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薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肇膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿薆螈螀罿荿蚄蝿膁薄蚀螈芃蒇薆螇莅芀袅螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂螈袂芄芅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿羃芁2011年中考数学试卷分类汇编44 动态问题
一、选择题
1.(2011安徽,10,4分)如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C
2.(2011山东威海,12,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()【答案】B
3.(2011甘肃兰州,14,4分)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是A.B.C.D.【答案】B
4.
二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
三、解答题
1.(2011浙江省舟山,24,12分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.
(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
①直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大?【答案】
(1)
①C(1,2),Q(2,0).
②由题意得Pt,0,Ct,-t+3,Q3-t,0,分两种情形讨论情形一当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=
1.5.情形二当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t=2(-t+3),∴t=2.∴满足条件的t的值是
1.5秒或2秒.2
①由题意得Ct,-+3,∴以C为顶点的抛物线解析式是,由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.
②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.
2.(2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.【解】
(1)把x=0代入,得把x=3代入,得,∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得,解得所以,
(2)把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和∴MN=-()=即∵点P在线段OC上移动,∴0≤t≤
3.3在四边形BCMN中,∵BC∥MN∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形由,得即当时,四边形BCMN为平行四边形当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
3.(2011江苏扬州,2812分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,ABAC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动同时,动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒(t0)
(1)△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由;
(2)若∠ABC=60º,AB=4厘米
①求动点Q的运动速度;
②设Rt△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;
(3)探求BP
2、PQ
2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由【答案】解
(1)△PBM与△QNM相似;∵MN⊥BCMQ⊥MP∴∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90º∴∠PMB=∠QMN∠QNM=∠B=90º-∠C∴△PBM∽△QNM
(2)
①∵∠ABC=60º,∠BAC=90ºAB=4BP=t∴AB=BM=CM=4MN=4∵△PBM∽△QNM∴即∵P点的运动速度是每秒厘米,∴Q点运动速度是每秒1厘米
②∵AC=12CN=8∴AQ=12-8+t=4+tAP=4-t∴S==
(3)BP2+CQ2=PQ2证明如下∵BP=t∴BP2=3t2∵CQ=8-t∴CQ2=8-t2=64-16t+t2∵PQ2=4+t2+34-t2=4t2-16t+64∴BP2+CQ2=PQ
24.(2011山东德州2312分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时
①求出点A,B,C的坐标.
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.【答案】解
(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴PA⊥OA,PK⊥OK.∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOK=90°,∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.∴四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK,∴四边形OKPA是正方形.……………………2分
(2)
①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.过点P作PG⊥BC于G.∵四边形ABCP为菱形,∴BC=PA=PB=PC.∴△PBC为等边三角形.在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=.sin∠PBG=,即.解之得x=±2(负值舍去).∴PG=,PA=BC=2.……………………4分易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.∴A(0,),B(1,0)C(3,0).……………………6分设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.据题意得解之得a=,b=,c=.∴二次函数关系式为.……………………9分
②解法一设直线BP的解析式为y=ux+v,据题意得解之得u=,v=.∴直线BP的解析式为.过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为.解方程组得;.过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为.∴0=.∴.∴直线CM的解析式为.解方程组得;.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法二∵,∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.∴点M(4,)符合要求.点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法三延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.即.解得(舍),.∴点M的坐标为(4,).点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
5.(2011山东菏泽,21,9分)如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A-1,0.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点Mm,0是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.解
(1)把点A-1,0的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx-2,整理后解得,所以抛物线的解析式为.顶点D.
(2)∵AB=5,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′0,2,OC′=2.连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交轴于点.△C′OM∽△DEM.∴.∴.∴m=.
