目,逆时针是向左旋转,还有旋转中心要看清解析 解
(1)如图所示,点的坐标为(2,3)
(2)点A所经过的路径是圆心角为,半径为3的扇形的弧长,所以即点A所经过的路径的长度为温馨提醒 1理解好旋转的概念.2掌握旋转的性质及其要素归纳总结﹒思维升华
1、平移变换的性质
①对应线段平行(或共线)且相等;对应点所连结的线段平行且相等,因为经过平移,图形的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离,平移变换前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四点共线除外).
②对应角分别相等,且对应角的两边分别平行,方向一致.
③平移后的图形与原图形全等,因为平移只改变图形位置,不改变图形的形状和大小.
2、轴对称与轴对称图形轴对称
①把一个图形沿着某一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也叫做这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点
②轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
3、轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称,对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称,如果它们对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点,过关键点作对称轴的垂线,并延长至2倍,得到各点的对称点
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
5、旋转变换的性质图形通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等,旋转过程中,图形的形状、大小都没有发生变化.专题训练﹒对接中考
一、选择题
1、(2015安徽芜湖一模)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().ABCD
2、(2015江苏东台实中)下列各图中,既可经过平移,又可经过旋转,由图形
①得到图形
②的是().
3、(2014江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线
①对折后,沿虚线
②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是().10题图A.2+B.2+2 C.12 D.
184、2013·吉林中考模拟下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
5、(2015•广东佛山市)在下列四个图案中,不是中心对称图形的是( )A.B.C.D.
6、(2014·温州市中考模拟)将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是()
7、(2015·湖州市中考模拟试卷1)下列交通标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()
8、(2013·湖州市中考模拟试卷3)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是.A.等边三角形B.等腰直角三角形C.菱形D.等腰梯形
9、(2015·湖州市中考模拟试卷7)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60的菱形,剪口与折痕所成的角的度数应为()A.15或30B.30或45C.45或60D.30或
6010、2014年深圳育才二中一摸下列平面图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )A.等腰三角形B.正五边形C.平行四边形D.矩形
二、填空题
1、(2014吉林镇赉县一模)如图所示,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到△A′B′C′的位置,使CC′∥AB,则∠BAB′=.
2、2015山西中考模拟六已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC平移到△A´B´C´,使B´和C重合,连结AC´交AC于D,则△C´DC的面积为________.
3、(2014·温州市中考模拟)如图,五角星绕中心旋转一定角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为____º
4、(2013·湖州市中考模拟试卷3)如图,将一块含角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到的位置,若AB=8cm,那么点A旋转到所经过的路线长为_cm.(结果保留)
5、(2015·湖州市中考模拟试卷8)一个长方形的长与宽分别为cm和16cm,绕它的对称中心旋转一周所扫过的面积是;旋转90度时,扫过的面积是.
6、2013年河北三摸两个全等的梯形纸片如图1摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图2.已知AD=4,BC=8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的,则图2中平移距离A′A=________.
三、解答题
1、(2015安徽芜湖一模)如图,已知的三个顶点的坐标分别为、、.OxyACB
(1)经过怎样的平移,可使的顶点A与坐标原点O重合,并直接写出此时点C的对应点坐标;(不必画出平移后的三角形)
(2)将绕坐标原点逆时针旋转90°,得到△A′B′C′,画出△A′B′C′.
2、(2014安徽芜湖一模)如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ()时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证BD⊥CF;
②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.图1图2图
33、(2013温州市一模)如图,正比例函数经过点A(2,4)AB⊥轴于点B.DOBAC(第22题)1求该正比例函数的解析式.2将△ABO绕点A逆时针旋转得到△ADC,写出点C的坐标,试判断点C是否在直线的图象上,并说明理由.
4、(2015·湖州市中考模拟试卷1)在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).
