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点直线与圆的位置关系一.选择题
1.(2016·河南三门峡·二模)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则的长为A.πB.2πC.3πD.5π答案B
2.(2016·河南三门峡·一模)如图,⊙O的半径为1,正方形ABCD的对角线长为6,OA=4.若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A.3次B.4次C.5次D.6次答案B
3.(2016·湖南省岳阳市十二校联考·一模)如下图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.下面四个结论
①ED是⊙O的切线;
②BC=2OE;
③△BOD为等边三角形;
④△EOD∽△CAD正确的是( )A.
①②B.
②④C.
①②④D.
①②③④【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.【分析】如图,通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°,易证得ED是⊙O的切线;证得OE是△ABC的中位线,证得BC=2OE,由OE∥BC,证得∠AEO=∠C,通过三角形全等证得∠DEO=∠C,∠ODE=∠OAE=90°,从而∠ODE=∠ADC=90°,从而证得△EOD∽△CAD.【解答】证明如图,连接OD.∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.在△AOE与△DOE中,,∴△AOE≌△DOE(SSS),∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.又∵OD是⊙O的半径,∴ED是⊙O的切线;∵AB是直径,∴AD⊥BC,∴∠DAE+∠C=90°,∵AE=DE,∴∠DAE=∠ADE,∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC=∠C,∴DE=EC,∴AE=EC,∵OA=OB,∴OE∥BC,BC=2OE,∴∠AEO=∠C,∵△AOE≌△DOE,∴∠DEO=∠C,∠ODE=∠OAE=90°,∴∠ODE=ADC=90°,∴△EOD∽△CAD.∴正确的
①②④,故选C.【点评】本题考查了切线的判定,三角形全等的判定和性质,平行线的判定和性质以及三角形相似的判定等,熟练掌握性质定理是解题的关键.
4.(2016·黑龙江大庆·一模)下列命题
①等腰三角形的角平分线平分对边;
②对角线垂直且相等的四边形是正方形;
③正六边形的边心距等于它的边长;
④过圆外一点作圆的两条切线,其切线长相等.其中真命题有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个答案A
5.(2016·黑龙江齐齐哈尔·一模)如图,⊙O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与⊙O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为A.B.C.D.答案D
6.2016·浙江杭州萧山区·模拟在平面直角坐标系xOy中,经过点(sin45°,cos30°)的直线,与以原点为圆心,2为半径的圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.以上三者都有可能【考点】直线与圆的位置关系;坐标与图形性质;特殊角的三角函数值.【分析】设直线经过的点为A,若点A在圆内则直线和圆一定相交;若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离,所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择.【解答】解设直线经过的点为A,∵点A的坐标为(sin45°,cos30°),∴OA==,∵圆的半径为2,∴OA<2,∴点A在圆内,∴直线和圆一定相交,故选A.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用,判定点A和圆的位置关系是解题关键.
7.(2016青岛一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点C为圆心,4为半径的⊙C与AB相切于点D,交CA于E,交CB于F,则图中阴影部分的面积为( )A.B.C.16﹣4πD.16﹣2π【考点】扇形面积的计算;切线的性质.【分析】利用切线的性质以及直角三角形的性质得出DC、BC的长,再利用勾股定理得出AC的长,进而得出答案.【解答】解连接CD,∵⊙C与AB相切于点D,∴∠CDB=90°,由题意可得DC=4,则BC=2×4=8,设AC=x,则AB=2x,故x2+82=(2x)2,解得x=,∴S△ABC=××8=,故图中阴影部分的面积为﹣S扇形CEF=﹣=﹣4π.故选A.
8.(2016泰安一模)如图,AB切⊙O于点B,OA=2,AB=3,弦BC∥OA,则劣弧BC的弧长为( )A.B.C.πD.【考点】弧长的计算;切线的性质;特殊角的三角函数值.【专题】计算题;压轴题.【分析】连OB,OC,由AB切⊙O于点B,根据切线的性质得到OB⊥AB,在Rt△OBA中,OA=2,AB=3,利用三角函数求出∠BOA=60°,同时得到OB=OA=,又根据平行线的性质得到∠BOA=∠CBO=60°,于是有∠BOC=60°,最后根据弧长公式计算出劣弧BC的长.【解答】解连OB,OC,如图,∵AB切⊙O于点B,∴OB⊥AB,在Rt△OBA中,OA=2,AB=3,sin∠BOA===,∴∠BOA=60°,∴OB=OA=,又∵弦BC∥OA,∴∠BOA=∠CBO=60°,∴△OBC为等边三角形,即∠BOC=60°,∴劣弧BC的弧长==.故选A.