6.(2011山东济宁,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧).已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.【答案】
(1)解设抛物线为.∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.∴抛物线为.……………………………3分2答与⊙相交.…………………………………………………………………4分证明当时,,.∴为(2,0),为(6,0).∴.设⊙与相切于点,连接,则.∵,∴.又∵,∴.∴∽.∴.∴.∴.…………………………6分∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为
2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分3解如图,过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.…………………………………………8分设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).∴.∵∴当时,的面积最大为.此时,点的坐标为(3,).…………………………………………10分
7.(2011山东威海,25,12分)如图,抛物线交轴于点,点交轴于点.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线过点F且与轴平行.直线过点C,交轴于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G求线段HG长度的最大值;
(3)在直线上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形,求点N的坐标.图
①备用图【答案】解
(1)设抛物线的函数表达式∵抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得.∴所求函数表达式,即.
(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点,点,∴点C的坐标是.将点C的坐标是代入,得.∴直线CD的函数表达式为.设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为.∵点K为线段AB上一动点,∴.∴.∵,∴当时,线段HG长度有最大值.
(3)∵点F是线段BC的中点,点,点,∴点F的坐标为.∵直线过点F且与轴平行,∴直线的函数表达式为.∵点M在直线上,点N在抛物线上,∴设点M的坐标为,点N的坐标为.∵点,点,∴.分情况讨论1若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN∥AC,且MN=AC=8.当点N在点M的左侧时,.∴,解得.∴N点的坐标为.当点N在点M的右侧时,.∴,解得.∴N点的坐标为.
②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为.过点P作NP⊥轴,交抛物线于点N.将代入,得.过点N,B作直线NB交直线于点M.在△BPN和△BFM中,∵∴△BPN≌△BFM.∴NB=MB.∴四边形点ANCM为平行四边形.∴坐标为的点N符合条件.∴当点N的坐标为,,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形.
8.(2011山东烟台,2614分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-x+,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.【答案】解
(1)把y=4代入y=-x+,得x=
1.∴C点的坐标为(1,4).当y=0时,-x+=0,∴x=
4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=
3.∴BC===
5.∴sin∠ABC==.
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,则QN=BQ·sin∠ABC=t.∴S=OP·QN=(4-t)×t=-t2+t(0<t<4).
②当4<t≤5时,(如备用图1),连接QO,QP,作QN⊥OB于N.同理可得QN=t.∴S=OP·QN=×(t-4)×t.=t2-t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),连接QO,QP.S=×OP×OD=(t-4)×4=2t-8(5<t≤6).
(3)
①在0<t<4时,当t==2时,S最大==.
②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时,S最小=×22-×2=-.∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-).∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.∴当t=5时,S最大=×52-×5=
2.
③在5<t≤6时,在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.∴当t=6时,S最大=2×6-8=
4.∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是
4.(说明
(3)中的
②也可以省略,但需要说明在
(2)中的
②与
③的△OPQ,
③中的底边OP和高CD都大于
②中的底边OP和高.所以
③中的△OPQ面积一定大于
②中的△OPQ的面积.)
9.(2011四川南充市,22,8分)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-40)和Bm0,与直线y=-x+p相交于点A和点C2m-4m-
6.1求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和AC以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点PQ的坐标;
(3)在
(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当⊿PQM的面积最大时,请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标【答案】解
(1)∵点Am-40和C2m-4m-6在直线y=-x+p上∴解得∴A-10B30C2-3设抛物线y=ax2+bx+c=ax-3x+1∵C2-3∴a=1∴抛物线解析式为y=x2-2x-3
(2)AC=3AC所在直线的解析式为y=-x-1,∠BAC=450∵平行四边形ACQP的面积为
12.∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点KDK=2∴DN=4∵ACPQPQ所在直线在直线ACD的两侧,可能各有一条,∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5∴解得或,此方程组无解.即P130P2-25∵ACPQ是平行四边形,A-10C2-3∴当P30时,Q6,-3当P-25时,Q1,2∴满足条件的PQ点是P130Q16,-3或P2-25,Q21,2
(1)设Mtt2-2t-3-1<t<3过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T则Tt-t+3MT=-t+3-t2-2t-3=-t2+t+6过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,MS=MT=-t2+t+6=-t-2+∴当t=时,M(,-),⊿PQM中PQ边上高的最大值为10.(2011浙江杭州,24,12图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点不与端点重合,点O到EF,MN的距离分别为,.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.1求蝶形面积S的最大值;2当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求与满足的关系式,并求的取值范围.【答案】1如图,设EF与AC交于点K,由△OEF∽△ABD,得,,,,整理得,当时,蝶形面积S的最大,最大值为.2如图,设MN与AC交于点L,由1得,则,由OK2+EK2=OE2,OL2+ML2=OM2,得OK2+EK2=OL2+ML2,,整理得,当点E,M不重合时,,.当OE⊥AB时,,所以2)当点重合时,则,此时的取值范围为.解法二
(1)由题意,得四边形是菱形.由,得,,即所以当时,.