(1)画出绕点C顺时针旋转后的;
(2)求边AB旋转时所扫过区域的面积
5、2013年上海市数学课上,张老师出示图1和下面框中条件如图1,两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上,∠ABC=∠DEF=90°,AB=1,DE=2.将直线EB绕点E逆时针旋转45°,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移,设C、E两点间的距离为x.(第25题图1)CDEAFMlB(第25题图2)DEFCABMl请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题
(1)
①当点C与点F重合时,如图2所示,可得的值为▲;
②在平移过程中,的值为▲(用含x的代数式表示);
(2)艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时,如图3所示,请你帮他补全图形,并计算的值;
(3)艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度,,原题中的其他条件保持不变.请你计算的值(用含x的代数式表示).(第25题备用图)DEFl(第25题图3)DEFClAB
6.(2015年广东汕尾11分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于▲,线段CE1的长等于▲;(直接填写结果)
(2)如图2,当α=135°时,求证BD1=CE1,且BD1⊥CE1;
(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)课下作业一.选择题第1题第2题第3题1.(2015•义乌市)如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为( )2.(2013•青岛)如图,将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,那么点A的对应点A′的坐标是( )3.(2014绍兴)在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的▱ABCD,点A的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A落在点A′(5,﹣1)处,则此平移可以是( )4.(2015•本溪)下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是( )第5题第6题第7题5.(2015•淄博)如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为( )6.(2013•泰安)如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为( )7.(2014•牡丹江)如图,A(,1),B(1,).将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′,则此时点A的对应点A′的坐标为( )C.(﹣1,﹣)或(﹣2,0)D.(﹣,﹣1)或(﹣2,0)
8、2013年河北四摸如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( )(A)30°(B)45°(C)90°(D)135°
9.(2015年广东深圳)如图,已知正方形ABCD的边长为12,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论
①;
②;
③;
④.在以上4个结论中,正确的有【】A.1B.2C.3D.
410.(2015年广东汕尾)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长为【】A.B.C.D.二.填空题第1题第2题第3题第5题1.(2015莆田)如图,△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到,若AC=3cm,则A′C=cm.2.(2014•济南)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于 .3.(2012•娄底)如图,A、B的坐标分别为(1,0)、(0,2),若将线段AB平移到至A1B1,A
1、B1的坐标分别为(2,a)、(b,3),则a+b= .4.(2013•鞍山)在平面直角坐标系中,将点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,得到点P1,则点P1的坐标为 .5.(2012•玉林)如图,两块相同的三角板完全重合在一起,∠A=30°,AC=10,把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置,点C′在AC上,A′C′与AB相交于点D,则C′D= .
6.(2015年广东广州3分)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.三.解答题1.(2015•锦州)如图所示,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O为坐标原点,以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″,并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标. 2.(2012•莱芜)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC边的中点.将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°),得到△AB′C′(如图2).
(1)探究DB′与EC′的数量关系,并给予证明;
(2)当DB′∥AE时,试求旋转角α的度数.3.(2014•丹东)已知△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为21,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.
4.(2015年广东深圳9分)如图1,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.
(1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间;
(2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD;
(3)如图3,当AB和DE重合时,求证.
5.(2015年广东7分)如题图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长交BC于点G,连接AG.
(1)求证△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.6(内蒙古包头)在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图
(1)与
(2)是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长),若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图
(1)或
(2)加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图
(3)),当AP AC=14时,PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论.参考答案【变式训练1】【变式训练2】
(1)由点P的平移规律可得三角形ABC的各顶点向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到平移后的坐标,找出它的对应点A
1、B
1、C1,顺次连接A1B
1、B1C
1、C1A1,即得到平移后的图形;
(2)根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标.解
(1)平移后的图像如下图所示
(2)点A1的坐标是(3,6),点B1的坐标是(1,2),点C1的坐标是(7,3).【变式训练3】解
(1)∵∠PBE+∠ABQ=90°,∠PBE+∠PEB=90°,∴∠ABQ=∠PEB.又∵∠BPE=∠AQB=90°,∴△PBE∽△QAB.
(2)∵△PBE∽△QAB,∴=,∵QB=PB,∴=,即=,又∵∠ABE=∠BPE=90°,∴△PBE∽△BAE.