9.2016·重庆铜梁巴川·一模)如图,已知AB是⊙O的切线,点A为切点,连接OB交⊙O于点C,∠B=38°,点D是⊙O上一点,连接CD,AD.则∠D等于( )A.76°B.38°C.30°D.26°【分析】先根据切线的性质得到∠OAB=90°,再利用互余计算出∠AOB=52°,然后根据圆周角定理求解.【解答】解∵AB是⊙O的切线,∴OA⊥AB,∴∠OAB=90°,∵∠B=38°,∴∠AOB=90°﹣38°=52°,∴∠D=∠AOB=26°.故选D.
10.2016·山东枣庄·模拟如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C的半径为( )A.
2.3B.
2.4C.
2.5D.
2.6【考点】切线的性质;勾股定理的逆定理.【分析】首先根据题意作图,由AB是⊙C的切线,即可得CD⊥AB,又由在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,根据勾股定理求得AB的长,然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD,即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长.【解答】解在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,如图设切点为D,连接CD,∵AB是⊙C的切线,∴CD⊥AB,∵S△ABC=AC•BC=AB•CD,∴AC•BC=AB•CD,即CD===,∴⊙C的半径为,故选B.【点评】此题考查了圆的切线的性质,勾股定理,以及直角三角形斜边上的高的求解方法.此题难度不大,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用.
11.(2016·江苏常熟·一模)⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆心O到直线l的距离d=3,而⊙O的半径R=4.又因为d<R,则直线和圆相交.【解答】解∵圆心O到直线l的距离d=3,⊙O的半径R=4,则d<R,∴直线和圆相交.故选A.【点评】考查直线与圆位置关系的判定.要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系.
12.(2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试)已知⊙O是以坐标原点O为圆心,5为半径的圆,点M的坐标为(﹣3,4),则点M与⊙O的位置关系为( )A.M在⊙O上B.M在⊙O内C.M在⊙O外D.M在⊙O右上方答案A
13.(2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷)若与相交于两点,且圆心距cm,则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径?…………………(▲)(A)1cm、2cm;(B)2cm、3cm;(C)10cm、15cm;(D)2cm、5cm.答案D
14.(2016·广东东莞·联考)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式,进而得出函数是二次函数,当x=﹣=2时,S取到最小值为=0,即可得出图象.【解答】解∵A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,∴AO=2,OP=x,则AP=2﹣x,∴tan60°==,解得AB=(2﹣x)=﹣x+2,∴S△ABP=×PA×AB=(2﹣x)••(﹣x+2)=x2﹣2x+2,故此函数为二次函数,∵a=>0,∴当x=﹣=2时,S取到最小值为=0,根据图象得出只有D符合要求.故选D.【点评】此题主要考查了动点函数的图象,根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键.二.填空题
1.(2016·吉林长春朝阳区·一模)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,连结OC,过点C的切线交BA的延长线于点D,若OC=CD=2,则的长是 .(结果保留π)【考点】切线的性质;弧长的计算.【分析】根据切线的性质和OC=CD证得△OCD是等腰直角三角形,证得∠COB=135°,然后根据弧长公式求得即可.【解答】解∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∵OC=CD=2,∴△OCD是等腰直角三角形,∴∠COD=45°,∴∠COB=135°,∴的长==.故答案为.【点评】本题考查了切线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,弧长的计算等,切线的性质的应用是解题的关键.
2.(2016·河北石家庄·一模)如图,P是双曲线y=(x>0)的一个分支上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=3相切时,点P的坐标为 (1,4)或(2,2) .【考点】反比例函数综合题.【分析】利用切线的性质以及反比例函数的性质即可得出,P点的坐标应该有两个求出即可;【解答】解
(1)设点P的坐标为(x,y),∵P是双曲线y=(x>0)的一个分支上的一点,∴xy=k=4,∵⊙P与直线y=3相切,∴p点纵坐标为2,∴p点横坐标为2,∵⊙P′与直线y=3相切,∴p点纵坐标为4,∴p点横坐标为1,∴x=1或2,P的坐标(1,4)或(2,2);故答案为(1,4)或(2,2);【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及切线的性质和直线与圆的位置关系,利用数形结合解决问题是解题关键.
3.(2016·黑龙江齐齐哈尔·一模)若圆锥的主视图为等腰直角三角形,底面半径为1,则圆锥侧面积为____________.答案
4.2016·山东枣庄·模拟小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上,此时,光盘与AB,CD分别相切于点N,M.现从如图所示的位置开始,将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时,光盘的圆心经过的距离是 .【考点】切线的性质;轨迹.【专题】应用题;压轴题.【分析】根据切线的性质得到OH=PH,根据锐角三角函数求出PH的长,得到答案.【解答】解如图,当圆心O移动到点P的位置时,光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切,切点为Q,∵ON⊥AB,PQ⊥AB,∴ON∥PQ,∵ON=PQ,∴OH=PH,在Rt△PHQ中,∠P=∠A=30°,PQ=1,∴PH=,则OP=,故答案为.
