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中考必考知识点分章汇编第一章实数 ★重点★实数的有关概念及性质,实数的运算 ☆内容提要☆
一、重要概念 1数的分类及概念 数系表 说明“分类”的原则1相称不重、不漏 2有标准 2非负数正实数与零的统称表为x≥0 常见的非负数有 性质若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0 3倒数
①定义及表示法
②性质A.a≠1/aa≠±1;B.1/a中,a≠0;C.0<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D积为1 4相反数
①定义及表示法
②性质A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C和为0商为-1 5数轴
①定义“三要素”
②作用A直观地比较实数的大小;B明确体现绝对值意义;C建立点与实数的一一对应关系 6奇数、偶数、质数、合数正整数—自然数 定义及表示 奇数2n-1 偶数2nn为自然数 7绝对值
①定义两种 代数定义 几何定义数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离
②│a│≥0符号“││”是“非负数”的标志;
③数a的绝对值只有一个;
④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号
二、实数的运算
1.运算法则加、减、乘、除、乘方、开方
2.运算定律五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律
3.运算顺序A高级运算到低级运算;B同级运算从“左” 到“右”如5÷×5;C有括号时由“小”到“中”到“大”
三、应用举例略 附典型例题
1.已知a、b、x在数轴上的位置如下图,求证│x-a│+│x-b│ =b-a 2已知a-b=-2且ab0,a≠0,b≠0,判断a、b的符号第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算 ☆内容提要☆
一、重要概念 分类 1代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式单独 的一个数或字母也是代数式 整式和分式统称为有理式 2整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式 3单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式数字与字母的积—包括单独的一个数或字母 几个单项式的和,叫做多项式 说明
①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开
②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象划分代数式类别时,是从外形来看如, =x=│x│等 4系数与指数 区别与联系
①从位置上看;
②从表示的意义上看 5同类项及其合并 条件
①字母相同;
②相同字母的指数相同 合并依据乘法分配律 6根式 表示方根的代数式叫做根式 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式 注意
①从外形上判断;
②区别、是根式,但不是无理式是无理数 7算术平方根 ⑴正数a的正的平方根[a≥0—与“平方根”的区别]; ⑵算术平方根与绝对值
①联系都是非负数,=│a│
②区别│a│中,a为一切实数;中,a为非负数 8同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式 满足条件
①被开方数的因数是整数,因式是整式;
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式 把分母中的根号划去叫做分母有理化 9指数 ⑴—幂,乘方运算
①a>0时,>0;
②a<0时,>0n是偶数,<0n是奇数 ⑵零指数=1a≠0 负整指数=1/a≠0p是正整数
二、运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 ⑴基本性质=m≠0 ⑵符号法则 ⑶繁分式
①定义;
②化简方法两种 3整式运算法则去括号、添括号法则 4幂的运算性质
①·=;
②÷=;
③=;
④=;
⑤ 技巧 5乘法法则⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多 6乘法公式正、逆用 a+ba-b= a±b= 7除法法则⑴单÷单;⑵多÷单 8因式分解⑴定义;⑵方法A提公因式法;B公式法;C十字相乘法;D分组分解法;E求根公式法 9算术根的性质=;;a≥0b≥0;a≥0b>0正用、逆用 10根式运算法则⑴加法法则合并同类二次根式;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化A.;B.;C. 11科学记数法1≤a<10n是整数=
三、应用举例略
四、数式综合运算略第三章统计初步 ★重点★ ☆内容提要☆
一、重要概念 1总体考察对象的全体 2个体总体中每一个考察对象 3样本从总体中抽出的一部分个体 4样本容量样本中个体的数目 5众数一组数据中,出现次数最多的数据 6中位数将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数据的平均数
二、计算方法 1样本平均数⑴;⑵若,,…,则a—常数,,,…,接近较整的常数a;⑶加权平均数;⑷平均数是刻划数据的集中趋势集中位置的特征数通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确 2样本方差⑴;⑵若…则a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数;若、、…、较“小”较“整”,则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度波动大小的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差 3样本标准差
三、应用举例略第四章直线形 ★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质 ☆内容提要☆