(3)点A能叠在直线EC上.由
(2)得,∠AEB=∠CEB,∴EC和AE重合.【变式训练4】(Ⅰ)根据直线y=﹣x+b必过矩形的中心,然后求得矩形的中心坐标为(6,3),代入解析式即可求得b值;(Ⅱ)假设存在ON平分∠CNM的情况,过O作OH⊥PM于H,解得OH=OC=6在直角三角形OPM中OP=12,从而求得∠OPM=30°,利用三角函数求得OM的长,从而求得DM的长;(Ⅲ)假设沿DE将矩形OABC折叠,点O落在边BC上O′处,连接PO′、OO′,得到△OPO′为等边三角形,从而得到∠OPD=30°,若设沿直线y=﹣x+a将矩形OABC折叠,点O恰好落在边BC上O′处,连接P′O′、OO′,则有P′O′=OP′=a,在Rt△OPD和Rt△OCO′中,利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠,点O恰好落在边BC上.解(Ⅰ)∵直线y=x+b必过矩形的中心,由题意得矩形的中心坐标为(6,3),∴3=×6+b,解得b=12.(Ⅱ)假设存在ON平分∠CNM的情况,过O作OH⊥PM于H,∵ON平分∠CNM,OC⊥BC,∴OH=OC=6由(Ⅰ)知OP=12,∴∠OPM=30°∴OM=OP•tan30°=4当y=0时,由x+12=0解得x=8,∴OD=8,∴DM=8﹣4.(Ⅲ)设沿直线y=x+a将矩形OABC折叠,点O恰好落在边BC上O′处连结PO′、OO′,则有P′O′=OP′=a由题意得CP′=a﹣6,∠OPD=∠CO′O在Rt△OPD中,tan∠OPD=在Rt△OCO′中,tan∠CO′O=,∴=,=,解得O′C=9在Rt△CP′O′中,由勾股定理得(a﹣6)2+92=a2解得a=,12﹣=,所以将直线y=﹣x+12沿y轴向下平移个单位得直线y=﹣x+,将矩形OABC沿直线y=﹣x+折叠,点O恰好落在边BC上. 专题训练﹒对接中考
一、选择题
1、答案D根据中心对称图形和轴对称图形的概念
2、答案D根据平移和旋转的概念
3、答案B根据折叠的性质
4、答案B根据中心对称图形和轴对称图形的概念
5、答案B根据中心对称图形的概念
6、答案C根据折叠的性质
7、答案D根据中心对称图形和轴对称图形的概念
8、答案C根据中心对称图形和轴对称图形的概念
9、答案D根据折叠的性质
10、答案D根据中心对称图形和轴对称图形的概念
二、填空题
1、答案40°根据旋转的性质
2、答案18根据平移的性质
3、答案72º根据旋转的性质
4、答案6π根据旋转的性质和弧长的计算公式
5、答案根据旋转的性质和扇形面积的计算公式
6、答案3根据平移的性质
三、解答题
1、答案解
(1)(1,-3);………………………………………………………………3分
(2)图形略;………………………………………………………………………8分
2、答案解
(1)BD=CF成立.理由∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°∵∠BAD=,∠CAF=,∴∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF.……………………………………………………………………(4分)
(2)
①证明设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF(已证),∴∠ABM=∠GCM.∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.……………………………………(7分)
②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中,AD=,∴AN=FN=.∵在等腰直角△ABC中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,BC=.Rt△FCN∽Rt△ABM,∴∴AM=.∴CM=AC-AM=4-=,.……(9分)∵△BMA∽△CMG,∴.∴.∴CG=.……………………………………(11分)∴在Rt△BGC中,.………………(12分)
3、答案解1∵正比例函数经过点A(2,4)∴2∵A(2,4),AB⊥轴于点B∴∵△ABO绕点A逆时针旋转得到△ADC∴∴C(6,2)∵当时,∴点C不在直线的图象上
4、答案
(1)画图(略)………………………………4分
(2)…………………………‥4分
5、答案解
(1)
①1.………………………………………………………………………(2分)
②.………………………………………………………………………(2分)
(2)联结AE,补全图形如图1所示.…………………………………………(1分)∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形,∠ABC=∠DEF=90°,AB=1,DE=2,∴BC=1,EF=2,∠DFE=∠ACB=45°.∴,,∠EFB=90°.∴,∴点A为DF的中点.………………………(1分)∴EA⊥DF,EA平分∠DEF.∴∠MAE=90°,∠AEF=45°,.∵∠MEB=∠AEF=45°,∴∠MEA=∠BEF.∴Rt△MAE∽Rt△BFE.……………………………………………………(1分)∴,∴.……………………………………………(1分)(第25题图1)DEFClABM(第25题图2)DEAFMlCBG∴,∴.……………………(1分)
(3)如图2,过点B作BE的垂线交直线EM于点G,联结AG.∵∠EBG=90°,∠BEM=45°,∴∠BGE=45°.∴BE=BG.…………………………………………………………………(1分)∵∠ABC=∠EBG=90°,∴∠ABG=∠CBE.……………………………(1分)又∵BA=BC,∴△ABG≌△CBE.………………………………………(1分)∴AG=CE=x,∠AGB=∠CEB.∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°,∴∠AGM=∠DEM,∴AG∥DE.…………………………………………(1分)∴.…………………………………………………………(1分)注第
(3)小题直接写出结果不得分
6.【答案】解
(1),.