5.2016·上海浦东·模拟已知⊙O
1、⊙O2的半径长分别为2和R,如果⊙O1与⊙O2相切,且两圆的圆心距d=3,则R的值为1或5【点评】本题考查的是直线与圆相切的知识,掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.
6.(2016·江苏丹阳市丹北片·一模)如图,已知⊙P的半径为1,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为.答案(0,-1)
7.(2016·江苏丹阳市丹北片·一模)如图是一块学生用直角三角板,其中∠A′=30°,三角板的边框为透明塑料制成内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等.将直径为4cm的⊙O移向三角板,三角板的内ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径,它的外△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切如图2,则边B′C′的长为cm.答案3+
8.(2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试)如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC= (填度数).答案130°
9.(2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷)在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,点P是与圆C不重合的点,给出如下定义若点为射线CP上一点,满足,则称点为点P关于⊙C的反演点.如图为点P及其关于⊙C的反演点的示意图.写出点M,0关于以原点O为圆心,1为半径的⊙O的反演点的坐标▲.答案(2,0);三.解答题
1.(2016·河南洛阳·一模)(9分)如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作☉A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作A.B的平行线EF交OA于点F,连接AF,BF,DF.l求证△ABC≌△ABF;2填空
①当∠CAB=°时,四边形ADFE为菱形;
②在
①的条件下,BC=cm时,四边形ADFE的面积是6cm
2.
(1)证明∵EF∥AB,∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,∵∠E=∠EFA,∴∠FAB=∠CAB,…………………………………………………………………………..3在△ABC和△ABF中,∴△ABC≌△ABFSAS;…………………………….…….5
(2)
①60°,
②6………………………………………………………….
92.(2016·辽宁丹东七中·一模)(10分)如图,为半圆的直径,点C在半圆上,过点作的平行线交于点,交过点的直线于点,且.
(1)求证是半圆O的切线;
(2)若,,求的长
(1)证明∵为半圆的直径,∴又∵∥,∴,∴.∵,∴.∴半径OA⊥AD于点A,∴是半圆O的切线.
(2)解∵在⊙O中,于E,∴.在中,,.∵,∴∽∴∴∴
3.(2016·湖南湘潭·一模)(本小题10分)如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.
(1)求证是的切线;
(2)求证;
(3)点是弧AB的中点,交于点,若,求MN·MC的值.解
(1)∵,又∵.又∵是的直径,,,即,而是的半径,是的切线.
(2)∵,,又∵,.
(3)连接,∵点是弧AB的中点,,而,,,∴MN·MC=BM2,又∵是的直径,AM=BM,.∵,∴MN·MC=BM2=
84.(2016·河大附中·一模)本题满分9分如图1,线段AB=4,以线段AB为直径画☉O,C为☉O上的动点,连接OC,过点A作☉O的切线与BC的延长线交于点D,E为AD的中点,连接CE.1求证CE是☉O的切线;第1题2
①当CE=时,四边形AOCE为正方形?
②当CE=时,△CDE为等边三角形时?解
(1)连结AC、OE∵AB为直径∴∠ACB=∠ACD=90°∵E为AD中点∴EA=EC∵OC=OAOE=OC∴△OCE≌△OAE∴∠OCE=∠OAE=90°∴CE是☉O的切线
(2)
①2
②
5.(2016·黑龙江大庆·一模)(本题9分)如图,直径为10的半圆O,tan∠DBC=,∠BCD的平分线交⊙O于F,E为CF延长线上一点,且∠EBF=∠GBF.
(1)求证BE为⊙O切线;
(2)求证;
(3)求OG的值.答案证明
(1)由同弧所对的圆周角相等得∠FBD=∠DCF,又∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF,已知∠EBF=∠GBF,∴∠EBF=∠∠BCF,∵BC为⊙O直径,∴∠BFC=90°,∴∠FBC+∠FCB=90°,∴∠FBC+∠EBF=90°,∴BE⊥BC,∴BE为⊙O切线;3分
(2)证明由
(1)知∠BFC=∠EBC=90°,∠EBF=∠ECB,∴△BEF∽△CEB,∴,又∠EBF=∠GBF,BF⊥EG,∴△BEF≌△BGF,∴BE=BG,EF=FG,∴;6分
(3)如图,过G作GH⊥BC于H,由已知CF平分∠BCD得GH=GD,又由tan∠DBC=得sin∠DBC=,∵BC=10,∴BD=8,BG=BD-GD=8-GD,∴,∴GD=GH=3,BG=5,BH=4,∵BC=10,∴OH=OB-BH=1,在Rt△OGH中,由勾股定理得OG=.9分
6.(2016·湖北襄阳·一模)(本题满分7分)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE·PO.