(2)根据题意,得.如图,作于,关于对称线段为,1)当点不重合时,则在的两侧,易知.,由,得,即,此时的取值范围为且2)当点重合时,则,此时的取值范围为.
11.2011浙江湖州,24,14如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上M是BC的中点.P0,m是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.1求点D的坐标(用含m的代数式表示);2当△APD是等腰三角形时,求m的值;3设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)【答案】解
(1)由题意得CM=BM,∵∠PMC=∠DMB,∴Rt△PMC≌Rt△DMB,∴DB=PC,∴DB=2-m,AD=4-m,∴点D的坐标为(2,4-m).
(2)分三种情况
①若AP=AD,则,解得.
②若PD=PA,过P作PF⊥AB于点F(如图),则AF=FD,又OP=AF,∴,解得,
③若DP=DA,∵△PMC≌△DMB,∴,∵,∴,解得.综上所述,当△APD是等腰三角形时,过m的值为.
(3)点H经过的路径长为.
12.(2011宁波市,26,10分)如图.平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,线段AB交y轴与点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与O、B重合),直线EF与抛物线交与M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求BON的面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连结AN,当BON的面积的最大时,在坐标平面内使得BOP与OAN相似(点B、O、N对应)的点P的坐标.【答案】26.解
(1)设直线AB的函数解析式为y=mx+n将点A(-2,2),B(6,6)代入得得m=,n=3∴y=x+3当x=0时y=3∴E0,3设抛物线的函数解析式为y=ax+bx将A(-2,2)B6,6代入得解得a=,b=-∴抛物线的解析式为y=x2-x
(3)过点N做x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设Nx,x2-x则Q(x,x)则SBON=SBON+SBON=×QN×OG+×QN×HG=×QN×OG+HG=×QN×OH=〔x-x2-x〕×6=-x2+x=-x-32+0<x<6∴当x=3时,BON面积最大,最大值为此时点N的坐标为(3,)
(4)过点A作AS⊥GQ于S∵A-2,2,B6,6,N(3,)∴∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3,NG=,NS=,AS=5在RtSAN和RtNOG中∴tan∠SAN=tan∠NOG=∴∠SAN=∠NOG∴∠OAS-∠ASN=∠BOG-∠NOG∴∠OASN=∠BON∴ON的延长线上存在一点P,使BOP~OAN∵A-2,2,N(3,)在RtASN中AN==eq\f54当BOP~OAN时=∴eq\f22=eq\fOPeq\f54∴OP=eq\f154过点P作PT⊥x轴于点T∴OPT~ONG∴==设P(4t,t)在在RtPOT中,有(4t)2+t2=eq\f1542∴t1=,t2=-(舍)∴点P的坐标为(15,)将OBP沿直线OB返折,可得出另一个满足条件的点,15,由以上推理可知,当点P的坐标为(15,)或,15时BOP与OAN相似.
