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中考总复习特殊三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点
一、等腰三角形
1.等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质 1具有三角形的一切性质； 2两底角相等等边对等角； 3顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合三线合一； 4等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定 1如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等等角对等边； 2三个角都相等的三角形是等边三角形； 3有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释 1腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； 2等边三角形是特殊的等腰三角形．考点
二、直角三角形
1.直角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质 1直角三角形中两锐角互余； 2直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； 3在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； 4勾股定理直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； 5勾股定理逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； 6直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释
（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定 1两内角互余的三角形是直角三角形； 2一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； 3如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型
一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°且AB=1，BC=9，CD=6，DE=
8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为120°则每个外角均为60°可通过构造等边三角形来求边长及面积．【答案与解析】延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC为等边三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN均为等边三角形．∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________． 【答案】.2．已知:如图菱形ABCD中E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF． 1求证:AE=AF． 2若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证△AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】1∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD∠B=∠D， 又∵BE=DF，∴≌． ∴AE=AF． 2连接AC∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD， ∵AB=BC=CD=DA∴△ABC和△ACD都是等边三角形． ∴． ∴． 又∵AE=AF∴是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三【高清课堂等腰三角形与直角三角形例4】【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型
二、直角三角形3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点． 求证1△ACE≌△BCD；2． 【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与解析】1∵， ∴， 即． ∵， ∴△BCD≌△ACE． 2∵， ∴． ∵△BCD≌△ACE， ∴， ∴． ∴．【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由． 【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下 ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB． ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB． ∴△ACE≌△DCB（S.A.S.）． ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB． ∵∠AFC＝∠DFH， ∴∠DHF＝∠ACD＝90°， ∴AE⊥BD．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三【变式】.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.【答案】.类型
三、综合运用
5.（2012•牡丹江）如图
①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下如图
①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．又∵，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图
②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明
（2）填空若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，
（2）中分情况讨论是解题的关键．【答案与解析】
（1）如图
②，PE=PF+CH．证明如下∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，∵=+，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况
①P为底边BC上一点，如图
①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图
②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，
（1）中的其他条件不变，你在
（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 【思路点拨】根据条件判断FH=FC要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】
（1）FH与FC的数量关系是． 延长交于点G， 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG∥CB． ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且． ∴DG为的中位线． ∴． ∵AC=BC， ∴DC=DG． ∴DC-DE=DG-DF． 即EC=FG． ∵∠EDF=90°，， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1=∠2． ∵与都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°． ∴∠CEF=∠FGH=135°． ∴△CEF≌△FGH． ∴FH=FC．
（2）FH与FC仍然相等．【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三【高清课堂等腰三角形与直角三角形例7】【变式】如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点BCD在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论
①tan∠AEC=;
②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;
③BM⊥DM;
④BM=DM.正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.。
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