(1)求证PC是⊙O的切线;
(2)若OE︰EA=1︰2,PA=6,求⊙O的半径;答案
(1)连结OC.∵PC2=PE·PO,∴.∠P=∠P.∴△PCE∽△POC,…………………………2分∴∠PEC=∠PCO.又∵CD⊥AB,∴∠PEC=90°,∴∠PCO=90°.…………………………3分∴PC是⊙O的切线.…………………………4分
(2)设OE=.∵OE︰EA=1︰2,EA=,OA=OC=,∴OP=+
6.又∵CE是高,∴Rt△OCE∽Rt△OPC.………………5分∴OC2=OE·OP.即………………………6分∴,(不合题意,舍去).故OA=
3.…………………………7分
7.2016·浙江丽水·模拟(本题8分)已知如图,⊙O的半径OC垂直弦AB于点H,连接BC,过点A作弦AE∥BC,过点C作CD∥BA交EA延长线于点D,延长CO交AE于点F.
(1)求证CD为⊙O的切线;
(2)若BC=10,AB=16,求OF的长.解
(1)∵OC⊥AB,AB∥CD∴OC⊥DC.∴∠DCF=Rt∠.∴CD是⊙O的切线.
(2)连结B
0.设OB=x∵直径AB=16OC⊥AB∴HA=BH=
8.∵BC=10∴CH=
6.∴OH=x-
6.由勾股定理得解得∵CB∥AE∴∠CBA=∠BAE,∠HCB=∠HFA又∵AH=BH△CHB≌△FHA∴CF=2CH=12∴OF=CF-OC=12-.
8.2016·浙江金华东区·4月诊断检测(本题满分10分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,过点D作⊙O的切线交BC于E,连结DE交OC于点F,OF=CF,连结OD、OE.
(1)求证△ODE≌△OBE;
(2)求证四边形ODCE为平行四边形;
(3)求tan∠ACO的值.答案
(1)略(4分);
(2)略(4分);
(3)(2分)
9.(2016泰安一模)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证AP是⊙O的切线;
(2)若OC=CP,AB=3,求CD的长.【考点】切线的判定与性质.【分析】
(1)先由圆周角定理得出∠BAC=90°,再由斜边上的中线性质得出AE=CD=CE=DE,由CD是切线得出CD⊥OC,即可得出OA⊥AP,周长结论;
(2)先证明△AOC是等边三角形,得出∠ACO=60°,再在Rt△BAC和Rt△ACD中,运用锐角三角函数即可得出结果.【解答】
(1)证明连结AO,AC;如图所示∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠CAD=90°,∵E是CD的中点,∴AE=CD=CE=DE,∴∠ECA=∠EAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC,∴∠ECA+∠OCA=90°,∴∠EAC+∠OAC=90°,∴OA⊥AP,∵A是⊙O上一点,∴AP是⊙O的切线;
(2)解由
(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,∴sinP==;∴∠P=30°,∴∠AOP=60°,∵OC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠ACO=60°,在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=3,∠ACO=60°,∴AC===3,又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,∴CD===2.
10.(2016枣庄41中一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙P的圆心P为(﹣3,a),⊙P与y轴相切于点C.直线y=﹣x被⊙P截得的线段AB长为4,则过点P的双曲线的解析式为 y=﹣ .【考点】切线的性质;待定系数法求反比例函数解析式;垂径定理.【专题】计算题.【分析】作PH⊥x轴于H,交直线y=﹣x于E,作PD⊥AB于D,连结PC、PA,如图,根据切线的性质得PC⊥y轴,则PC=PA=OH=3,再根据垂径定理,由PD⊥AB得AD=BD=AB=2,则可根据勾股定理计算出PD=1,接着利用直线y=﹣x为第
二、四象限的角平分线可判断△HOB和△PDE都为等腰直角三角形,所以EH=OH=3,PE=PD=,则P(﹣3,+3),然后利用待定系数法求过点P的双曲线的解析式.【解答】解作PH⊥x轴于H,交直线y=﹣x于E,作PD⊥AB于D,连结PC、PA,如图,∵⊙P与y轴相切于点C,∴PC⊥y轴,而P(﹣3,a),∴PC=3,即⊙P的半径为3,∴PA=OH=3,∵PD⊥AB,∴AD=BD=AB=×4=2,在Rt△PAD中,PD===1,∵直线y=﹣x为第
二、四象限的角平分线,∴∠HOB=45°,易得△HOB和△PDE都为等腰直角三角形,∴EH=OH=3,PE=PD=,∴PH=PE+EH=+3,∴P(﹣3,+3),设过点P的双曲线的解析式为y=,把P(﹣3,+3)代入得k=﹣3(+3)=﹣3﹣9,∴过点P的双曲线的解析式为y=﹣.故答案为y=﹣.