13.(2011浙江衢州,2412分)已知两直线分别经过点,点,并且当两条直线同时相交于轴正半轴的点时,恰好有,经过点的抛物线的对称轴于直线交于点,如图所示.求点的坐标,并求出抛物线的函数解析式.抛物线的对称轴被直线,抛物线,直线和轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由.当直线绕点旋转时,与抛物线的另一个交点为.请找出使为等腰三角形的点.简述理由,并写出点的坐标.【答案】
(1)解法1由题意易知由题意,可设抛物线的函数解析式为.把的坐标分别代入,得解这个方程组,得抛物线的函数解析式为解法2由勾股定理,得又由题意可设抛物线的函数解析式为把代入函数解析式得所以抛物线的函数解析式为
(2)解法1截得三条线段的数量关系为理由如下可求得直线的解析式为,直线的解析式为,抛物线的对称轴为直线.由此可求得点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.解法2截得三条线段的数量关系为理由如下由题意可知则可得.由顶点的坐标为得3解法1(i)以点为圆心,线段长为半径画圆弧,交抛物线于点,由抛物线的对称性可知点为点关于直线的对称点.所以点的坐标为,此时为等腰三角形.(ii)当以点为圆心,线段长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点和点,而三点在同一直线上,不能构成三角形.(iii)作线段的中垂线,由点是的中点,且,可知经过点,此时,有点即点坐标为,使为等腰三角形.与抛物线的另一交点即为综上所述,当点的坐标为时,为等腰三角形解法2当点的坐标分别为理由如下(i)链接,交抛物线于点,易知点的坐标为.又点的坐标为,则可求得,且,即为正三角形.为正三角形当与抛物线交于点,即时,符合题意,此时点的坐标为(ii)连接,由,易知为等腰三角形当过抛物线顶点于点时,符合题意,此时点的坐标为.(iii)当点在抛物线对称轴右边时,只有点与点重合时,满足,但此时,三点在同一直线上,不能构成三角形.综上所述,当点的坐标分别为时,为等腰三角形.
14.2011浙江绍兴,24,14分抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴与轴交于点.
(1)如图1,求点的坐标及线段的长;
(2)点在抛物线上,直线交轴于点,连接.
①若含45°角的直线三角板如图2所示放置,其中,一个顶点与重合,直角顶点在上,另一顶点在上,求直线的函数解析式;
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点重合,直角顶点在直线上,另一个顶点在上,求点的坐标.【答案】解
(1)把代入得,点,为对称轴,,.
(2)
①如图1,过点作轴,交轴于点,过点作,交于点,四边形为矩形,四边形为正方形,为等腰直角三角形,设直线的函数解析式为,直线上两点的坐标为,代入求得,直线的函数解析式为.
②当点
15.(2011浙江台州,2414分)已知抛物线与y轴交于点A,它的顶点为B,点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上,则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形,直线AB为抛物线的伴随直线
(1)如图1,求抛物线的伴随直线的解析式;
(2)如图2,若(m0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式;
(3)如图3,若抛物线的伴随直线是y=-2x+b(b0),且伴随四边形ABCD是矩形
①用含b的代数式表示mn的值;
②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式);若不存在,请说明理由【答案】解1设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意,得:A0,5,B2,1∴∴k=-2b=5∴直线AB的解析式为y=-2x+52由伴随直线是y=x-3,得A0,-3,C0,3∴AC=6由伴随四边形的面积为12,得△ABC的面积为6=∴m=±2∵m0∴m=2当m=2时,y=-1,顶点为(2,-1),且过点C(0,3)∴抛物线的解析式为y=3
①如图,作BE⊥x轴,由题意,得A(0b)C0-b∵抛物线的顶点B(mn)在y=-2x+b(b0)上,∴n=-2m+bBm-2m+b在矩形ABCD中,OC=OB∴OC2=OB2即∴m5m-4b=0∴m1=0舍去,m2=∴n=-2m+b=∴;
②存在,有4个点,,,,
16.(2011浙江义乌,24,12分)已知二次函数的图象经过A(2,0)、C0,12两点,且对称轴为直线x=
4.设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.【答案】
(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得解得∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12点P的坐标为(4,-4)
(2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下当y=0时,x2-8x+12=0∴x1=2,x2=6∴点B的坐标为(6,0)设直线BP的解析式为y=kx+m则解得∴直线BP的解析式为y=2x-12∴直线OD∥BP∵顶点坐标P(4,-4)∴OP=4设Dx,2x则BD2=(2x)2+6-x2当BD=OP时,(2x)2+6-x2=32解得x1=,x2=2当x2=2时,OD=BP=,四边形OPBD为平行四边形,舍去∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形∴当D,时,四边形OPBD为等腰梯形
(3)
①当0<t≤2时,∵运动速度为每秒个单位长度,运动时间为t秒,则MP=t∴PH=t,MH=t,HN=t∴MN=t∴S=t·t·=t2
②当2<t<4时,P1G=2t-4,P1H=t∵MN∥OB∴∽∴∴∴=3t2-12t+12∴S=t2-3t2-12t+12=-t2+12t-12∴当0<t≤2时,S=t2当2<t<4时,S=-t2+12t-