一、直线、相交线、平行线 1线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析 2线段的中点及表示 3直线、线段的基本性质用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边” 4两点间的距离三个距离点-点;点-线;线-线 5角平角、周角、直角、锐角、钝角 6互为余角、互为补角及表示方法 7角的平分线及其表示 8垂线及基本性质利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边” 9对顶角及性质 10平行线及判定与性质互逆二者的区别与联系 11常用定理
①同平行于一条直线的两条直线平行传递性;
②同垂直于一条直线的两条直线平行 12定义、命题、命题的组成 13公理、定理 14逆命题
二、三角形 分类⑴按边分; ⑵按角分 1定义包括内、外角 2三角形的边角关系⑴角与角
①内角和及推论;
②外角和;
③n边形内角和;
④n边形外角和⑵边与边三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边⑶角与边在同一三角形中, 3三角形的主要线段 讨论
①定义
②××线的交点—三角形的×心
③性质
①高线
②中线
③角平分线
④中垂线
⑤中位线 ⑴一般三角形⑵特殊三角形直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4特殊三角形直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质 5全等三角形 ⑴一般三角形全等的判定SAS、ASA、AAS、SSS ⑵特殊三角形全等的判定
①一般方法
②专用方法 6三角形的面积 ⑴一般计算公式⑵性质等底等高的三角形面积相等 7重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8证明方法 ⑴直接证法综合法、分析法 ⑵间接证法—反证法
①反设
②归谬
③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系延结法、截余法 ⑹证面积关系将面积表示出来
三、四边形 分类表 1一般性质角 ⑴内角和360° ⑵顺次连结各边中点得平行四边形 推论1顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形 推论2顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形 ⑶外角和360° 2特殊四边形 ⑴研究它们的一般方法 ⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤四边形→平行四边形→矩形→正方形 ┗→菱形——↑ ⑷对角线的纽带作用 3对称图形 ⑴轴对称定义及性质;⑵中心对称定义及性质 4有关定理
①平行线等分线段定理及其推论
1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等如,找下图中面积相等的三角形 5重要辅助线
①常连结四边形的对角线;
②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形 6作图任意等分线段
四、应用举例略第五章方程组 ★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题特别是行程、工程问题 ☆内容提要☆
一、基本概念 1方程、方程的解根、方程组的解、解方程组
2.分类
二、解方程的依据—等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bcc≠0
三、解法 1一元一次方程的解法去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解
2.元一次方程组的解法⑴基本思想“消元”⑵方法
①代入法
②加减法
四、一元二次方程 1定义及一般形式 2解法⑴直接开平方法注意特征 ⑵配方法注意步骤—推倒求根公式 ⑶公式法 ⑷因式分解法特征左边=0 3根的判别式 4根与系数顶的关系 逆定理若,则以为根的一元二次方程是 5常用等式
五、可化为一元二次方程的方程 1分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想 ⑶基本解法
①去分母法
②换元法如, ⑷验根及方法 2无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想 ⑶基本解法
①乘方法注意技巧!!
②换元法例,⑷验根及方法 3简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解
六、列方程组解应用题 一概述 列方程组解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面其具体步骤是 ⑴审题理解题意弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么 ⑵设元未知数
①直接未知数
②间接未知数往往二者兼用一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量 ⑷寻找相等关系有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出,列方程一般地,未知数个数与方程个数是相同的 ⑸解方程及检验 ⑹答案 综上所述,列方程组解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题设元、列方程,在由数学问题的解决而导致实际问题的解决列方程、写出答案在这个过程中,列方程起着承前启后的作用因此,列方程是解应用题的关键 二常用的相等关系
1.行程问题匀速运动 基本关系s=vt ⑴相遇问题同时出发 +=; ⑵追及问题同时出发 若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则 ⑶水中航行;
2.配料问题溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3增长率问题 4工程问题基本关系工作量=工作效率×工作时间常把工作量看着单位“1” 5几何问题常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等 三注意语言与解析式的互化 如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为到”、“同时”、“扩大为到”、“扩大了”、…… 又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为100a+10b+c,而不是abc 四注意从语言叙述中写出相等关系 如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y又如,x与y的差为3,则x-y=3五注意单位换算 如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等