11.(2016·天津北辰区·一摸)(本小题10分)已知四边形是平行四边形,且以为直径的⊙经过点.(Ⅰ)如图
(1),若,求证与⊙相切;(Ⅱ)如图
(2),若,,⊙交边于点,交边延长线于点,求,的长;(Ⅰ)证明连接OD.∵∠A=45°,∴∠BOD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠CDO+∠BOD=180°.∴∠CDO=∠BOD=90°.∴CD与⊙O相切.…5分(Ⅱ)连接DE,EF,BD.∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBD=90°.∴DE是⊙O直径.∴DE=AB=CD=
10.∴BE=BC=AD=
6.…7分在Rt△DEF和Rt△CEF中,,∴.设,则.∴.解得.即.
12.(2016·天津南开区·二模)如图,已知AB为⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC于点D且交⊙O于点F,连接BC,CF,AC.
(1)求证:BC=CF;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;
(3)求证:AF+2DF=AB.考点切线的性质与判定答案见解析试题解析
(1)证明如图,连接OC,∵ED切⊙O于点C,∴CO⊥ED,∵AD⊥EC,∴CO∥AD,∴∠OCA=∠CAD,∵∠OCA=∠OAC,∴∠OAC=∠CAD,∴=,∴BC=CF;
(2)解在Rt△ADE中,∵AD=6,DE=8,根据勾股定理得AE=10,∵CO∥AD,∴△EOC∽△EAD,∴=,设⊙O的半径为r,∴OE=10﹣r,∴=,∴r=,∴BE=10﹣2r=;
(3)证明过C作CG⊥AB于G,∵∠OAC=∠CAD,AD⊥EC,∴CG=CD,在Rt△AGC和Rt△ADC中,∵,∴Rt△AGC≌Rt△ADC(HL),∴AG=AD,在Rt△CGB和Rt△CDF中,∵,∴Rt△CGB≌Rt△CDF(HL),∴GB=DF,∵AG+GB=AB,∴AD+DF=AB,AF+DF+DF=AB,∴AF+2DF=AB.
13.(2016·天津市和平区·一模)已知,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,过点D的直线EF与⊙O相切,分别交BA,BC的延长线于点E,F,BF⊥EF(I)如图
①,若∠ABC=50°,求∠DBC的大小;(Ⅱ)如图
②,若BC=2,AB=4,求DE的长.【考点】切线的性质.【分析】
(1)如图1,连接OD,BD,由EF与⊙O相切,得到OD⊥EF,由于BF⊥EF,得到OD∥BF,得到∠AOD=∠B=50°,由外角的性质得到结果;
(2)如图2,连接AC,OD,根据AB为⊙O的直径,得出∠ACB=90°,由直角三角形的性质得到∠CAB=30°,于是AC=AB•cos30°=4×=2,AH=AO•cos30°=2×=,根据三角形的中位线的性质解得结果.【解答】解
(1)如图1,连接OD,BD,∵EF与⊙O相切,∴OD⊥EF,∵BF⊥EF,∴OD∥BF,∴∠AOD=∠B=50°,∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB=∠AOD=25°;
(2)如图2,连接AC,OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵BC=2,AB=4,∴∠CAB=30°,∴AC=AB•cos30°=4×=2,∵∠ODF=∠F=∠HCO=90°,∴∠DHC=90°,∴AH=AO•cos30°=2×=,∵∠HAO=30°,∴OH=OA=OD,∵AC∥EF,∴DE=2AH=2.【点评】本题考查了切线的性质,垂径定理,锐角三角函数,平行线的性质和判定,辅助线的作法是解题的关键.
14.(2016·天津五区县·一模)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.
(1)求证DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题.【解答】
(1)证明连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C;
(2)解连接BC,则∠ACB=90°.∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴,∴AC2=AD•AB,∵⊙O的半径为3,AD=4,∴AB=6,∴AC=2.【点评】此题主要考查了切线的性质与判定,解题时首先利用切线的判定证明切线,然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题.