1217.(2011四川重庆,26,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动.在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧,设动动的时间为t秒t≥0.1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;2在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;3设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.【答案】1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时如图,∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,BC=2,∴tan∠CFB=,∴tan60°=eq\f2BF,∴BF=2,∴t=3-t=2,∴t=1.2当0≤t<1时,S=2t+4;当1≤t<3时,S=eq\f2t2+3t+eq\f72;当3≤t<4时,S=-4t+20;当4≤t<6时,S=t2-12t+36.3存在,理由如下在Rt△ABC中,tan∠CAB==eq\f3,∴∠CAB=30°.又∵∠HEO=60°,∴∠HAE=∠AHE=30°.∴AE=HE=3-t或t-3.(ⅰ)当AH=AO=3时(如图
②),过点E作EM⊥AH于M,则AM=AH=.在Rt△AME中,cos∠MAE=,即cos30°=eq\fAE,∴AE=,即3-t=或t-3=,t=3-或3+.(ⅱ)当HA=HO时(如图
③),则∠HOA=∠HAO=30°,又∵∠HEO=60°,∴∠EHO=90°.∴EO=2HE=2AE.又∵AE+EO=3,∴AE+2AE=3.∴AE=1.即3-t=1或t-3=1,t=2或4.(ⅲ)当OH=OA时(如图
④),则∠OHA=∠OAH=30°,∴∠HOB=60°=∠HEB.∴点E和O重合,∴AE=3.即3-t=3或t-3=3,t=6(舍去)或t=0.综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即t=3-或t=3+或t=2或t=4或t=0.
18.(2011浙江省嘉兴,24,14分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.
(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
①直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大?【答案】
(1)
①C(1,2),Q(2,0).
②由题意得Pt,0,Ct,-t+3,Q3-t,0,分两种情形讨论情形一当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=
1.5.情形二当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t=2(-t+3),∴t=2.∴满足条件的t的值是
1.5秒或2秒.2
①由题意得Ct,-+3,∴以C为顶点的抛物线解析式是,由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.
②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.
19.(2011福建泉州,25,12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时
①求出点A,B,C的坐标.
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.【答案】解
(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴PA⊥OA,PK⊥OK.∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOK=90°,∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.∴四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK,∴四边形OKPA是正方形.……………………2分
(2)
①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.过点P作PG⊥BC于G.∵四边形ABCP为菱形,∴BC=PA=PB=PC.∴△PBC为等边三角形.在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=.sin∠PBG=,即.解之得x=±2(负值舍去).∴PG=,PA=BC=2.……………………4分易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.∴A(0,),B(1,0)C(3,0).……………………6分设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.据题意得解之得a=,b=,c=.∴二次函数关系式为.……………………9分
②解法一设直线BP的解析式为y=ux+v,据题意得解之得u=,v=.∴直线BP的解析式为.过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为.解方程组得;.过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为.∴0=.∴.∴直线CM的解析式为.解方程组得;.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法二∵,∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.∴点M(4,)符合要求.点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法三延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.即.解得(舍),.∴点M的坐标为(4,).点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分20.(2011福建泉州,26,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=3,AB=5.点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)求直线AB的解析式;
(2)在点P从O向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范围);
(3)在点E从B向O运动的过程中,完成下面问题
①四边形QBED能否成为直角梯形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由;
②当DE经过点O时,请你直接写出t的值.【答案】解解
(1)在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,由勾股定理得.∴A(3,0),B(0,4).设直线AB的解析式为.∴解得∴直线AB的解析式为.…………2分
(2)如图,过点Q作QF⊥AO于点F.∵AQ=OP=t,∴.由△AQF∽△ABO,得.∴.∴.…………2分∴,∴.………………………4分
(3)四边形QBED能成为直角梯形.