(2)证明当α=135°时,由旋转可知∠D1AB=E1AC=135°.又∵AB=AC,AD1=AE1,∴△D1AB≌△△E1AC(SAS).∴BD1=CE1且∠D1BA=∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F,有∠BFA=∠CFP.∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE
1.
(3).课下作业
1、
8、解根据逆时针旋转OB的对应边为OD,OB与OD的夹角为90°,所以旋转角为90°,故选C
9、解由折叠和正方形的性质可知,,∴.又∵,∴.故结论
①正确.∵正方形ABCD的边长为12,BE=EC,∴.设,则,在中,由勾股定理,得,即,解得,.∴.∴.故结论
②正确.∵,∴是等腰三角形.易知不是等腰三角形,∴和不相似.故结论
③错误.∵,∴.故结论
④正确.综上所述,4个结论中,正确的有
①②④三个.故选C.
10、解如答图,连接,设与相交于点.则根据折叠和矩形的性质得,四边形是菱形,∴.∵,∴.∴.设,则.∵,∴,得.∴在中,.∴.故选B.二.填空题(共14小题)6解如答图,连接,∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴.∴要使最大,只要最大即可.根据题意,知当点到达点与重合时,最大.∵∠A=90°,,AD=3,∴,此时,.三.解答题
4、解
(1)∵开始时,,三角板以2cm/s的速度向右移动,∴当B与O重合的时候,三角板运动的时间为.
(2)如答图1,设AC与半圆相切于点H,连接OH,则.∵,∴.又∵,∴.∴.
(3)如答图2,连接,∵,∴.∵是直径,∴.∴.又∵.∴.∴.又∵,∴.∴,即.
5、解
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠的性质可知,AD=AF,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°,AB=AF.∴∠AFG=∠B.又∵AG=AG,∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG.设BG=FG=,则GC=∵E为CD的中点,∴CF=EF=DE=3,∴EG=,在中,由勾股定理,得,解得,∴BG=
2.
6、解
(1)△OFC能成为等腰直角三角形
①当F为BC的中点时,∵O点为AC的中点,∴OF∥AB∴CF=OF=∵AB=BC=5,∴BF=
②当B与F重合时,∵OF=OC=,∴BF=0
(2)OE=OF以图
(1)证明如下如图,连接OB,∵由
(1)的结论可知,BO=OC=,∵∠EOB=900-∠BOF=∠FOC,∠EBO=450=∠C,∴△OEB≌△OFC(ASA)∴OE=OF
(3)PE PF=14证明如下如图,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,∴∠EPM=∠FPN∵∠FMP=∠FNP=90°,∴△PNF∽△PME∴PM PN=PE PF∵△APM和△PNC为等腰三角形,∴△APM∽△PNC,∴PM PN=AP PC∵PA AC=14,∴PE PF=14如图,点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(3,0)、(3,-2),将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OAB
(1)画出旋转后的△OAB,并求点B的坐标;
(2)求旋转过程中点A所经过的路径的长度(结果保留π) A.6B.8C.10D.12 A.(6,1)B.(0,1)C.(0,﹣3)D.(6,﹣3) A.先向右平移5个单位,再向下平移1个单位 B.先向右平移5个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位 D.先向右平移4个单位,再向下平移3个单位 A.B.C.D. A.B.C.D.A.(,﹣)B.(﹣,)C.(2,﹣2)D.(,﹣) A.(﹣,﹣1)B.(﹣2,0)根据旋转的性质,旋转前后图形不发生任何变化,绕中心旋转180°,即是对应点绕旋转中心旋转180°,即可得出所要图形.解将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是.故选D.解根据题意,将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF,∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;又∵AB+BC+AC=8,∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.故选;C.