15.2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长.【考点】切线的判定;圆周角定理;解直角三角形.【分析】
(1)首先连接OA,由∠B=60°,利用圆周角定理,即可求得∠AOC的度数,又由OA=OC,即可求得∠OAC与∠OCA的度数,利用三角形外角的性质,求得∠AOP的度数,又由AP=AC,利用等边对等角,求得∠P,则可求得∠PAO=90°,则可证得AP是⊙O的切线;
(2)由CD是⊙O的直径,即可得∠DAC=90°,然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理,即可求得PD的长.【解答】
(1)证明连接OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°,∴∠AOP=60°,∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=90°,∴OA⊥AP,∴AP是⊙O的切线,
(2)解连接AD.∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°,∴AD=AC•tan30°=3×=,∵∠ADC=∠B=60°,∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°,∴∠P=∠PAD,∴PD=AD=.【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.
16.2016·云南省曲靖市罗平县·二模如图,AB为⊙O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.
(1)求证BC是⊙O的切线;
(2)连接OC,如果OC恰好经过弦BD的中点E,且tanC=,AD=3,求直径AB的长.【考点】切线的判定.【专题】证明题.【分析】
(1)由AB为⊙O的直径,可得∠D=90°,继而可得∠ABD+∠A=90°,又由∠DBC=∠A,即可得∠DBC+∠ABD=90°,则可证得BC是⊙O的切线;
(2)根据点O是AB的中点,点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线,故AD∥OE,则∠A=∠BOC,再由
(1)∠D=∠OBC=90°,故∠C=∠ABD,由tanC=可知tan∠ABD==,由此可得出结论.【解答】
(1)证明∵AB为⊙O的直径,∴∠D=90°,∴∠ABD+∠A=90°,∵∠DBC=∠A,∴∠DBC+∠ABD=90°,即AB⊥BC,∴BC是⊙O的切线;
(2)∵点O是AB的中点,点E时BD的中点,∴OE是△ABD的中位线,∴AD∥OE,∴∠A=∠BOC.、∵由
(1)∠D=∠OBC=90°,∴∠C=∠ABD,∵tanC=,∴tan∠ABD===,解得BD=6,∴AB===3.【点评】本题考查的是切线的判定,熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键.
17.2016·云南省·二模如图,将圆形纸片沿弦AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,⊙O的切线BC与AO延长线交于点C.
(1)若⊙O半径为6cm,用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,求这个圆锥的底面圆半径.
(2)求证AB=BC.【考点】切线的性质;圆锥的计算;翻折变换(折叠问题).【分析】
(1)过O作OD⊥AB于E,交⊙O于D,根据题意OE=OA,得出∠OAE=30°,∠AOE=60°,从而求得∠AOB=2∠AOE=120°,根据弧长公式求得弧AB的长,然后根据圆锥的底面周长等于弧长得出2πr=4π,即可求得这个圆锥的底面圆半径;
(2)连接OB,根据切线的性质得出∠OBC=90°,根据三角形外角的性质得出∠C=30°,从而得出∠BAC=∠C,根据等角对等边即可证得结论.【解答】解
(1)设圆锥的底面圆半径为r,过O作OD⊥AB于E,交⊙O于D,连接OB,有折叠可得OE=OD,∵OD=OA,∴OE=OA,∴在Rt△AOE中∠OAE=30°,则∠AOE=60°,∵OD⊥AB,∴∠AOB=2∠AOE=120°,∴弧AB的长为=4π,∴2πr=4π,∴r=2;
(2)∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=90°∴∠C=30°,∴∠OAE=∠C,∴AB=BC.【点评】本题考查了折叠的性质,垂径定理,弧长的计算,切线的性质以及等腰三角形的判定和性质,找出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
18.2016·山东枣庄·模拟如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证直线EF是⊙O的切线;
(2)求cos∠E的值.【考点】切线的判定;勾股定理.【专题】证明题.【分析】
(1)求证直线EF是⊙O的切线,只要连接OD证明OD⊥EF即可;
(2)根据∠E=∠CBG,可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG,进而转化为求Rt△BCG中,两边的比的问题.【解答】
(1)证明如图,方法1连接OD、CD.∵BC是直径,∴CD⊥AB.∵AC=BC.∴D是AB的中点.∵O为CB的中点,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴OD⊥EF.∴EF是O的切线.方法2∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO,∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.即∠EDO=90°,∴OD⊥ED∴EF是O的切线.