①如图,当DE∥QB时,∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.此时∠AQP=90°.由△APQ ∽△ABO,得.∴.解得.……………………………6分
②如图,当PQ∥BO时,∵DE⊥PQ,∴DE⊥BO,四边形QBED是直角梯形.此时∠APQ=90°.由△AQP ∽△ABO,得即.解得.………………………10分
(4)或.………………………14分
21.(2011湖南常德,26,10分)如图11,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.解
(1)抛物线经过点A(0,6),B(2,0),C(7,)的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则解得∴此抛物线的解析式为
(2)过点A作AM∥x轴,交FC于点M,交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x=4,顶点D的坐标为(4,-2).则AN=
4.设直线AC的解析式为则有,解得.∴直线AC的解析式为当x=4时,∴点E的坐标为(4,4),∵点F与E关于点D对称,则点F的坐标为(4,-8)设直线FC的解析式为则有,解得.∴直线AC的解析式为∵AM与x轴平行,则点M的纵坐标为
6.当y=6时,则有解得x=
8.∴AM=8MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE
(3)∵C的坐标为(7,),F坐标为(4,-8)∴∵又A的坐标为(0,6),则,又DF=6,若△AFP∽△DEF∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE,又由
(2)可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则即解得P1A=
8.∴OP1=8-6=2∴P1的坐标为(0,-2).若△AFP2∽△FDC则即解得P2A=.∴OP2=-6=.∴P2的坐标为(0,-).所以符合条件的点P的坐标不两个,分别是P1(0,-2),P2(0,-).
22.(2011湖南邵阳,24,12分)如图
(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(,0),点C
(03)点B是x轴上一点(位于点A右侧),以AB为直径的圆恰好经过点C
(1)求角ACB的度数;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A,B两点,求抛物线的解析式;
(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形?若存在,则求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由【答案】解
(1)90°;
(2)Rt△ABC中,∵OA×OB=OC2,∴OB=
4.抛物线为y=a(x-4)(x+)=ax2+bx+3,比较常数项得a=,抛物线的方程为y=(x-4)(x+)
(1)存在直线BC的方程为3x+4y=12,设点D(x,y)
①若BD=OD,则点D在OB的中垂线上,点D横坐标为2,纵坐标为,即D1(2,)为所求
②若OB=BD=4,则,,得y=,x=,点D2(,)为所求
23.(2011江苏苏州,2910分)已知二次函数y=a(x2-6x+8)(a0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
(1)如图
①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;
(2)如图
②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是
(44)、
(43),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;
(3)如图
②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3的常数,试问是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)?请说明理由.【答案】解
(1)令y=0,由a(x2-6x+8)=0解得x1=2,x2=4;令x=0,解得y=8a.∴点A、B、C的坐标分别是
(20)、
(40)、(08a),该抛物线对称轴为直线x=
3.∴OA=2,如图
①,设抛物线对称轴与x轴的交点为M,则AM=
1.由题意得O′A=OA=
2.∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.∴∠OAC=∠O′AC=60°.∴OC=·AO=2,即8a=2,∴a=.
(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结果同样成立.(I)如图
②,设P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM.∵点E
(44)、F
(43)与点B
(40)在一直线上,点C在y轴上,∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.又PD>PM>PB,PA>PM>PB,∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.(II)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),点F的坐标是
(43)点G的坐标是
(53).∴FB=3,GB=,∴3≤PB<,∵PC≥4,∴PC>PB.又PD>PM>PB,PA>PM>PB,∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
(3)存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形).如图
③,∵点A、B是抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上,∴PA=PB.∴当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.∵点C的坐标是(08a),点D的坐标为(3,-a),点P的坐标是(3,t),∴PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2,由PC=PD得PC2=PD2,∴32+(t-8a)2=(t+a)2,整理得7a2-2ta+1=0,∴△=4t2-
28.∵t是大于3的常数,∴△=4t2-28>0,∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a==,显然,a=>0,满足题意.∴当t是一个大于3的常数时,存在一个正数a=,使得线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.