2、解∵四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,∴点A也先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,∴由图可知,A′坐标为(0,1).故选B.
3、解根据A的坐标是(0,2),点A′(5,﹣1),横坐标加5,纵坐标减3得出,故先向右平移5个单位,再向下平移3个单位,故选B.
4、解A、是利用图形的旋转得到的,故本选项错误;B、是利用图形的旋转和平移得到的,故本选项错误;C、是利用图形的平移得到的,故本选项正确;D、是利用图形的旋转得到的,故本选项错误.故选C.
5、解∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,∴∠ECN=75°,∵∠ECD=45°,∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°,∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠ONC=30°,设OC=a,则CN=2a,∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN,∴△CMN也是等腰直角三角形,设CM=MN=x,则由勾股定理得x2+x2=(2a)2,x=a,即CD=CM=a,∴==,故选C.
6、解连接OB,OB′,过点B′作B′E⊥x轴于E,根据题意得∠BOB′=105°,∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB,∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OB=OA=2,∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°,OB′=OB=2,∴OE=B′E=OB′•sin45°=2×=,∴点B′的坐标为(,﹣).故选A.
7、解∵A(,1),B(1,),∴tanα==,∴OA与x轴正半轴夹角为30°,OB与y轴正半轴夹角为30°,∴∠AOB=90°﹣30°﹣30°=30°,根据勾股定理,OA==2,OB==2,
①如图1,顺时针旋转时,∵150°+30°=180°,∴点A′、B关于原点O成中心对称,∴点A′(﹣1,﹣);
②如图2,逆时针旋转时,∵150°+30°=180°,∴点A′在x轴负半轴上,∴点A′的坐标是(﹣2,0).综上所述,点A′的坐标为(﹣1,﹣)或(﹣2,0).故选C.
1、解∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′,∴AA′=2cm,又∵AC=3cm,∴A′C=AC﹣AA′=1cm.故答案为1.
2、解∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,平移距离为2,∴AD∥BE,AD=BE=2,∴四边形ABED是平行四边形,∴四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8.故答案为8.
3、解∵A(1,0)转化为A1(2,a)横坐标增加了1,B(0,2)转化为B1(b,3)纵坐标增加了1,则a=0+1=1,b=0+1=1,故a+b=1+1=2.故答案为2.
4、解∵点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,∴﹣1+2=1,4﹣3=1,∴点P1的坐标为(1,1).故答案为(1,1).
5、解∵∠A=30°,AC=10,∠ABC=90°,∴∠C=60°,BC=BC′=AC=5,∴△BCC′是等边三角形,∴CC′=5,∵∠A′C′B=∠C′BC=60°,∴C′D∥BC,∴DC′是△ABC的中位线,∴DC′=BC=,故答案为.
1、解
(1)图中点O为所求;
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比等于21;
(3)△A″B″C″为所求;A″(6,0);B″(3,﹣2);C″(4,﹣4).
2、解
(1)DB′=EC′.理由如下∵AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC边的中点,∴AD=AE=AB,∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°),得到△AB′C′,∴∠B′AD=∠C′AE=α,AB′=AB,AC′=AC,∴AB′=AC′,在△B′AD和△C′AE中,∵,∴△B′AD≌△C′AE(SAS),∴DB′=EC′;
(2)∵DB′∥AE,∴∠B′DA=∠DAE=90°,在Rt△B′DA中,∵AD=AB=AB′,∴∠AB′D=30°,∴∠B′AD=90°﹣30°=60°,即旋转角α的度数为60°.
3、解
(1)如图,△A1B1C1即为所求,C1(2,﹣2);
(2)如图,△A2BC2即为所求,C2(1,0),△A2BC2的面积6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4=24﹣6﹣4﹣4=24﹣14=10.。