(2)解连BG.∵BC是直径,∴∠BDC=90°.∴CD==8.∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG,∴BG==.∴CG==.∵BG⊥AC,DF⊥AC,∴BG∥EF.∴∠E=∠CBG,∴cos∠E=cos∠CBG==.【点评】本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
19.2016·陕西师大附中·模拟8分如图,AB是⊙O的直径,C是弧AB的中点,⊙O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交○O于点H,连接BH
(1)求证AC=CD
(2)若OB=2,求BH的长【答案】证明
(1)连接OC∵C是AB中点,AB是○O的直径∴OC⊥AB∵BD是○O切线∴BD⊥AB.∴OC∥BD.∵AO=BO∴AC=CD
(2)∵E是OB中点,∴OE=BE在△COE与△FBE中,∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE△COE≌△FBE(ASA)∴BF=CO∵OB=2,∴BF=2∴AF=∵AB是直径∴BH⊥AF∴ABBF=AFBH∴
20.2016·上海闵行区·二模如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足为点H.点D在边AB上,且AD=2,联结CD交AH于点E.
(1)如图1,如果AE=AD,求AH的长;
(2)如图2,⊙A是以点A为圆心,AD为半径的圆,交AH于点F.设点P为边BC上一点,如果以点P为圆心,BP为半径的圆与⊙A外切,以点P为圆心,CP为半径的圆与⊙A内切,求边BC的长;
(3)如图3,联结DF.设DF=x,△ABC的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】
(1)如图1中,过点D作DG⊥AH于G,由DG∥BC得=====,设EG=a,则EH=3a,列出方程即可解决.
(2)关键两个圆内切、外切半径之间的关系,先求出PH,设BP=x,根据AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2列出方程即可解决问题.
(3)如图3中过点D作DG⊥AF于G,设AG=t,根据AD2﹣AG2=DF2﹣FG2程即求出t与x的关系,再利用三角形面积公式计算即可.【解答】解
(1)如图1中,过点D作DG⊥AH于G,∵AH⊥BC,AB=AC∴∠DGE=∠CHG=90°,BH=CH,∴DG∥BC,∴=====,设EG=a,则EH=3a,∴==,∴AG=2a,AE=3a=2,∴AH=6a=4.
(2)如图2中,∵点P为圆心,BP为半径的圆与⊙A外切,CP为半径的圆与⊙A内切,∴AP=AD+BP,AP=PC﹣AD,∴AD+BP=PC﹣AD,∴PC﹣BP=2AD=4,∴PH+HC﹣(BH﹣PH)=4,∴PH=2,∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2,设BP=x,∴62﹣(x+2)2=(x+2)2﹣22,∴x=2﹣2,∴BC=2BH=2(PB+PH)=4.
(3)如图3中,过点D作DG⊥AF于G,设AG=t,∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2,∴22﹣t2=x2﹣(2﹣t)2,∴t=,∴y=S△ABC=18•S△ADG=18וAG•DG=9••,∴y=(0<x<2).【点评】本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是用转化的思想,把问题掌握方程解决,属于中考参考题型.
21.(2016·江苏丹阳市丹北片·一模)(6分)如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为,OP=1,求BC的长答案((6分)
(1)证明略(3分)
(2)BC=2(3分)
22.(2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷)(本题满分14分,第
(1)小题4分,第
(2)小题4分,第
(3)小题6分)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,⊙B与边AB相交于点D,与边BC相交于点E,设⊙B的半径为x.
(1)当⊙B与直线AC相切时,求x的值;
(2)设DC的长为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)若以AC为直径的⊙P经过点E,求⊙P与⊙B公共弦的长.答案解
(1)作AG⊥BC于G,BH⊥AC于H,∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=GC=2,∴AG=又AG·BC=BH·AC,∴∴当⊙B与直线AC相切时..
(2)作DF⊥BC于F,则DF∥AG,∴,即,∴,∴CF=4-,在Rt△CFD中,CD2=DF2+CF2∴=(0x≤4).
(3)解法一作PQ⊥BC于Q.∵EF是⊙B、⊙P的公共弦,∴BP⊥EF,且EG=FG,∵⊙P经过点E,∴PA=PE=PC,∴AE⊥BC,又AC=AB,∴BE=EC=2∵PQ∥AE,且P是AC的中点∴PQ=,CP=3,∴CQ=1,BQ=3,∴BP=设BP交EF于点H设,由,解得,∴EF=解法二作PQ⊥BC于Q.∵EF是⊙B、⊙P的公共弦,∴BP⊥EF,且EG=FG,∵⊙P经过点E,∴PA=PE=PC,∴AE⊥BC,又AC=AB,∴BE=EC=2∵PQ∥AE,且P是AC的中点,∴PQ=,CP=3,∴CQ=1,BQ=3,∴BP=而Rt△BQP∽Rt△BGE,∴,即,∴∴公共弦EF=当点E和点C重合时,
23.(2016·广东·一模)(本题满分8分)已知如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点M,交BC于点N,连接AN过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证∠BCP=∠BAN;
(2)求证
24.(2016·广东东莞·联考)如图,AB是△ABC外接圆⊙O的直径,D是AB延长线上一点,且BD=AB,∠A=30°,CE⊥AB于E,过C的直径交⊙O于点F,连接CD、BF、EF.
