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2013中考数学压轴题矩形问题精选解析三例5如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A(5,0),C(0,3).射线y=kx交折线A-B-C于点P,点A关于OP的对称点为A′.
(1)当点A′恰好在CB边上时,求CA′的长及k的值;
(2)若经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点,求k的值及该抛物线的解析式;
(3)如图2,当点P在AB边上,点A′在CB上方时,连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F.是否存在实数k使△A′EF≌△BPF?若存在,求出k值;若不存在,说明理由;
(4)以OP为直径作⊙M,则⊙M与矩形OABC最多有_________个公共点,直接写出公共点个数最多时k的取值范围.解析
(1)当点A′恰好在CB边上时,连接A′O、A′P,如图1∵OA′=OA=5,OC=3∴CA′===4∴A′B=CB-CA′=5-4=1设PA=x,则A′P=PA=x,BP=3-x在Rt△A′PB中,A′B2+BP2=A′P2∴12+3-x2=x2,解得x=,∴P(5,)∴k==
(2)连接A′O、A′P、A′A,设A′A交射线OP于点D,如图2则OP垂直平分A′A∵经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点∴由抛物线的对称性可知A′O=A′A=2A′D∴∠A′OD=30°,∴∠AOD=∠A′OD=30°∴PA=EQ\F3OA=EQ\F53,∴P(5,EQ\F53)∴k==EQ\F3可得∠A′OA=60°,∴△A′OA是等边三角形∴点A′的坐标为(,EQ\F52)设抛物线的解析式为为y=ax-2+EQ\F52把O(0,0)代入上式,得0=a0-2+EQ\F52解得a=EQ\F25∴抛物线的解析式为为y=-EQ\F25x-2+EQ\F52
(3)假设存在实数k,使△A′EF≌△BPF,如图3∵∠A′=∠B=90°,∠A′FE=∠BFP∴A′E=BP,A′F=BF设A′E=BP=a,A′F=BF=b则A′P=PA=3-a,EF=PF=3-a-b,OE=5-aCE=5-3-a-b-b=2+a在Rt△OCE中,OC2+CE2=OE2∴32+2+a2=5-a2,解得a=∴PA=3-=,∴P(5,)∴k==
(4)以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点提示∵∠OAP=90°∴当点P在AB边上时,⊙M经过O、A、P三点,如图4∵∠COP<90°,∴⊙M必与OC边交于另一点又∵⊙M与BC边最多有2个公共点∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时,情况亦然
①当⊙M与BC边相切于点D时,连接DM并延长交OA于E,如图5则MD⊥BC,∴DE∥AB∥OC,∴DE=OC=3∵M是OP的中点,∴E是OA的中点∴ME=PA设PA=x,则ME=x,DM=OP=∵DM+ME=DE,∴+x=3解得x=,∴P(5,)∴k==
②当⊙M与AB边相切于点E时,连接EM并延长交OC于D,如图6设CP=x,则DM=x,ME=OP=∵DM+ME=DE,∴x+=5解得x=,∴P(,3)∴k==又∵当点P与点B重合时,⊙M经过O、A、B、C四点,此时k=∴当⊙M与矩形OABC有6个公共点时,k的取值范围是<k<且k≠例6如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′
(1)求点A在旋转过程中所走过的路径的长;
(2)求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积;
(3)若点P为线段BC上一点,且使得∠APA′=60°,则满足条件的点P有几个?请你选择一个点P求△APA′的面积.解析
(1)易知点A的路径是以O为圆心、以OA长为半径、圆心角为90°的一段圆弧∵AB=1,BC=,∴AC=2,OA=1∴点A在旋转过程中所走过的路径的长为=
(2)如图,将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90°,扫过的面积是图中阴影部分的面积∵AB=1,A′D′=BC=,∴A′G=DG=BE=C′E=EQ\F-12∵AB=1,AD=∴∠ADB=∠DBC=30°,∠OFC=∠A′C′D′=∠BDC=60°∴∠A′OD=∠BOC′=30°∴S阴影=S⊙O-2S扇形BOD-2S△BOE=S⊙O-2S扇形BOD+4S△BOE=π×12-2×+4××EQ\F-12×=π+EQ\F-12(cm2)
(3)满足条件的点P有2个提示在BC上取点P1,使BP1=EQ\F3则∠AP1B=60°,P1H=-EQ\F3-EQ\F-12=EQ\F6+A′H=-EQ\F-12=EQ\F+12∴tan∠A′P1H==,∴∠A′P1H=60°∴∠AP1A′=60°在BC上取点P2,使P2H=A′G=EQ\F-12则△A′P2H≌△AA′G,∴A′P2=A′A==BP2=EQ\F+12-EQ\F-12=1=AB,∴AP2=∴AP2=A′P2=A′A,∴△AP2A′是等边三角形∴∠AP2A′=60°又∵△AP2A′的外接圆与BC最多有2个交点∴满足条件的点P有2个若求△AP1A′的面积∵S梯形ABHA′=×1+EQ\F+12×EQ\F+12=EQ\F2+,S△ABP1=×1×EQ\F3=EQ\F6S△A′P1H=×EQ\F6+×EQ\F+12=EQ\F6+∴S△AP1A′=S梯形ABHA′-S△ABP1-S△A′P1H=EQ\F6+若求△AP2A′的面积则S△AP2A′=××EQ\F2×=EQ\F2BACxOy备用图BACxOyPA′图1BACxOyPA′图2EPFPBACxOyPA′图1BACxOyPA′图2DBACxOyPA′图3EPFPBACxOyP图4MBACxOyP图5DPMEPBACxOyE图6DPPPMDBACOA′B′C′D′DBAOCC′D′A′B′EFOGDBACC′D′A′B′EP1P2HG。