七、应用举例略第六章一元一次不等式组 ★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆内容提要☆
1.定义a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b
2.一元一次不等式ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠ba≠0
3.一元一次不等式组
4.不等式的性质⑴ab←→a+cb+c ⑵ab←→acbcc0 ⑶ab←→ac ⑷传递性abbc→ac ⑸abcd→a+cb+d 5一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组在数轴上表示解集 7应用举例略第七章相似形 ★重点★相似三角形的判定和性质 ☆内容提要☆
一、本章的两套定理 第一套比例的有关性质 涉及概念
①第四比例项
②比例中项
③比的前项、后项,比的内项、外项
④黄金分割等 第二套 注意
①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似比例线段→平行
二、相似三角形性质 1对应线段…;2对应周长…;3对应面积…
三、相关作图
①作第四比例项;
②作比例中项
四、证解题规律、辅助线 1“等积”变“比例”,“比例”找“相似” 2找相似找不到,找中间比方法将等式左右两边的比表示出来⑴ ⑵ ⑶ 3添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径 4对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k 5对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形或基本图形“抽”出来的办法处理
五、应用举例略第八章函数及其图象 ★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质 ☆内容提要☆
一、平面直角坐标系 1各象限内点的坐标的特点 2坐标轴上点的坐标的特点 3关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数 1表示方法⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法 2确定自变量取值范围的原则⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有 意义 3画函数图象⑴列表;⑵描点;⑶连线
三、几种特殊函数 定义→图象→性质
1.正比例函数 ⑴定义y=kxk≠0或y/x=k ⑵图象直线过原点 ⑶性质
①k0,…
②k0,…
2.一次函数 ⑴定义y=kx+bk≠0 ⑵图象直线过点0b—与y轴的交点和-b/k0—与x轴的交点 ⑶性质
①k0…
②k0… ⑷图象的四种情况
3.二次函数 ⑴定义 特殊地,都是二次函数 ⑵图象抛物线用描点法画出先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点用配方法变为,则顶点为hk;对称轴为直线x=h;a0时,开口向上;a0时,开口向下 ⑶性质a0时,在对称轴左侧…,右侧…;a0时,在对称轴左侧…,右侧… 4反比例函数 ⑴定义或xy=kk≠0 ⑵图象双曲线两支—用描点法画出 ⑶性质
①k0时,图象位于…,y随x…;
②k0时,图象位于…,y随x…;
③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴
四、重要解题方法 1用待定系数法求解析式列方程[组]求解对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标如下图 2利用图象一次正比例函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号
六、应用举例略第九章解直角三角形 ★重点★解直角三角形 ☆内容提要☆
一、三角函数 1定义在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=
2.特殊角的三角函数值 0°30°45°60°90° sinα cosα tgα/ ctgα/
3.互余两角的三角函数关系sin90°-α=cosα;…
4.三角函数值随角度变化的关系 5查三角函数表
二、解直角三角形
1.定义已知边和角两个,其中必有一边→所有未知的边和角
2.依据
①边的关系
②角的关系A+B=90°
③边角关系三角函数的定义 注意尽量避免使用中间数据和除法
三、对实际问题的处理
1.俯、仰角2方位角、象限角3坡度 4在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决
四、应用举例略第十章圆 ★重点★
①圆的重要性质;
②直线与圆、圆与圆的位置关系;
③与圆有关的角的定理;
④与圆有关的比例线段定理 ☆内容提要☆
一、圆的基本性质 1圆的定义两种 2有关概念弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆 3“三点定圆”定理 4垂径定理及其推论 5“等对等”定理及其推论
5.与圆有关的角⑴圆心角定义等对等定理 ⑵圆周角定义圆周角定理,与圆心角的关系 ⑶弦切角定义弦切角定理
二、直线和圆的位置关系 1三种位置及判定与性质 2切线的性质重点 3切线的判定定理重点圆的切线的判定有⑴…⑵… 4切线长定理
三、圆换圆的位置关系 1五种位置关系及判定与性质重点相切 2相切交两圆连心线的性质定理 3两圆的公切线⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段 1相交弦定理 2切割线定理
五、与和正多边形 1圆的内接、外切多边形三角形、四边形 2三角形的外接圆、内切圆及性质 3圆的外切四边形、内接四边形的性质 4正多边形及计算 中心角 内角的一半右图 解Rt△OAM可求出相关元素,、等
六、一组计算公式 1圆周长公式 2圆面积公式 3扇形面积公式 4弧长公式 5弓形面积的计算方法 6圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、点的轨迹 六条基本轨迹
八、有关作图 1作三角形的外接圆、内切圆 2平分已知弧 3作已知两线段的比例中项 4等分圆周
4、8;
6、3等分
九、基本图形
十、重要辅助线 1作半径 2见弦往往作弦心距 3见直径往往作直径上的圆周角 4切点圆心莫忘连 5两圆相切公切线连心线 6两圆相交公共弦。