(1)求证CD是⊙O的切线;
(2)求tan∠BFE的值.【考点】切线的判定;解直角三角形.【专题】综合题.【分析】
(1)要证明CD是⊙O的切线,只要证明OC⊥CD即可;
(2)过点E作EH⊥BF于H,设EH=a,利用角之间的关系可得到AC∥BF,从而得到BH=EH=a,BE=2EH=2a,进而可得到BF的长,此时可求得FH的长,再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值.【解答】
(1)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,∴BC=,∵OB=,BD=,∴BC=OB=BD,∴BC=,∴OC⊥CD,∵OC是半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)解过点E作EH⊥BF于H,设EH=a,∵CF是⊙O直径,∴∠CBF=90°=∠ACB,∴∠CBF+∠ACB=180°,∴AC∥BF,∴∠ABF=∠A=30°,∴BH=EH=a,BE=2EH=2a,∵CE⊥AB于E,∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC,∴∠ECB=∠A=30°,∴BC=2BE=4a,∵∠BFC=∠A=30°,∠CBF=90°,∴BF==4a,∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a,∴tan∠BFE===.【点评】本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.要熟知直角三角形的性质并熟练掌握三角函数值的求法.
25.(2016·广东深圳·一模)如图,在直角坐标系中,以点A(,0)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于B,C两点,与y轴交于D,E两点.
(1)写出B,C,D点坐标(不写计算过程)
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上,求这个抛物线的解析式.
(3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M,交y轴负半轴与点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过所示抛物线的顶点?说明理由.【考点】圆的综合题.【分析】
(1)连接AD,构造直角三角形解答,在直角△ADO中,OA=,AD=2,根据勾股定理就可以求出AD的长,求出D的坐标,再利用圆的性质得出B,C的坐标.
(2)求出B、C、D的坐标,用待定系数法设出一般式解答;
(3)求出抛物线交点坐标,连接AP,则△APM是直角三角形,且AP等于圆的半径,根据三角函数就可以求出AM的长,已知OA,就可以得到OM,则M点的坐标可以求出;同理可以在直角△BNM中,根据三角函数求出BN的长,求出N的坐标,根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式.将交点坐标代入直线解析式验证即可.【解答】解
(1)如图1,连接AD,得OA=,AD=2,∴OD===3,∴D(0,﹣3),∵点A(,0)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于B、C两点,∴B(﹣,0),C(3,0);
(2)∵B(﹣,0),C(3,0),D(0,﹣3)∴将B,C,D三点代入抛物线y=ax2+bx+c得,,解得∴抛物线为y=x2﹣x﹣3.
(3)如图2,连接AP,在Rt△APM中,∠PMA=30°,AP=2∴AM=4∴M(5,0)∵ON=MO×tan30°=5∴N(0,﹣5)设直线MN的解析式为y=kx+b,由于点M(5,0)和N(0,﹣5)在直线MN上,则,解得∴直线MN的解析式为y=x﹣5∵抛物线的顶点坐标为(,﹣4),当x=时,y=﹣4∴点(,﹣4)在直线y=x﹣5上,即直线MN经过抛物线的顶点.【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及用待定系数法求函数解析式和圆以及存在性问题相结合,培养了同学们的实际应用能力,注意利用数形结合得出是解题关键.
26.(2016·广东河源·一模)如图,⊙O的直径AB=6cm,D为⊙O上一点,∠BAD=30°,过点D的切线交AB的延长线于点C求1∠ADC的度数;2AC的长解
(1)连接OD.∵在⊙O中,OD=OA,∴∠ADO=∠BAD=30°.且CD与⊙O相切,∴∠ODC=90°.∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=90°+30°=120°.
(2)∵在Rt△ODC中,∠C=180°-∠A-∠ADC=30°,∴OC=2OD=AB=6cm.又∵AO==3cm,∴AC=AO+OC=6+3=9(cm).图1图2xyPCPOONBPCAMONBPCAMxhykm0918360CDFEAOB图
(2)DBCFAEO图
(1)DBCAO第1题图
(1)DBCAODBCFAEO图
(2)第19题图CBADE(第22题图)GABCHEFBCDAGEFBCDAQPHEFBCDAQPG。