24.(2011江苏宿迁2712分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.
(1)当t≠1时,求证△PEQ≌△NFM;
(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.【答案】解
(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB∵QE⊥AB,MF⊥BC∴∠AEQ=∠MFB=90°∴四边形ABFM、AEQD都是矩形∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE又∵PQ⊥MN∴∠EQP=∠FMN又∵∠QEP=∠MFN=90°∴△PEQ≌△NFM.
(2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t∴PA=1,PE=1-t,QE=2由勾股定理,得PQ==∵△PEQ≌△NFM∴MN=PQ=又∵PQ⊥MN∴S===t2-t+∵0≤t≤2∴当t=1时,S最小值=2.综上S=t2-t+,S的最小值为2.
25.(2011山东济宁,23,10分)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为.1设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式;
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP,请你对于点P处于图中位置时的两个三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k倍?若存在,请求出符合条件的k值;若不存在,请说明理由.【答案】解
(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线,∴OA⊥AD,BD⊥AD,又OA⊥OB,∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°,∴四边形OADB是矩形,∵⊙C的半径为2,∴AD=OB,∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p)又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+3. 2连接DN,∵AD是⊙C的直径,∴∠AND=90°,∵∠ADN=90°—∠DAN,∠ABD=90°—∠DAN,∴∠ADN=∠ABD,∵∠ADN=∠AMN,∴∠AMN=∠ABD,又∵∠MAN=∠BAP,∴△AMN∽△ABP.3存在.理由把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3,在Rt△ABD中,由勾股定理得,∵S△ABD=,∴,∴,∵△AMN∽△ABP.∴,即,当点P在B点上方时,∵,或,∴.整理得,解得,,当点P在B点下方时,∵,,∴,化简,得,解得,综合以上所述得,当或时,△AMN的面积等于.
26.(2011广东汕头,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.【解】
(1)把x=0代入,得把x=3代入,得,∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得,解得所以,
(2)把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和∴MN=-()=即∵点P在线段OC上移动,∴0≤t≤
3.3在四边形BCMN中,∵BC∥MN∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形由,得即当时,四边形BCMN为平行四边形当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
27.(2011四川成都,2812分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知,,△ABC的面积,抛物线经过A、B、C三点.1求此抛物线的函数表达式;2设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;3在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解
(1)设,则,S△ABC=()×===15,∴(负值不合题意,已经舍去),根据抛物线与坐标轴交点的位置,可知A、B、C三点的坐标分别是(-1,0)、(5,0)、(0,-5),代入抛物线,列方程组为,解得,,,∴抛物线的解析式为.
(2)如图所示E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,设该点的横坐标是,抛物线的对称轴为,根据轴对称图形的性质可知,对应点F的横坐标是,EF=,若E在轴上面,则对应的函数值是正数,若E在轴下面,则对应的函数值是负数,若矩形EFGH为正方形时,则EF=GH=FG=EH,∴,当时,解得(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为;当,解得(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为.
(3)如图所示,根据已经容易求出BC=,若要使△MBC中BC边上的高为,必须使S△MBC==
35.设点M的横坐标为,那么根据抛物线的解析式,可知M的坐标为,若点M在轴的上面,则,过M作MN⊥轴,垂足为N,那么S△MBC=S梯形MNOB+S△OBC-S△MNC,∴,化简得,解得或,所以若M在轴上面,满足题意的有两点,分别为(-2,7)、(7,16);若M在轴下面,则,过M作MN⊥轴,那么垂足为N,那么S△MBC=S梯形MNOB-S△OBC-S△MNC,∴,化简得,△=,∴所以方程在实数范围无根,所以在轴下面没有满足题意的M点.
28.(2011四川内江,加试7,12分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),且对釉轴x=1.1求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;2在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由使用图1;3点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标使用图2.图1图2【答案】
(1)由得,又所以抛物线的解析式为由得x=-1或x=3所以A(-1,0),B(3,0)
(2)假设存在符合条件的点D,设D(x,)作DE⊥x轴于点E,则OE=x,DE=,BE=3-x,得化简得,解得x=1或x=2故存在符合条件的点D,为D(1,)或D(2,-1)
(3)当PQ平行等于AB时,PQ=4,当P在y轴右侧时,P的横坐标为4,当P在y轴左侧时,P的横坐标为-4当PQ与AB互相平分时,PQ过AB的中点(1,0),可得P的横坐标为2故P的坐标为(4,)或(-4,7)或(2,-1)
29.(2011安徽芜湖,24,14分)平面直角坐标系中,如图放置,点A、C的坐标分别为、,将此平行四边形绕点O顺时针旋转,得到.
(1)若抛物线过点求此抛物线的解析式;
(2)求和重叠部分的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点的坐标.【答案】解:
(1)∵由旋转得到,且点A的坐标为,∴点的坐标为.……………………………………1分所以抛物线过点.设抛物线的解析式为,可得解得……………………4分∴过点的抛物线的解析式为.……………………5分
(2)因为,所以.所以.又∴△∽△.又.………………7分∴.又△的周长为,所以△的周长为.………………9分
(3)[解法1]连接,设M点的坐标为,因为点M在抛物线上,所以,………10分所以……………12分因为,所以当时,.△的面积有最大值…………13分所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为…14分[解法2]设直线的解析式为,∵点的坐标分别为,∴解得∴.…10分将直线向右平移,当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P,此时最大,设平移后的直线的解析式为,则有得,令,得.∴.解得∴点坐标为点P的坐标为.…12分因为MP∥所以△与△同底等高,它们面积相等.故.所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为……14分
30.(2011山东潍坊,24,12分)如图,y关于x的二次函数图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆,圆心为C,定点E的坐标为(-30),连接ED.(m>0)
(1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线ED与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.【解】
(1),,.
(2)设直线ED的解析式为,将、代入,得解得∴直线ED的解析式为.∵,∴顶点M的坐标为.把代入,得.∵,∴.∴当时,点M在直线DE上.连接CD,C为AB中点,C点坐标为.∵,∴CD=2,点D在圆上.又∵OE=3,,,.∴.∴∠EDC=90°,∴直线ED与⊙C相切.
(3)当时,,即.当时,,即.图象示意图如图中的实线部分.
12.(2011广东中山,229分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.【解】
(1)把x=0代入,得把x=3代入,得,∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得,解得所以,
(2)把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和∴MN=-()=即∵点P在线段OC上移动,∴0≤t≤
3.3在四边形BCMN中,∵BC∥MN∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形由,得即当时,四边形BCMN为平行四边形当时,PC=2,PM=,由勾股定理求得CM=此时BC=CM,平行四边形BCMN为菱形;当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
3.(2011四川成都,2010分)如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.1若BK=KC,求的值;2连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系请写出你的结论并予以证明.再探究当AE=AD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论,不必证明.【答案】解
(1)∵AB∥CD,BK=KC,∴==.
(2)如图所示,分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点,∵BE∥DG,点E是AD的点,∴AB=BG;∵CD∥FG,CD∥AG,∴四边形CDGF是平行四边形,∴CD=FG;∵∠ABE=∠EBC,BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF,∠ABE=∠BFC,∴BC=BF,∴AB-CD=BG-FG=BF=BC,∴AB=BC+CD.当AE=AD时,()AB=BC+CD.葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆膄膇莁羂膃荿蚆袈膂蒁葿螄膁膁蚄蚀膀芃蒇罿膀莅蚃袅艿蒈蒅螁芈膇蚁蚇芇芀蒄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈芅芄螈螄袁莆薀蚀袀葿螆羈罿膈蕿袄羈芁螄螀羈莃薇螆羇薅莀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄葿蚃螃羃腿蒆虿肂芁蚂羇肂莄蒅袃肁薆蚀衿肀芆蒃螅聿莈螈蚁肈蒀薁羀肇膀螇袆肆节蕿螂膆莅螅蚈膅蒇薈羆羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿螄膆芇蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莁薄袈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁蚄肇莆芄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀蚁羀莁蚆蚀肃薆薂螀膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒆薅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