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第二章推理与证明综合检测时间120分钟,满分150分
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.锐角三角形的面积等于底乘高的一半;直角三角形的面积等于底乘高的一半;钝角三角形的面积等于底乘高的一半;所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半.以上推理运用的推理规则是 A.三段论推理 B.假言推理C.关系推理D.完全归纳推理[答案] D[解析] 所有三角形按角分,只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形,上述推理穷尽了所有的可能情形,故为完全归纳推理.2.数列1361015,…的递推公式可能是 A.B.C.D.[答案] B[解析] 记数列为{an},由已知观察规律a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,…,可知当n≥2时,an比an-1多n,可得递推关系n≥2,n∈N*.3.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,因为 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确,其推理形式错误.故应选C.4.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n+3=n∈N*时,验证n=1,左边应取的项是 A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4[答案] D[解析] 当n=1时,左=1+2+…+1+3=1+2+…+4,故应选D.5.在R上定义运算⊗x⊗y=x1-y.若不等式x-a⊗x+a<1对任意实数x都成立,则 A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式,得到不等式x-a⊗x+a1的简化形式,再求其恒成立时a的取值范围.x-a⊗x+a1⇔x-a1-x-a1即x2-x-a2+a+10不等式恒成立的充要条件是Δ=1-4-a2+a+10即4a2-4a-30解得-a.故应选C.6.已知fn=+++…+,则 A.fn中共有n项,当n=2时,f2=+B.fn中共有n+1项,当n=2时,f2=++C.fn中共有n2-n项,当n=2时,f2=+D.fn中共有n2-n+1项,当n=2时,f2=++[答案] D[解析] 项数为n2-n-1=n2-n+1,故应选D.7.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值 A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0[答案] D[解析] 解法1∵a+b+c=0,∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+ac+bc=-≤
0.解法2令c=0,若b=0,则ab+bc+ac=0,否则a、b异号,∴ab+bc+ac=ab<0,排除A、B、C,选D.8.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是 A.a>bB.a<bC.a=bD.a、b大小不定[答案] B[解析] a=-=,b=-=,因为0,0,所以++0,所以ab.9.若凸k边形的内角和为fk,则凸k+1边形的内角和fk+1k≥3且k∈N*等于 A.fk+B.fk+πC.fk+πD.fk+2π[答案] B[解析] 由凸k边形到凸k+1边形,增加了一个三角形,故fk+1=fk+π.10.若==,则△ABC是 A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵==,由正弦定理得,==,∴===,∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.11.若a>0,b>0,则p=ab与q=ab·ba的大小关系是 A.p≥qB.p≤qC.p>qD.p<q[答案] A若a>b,则>1,a-b>0,∴>1;若0<a<b,则0<<1,a-b<0,∴>1;若a=b,则=1,∴p≥q.12.设函数fx定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=fxn,则x2011= x12345fx41352A.1B.2C.4D.5[答案] C[解析] x1=fx0=f5=2,x2=f2=1,x3=f1=4,x4=f4=5,x5=f5=2,…,数列{xn}是周期为4的数列,所以x2011=x3=4,故应选C.
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上13.半径为r的圆的面积Sr=πr2,周长Cr=2πr,若将r看作0,+∞上的变量,则πr2′=2πr.
①①式可用语言叙述为圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看作0,+∞上的变量,请你写出类似于
①式的式子______________________________,你所写的式子可用语言叙述为__________________________.[答案] ′=4πR2;球的体积函数的导数等于球的表面积函数.14.已知fn=1+++…+n∈N*,用数学归纳法证明f2n时,f2k+1-f2k=________.[答案] ++…+[解析] f2k+1=1+++…+f2k=1+++…+f2k+1-f2k=++…+.15.观察
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________.[答案] sin2α+cos230°+α+sinαcos30°+α=[解析] 观察40°-10°=30°,36°-6°=30°,由此猜想sin2α+cos230°+α+sinαcos30°+α=.可以证明此结论是正确的,证明如下sin2α+cos230°+α+sinα·cos30°+α=++[sin30°+2α-sin30°]=1+[cos60°+2α-cos2α]+sin30°+2α-=1+[-2sin30°+2αsin30°]+sin30°+2α-=-sin30°+2α+sin30°+2α=.16.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、∈P除数b≠0,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题
①整数集是数域;
②若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;
③数域必为无限集;
④存在无穷多个数域.其中正确命题的序号是________.把你认为正确命题的序号都填上[答案]
③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力.
①整数a=2,b=4,不是整数;
②如将有理数集Q,添上元素,得到数集M,则取a=3,b=,a+b∉M;
③由数域P的定义知,若a∈P,b∈PP中至少含有两个元素,则有a+b∈P,从而a+2b,a+3b,…,a+nb∈P,∴P中必含有无穷多个元素,∴
③对.
④设x是一个非完全平方正整数x1,a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+b|a、b∈Q}必是数域,这样的数域F有无穷多个.
三、解答题本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本题满分12分已知a、b、c∈R,且a+b+c=
1.求证a2+b2+c2≥.[证明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.∴3a2+b2+c2≥a2+b2+c2+2ab+bc+ca=a+b+c
2.由a+b+c=1,得3a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2≥.18.本题满分12分证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论.2cos=,2cos=,2cos=,……[证明] 2cos=2·=2cos=2=2·=2cos=2=2=…19.本题满分12分已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2·an-1-
1.1求a
2、a
3、a4;2求证数列是等差数列,并写出数列{an}的一个通项公式.[解析] 1由an·an-1=2·an-1-1得an=2-,代入a1=3,n依次取值234,得a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.2证明由an·an-1=2·an-1-1变形,得an-1·an-1-1=-an-1+an-1-1,即-=1,所以{}是等差数列.由=,所以=+n-1,变形得an-1=,所以an=为数列{an}的一个通项公式.20.本题满分12分已知函数fx=ax+a1.1证明函数fx在-1,+∞上为增函数;2用反证法证明方程fx=0没有负根.[解析] 1证法1任取x1,x2∈-1,+∞,不妨设x1x2,则x2-x10,且ax10,又∵x1+10,x2+10,∴fx2-fx1=-==0,于是fx2-fx1=ax2-ax1+-0,故函数fx在-1,+∞上为增函数.证法2f′x=axlna+=axlna+∵a1,∴lna0,∴axlna+0,f′x0在-1,+∞上恒成立,即fx在-1,+∞上为增函数.2解法1设存在x00x0≠-1满足fx0=0则ax0=-,且0ax
01.∴0-1,即x02,与假设x00矛盾.故方程fx=0没有负数根.解法2设x00x0≠-1
①若-1x00,则-2,ax01,∴fx0-
1.
②若x0-1则0,ax00,∴fx
00.综上,x0x≠-1时,fx-1或fx0,即方程fx=0无负根.21.本题满分12分我们知道,在△ABC中,若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形.现在请你研究若cn=an+bnn>2,问△ABC为何种三角形?为什么?[解析] 锐角三角形 ∵cn=an+bnn>2,∴c>ac>b,由c是△ABC的最大边,所以要证△ABC是锐角三角形,只需证角C为锐角,即证cosC>
0.∵cosC=,∴要证cosC>0,只要证a2+b2>c2,
①注意到条件an+bn=cn,于是将
①等价变形为a2+b2cn-2>cn.
②∵c>a,c>b,n>2,∴cn-2>an-2,cn-2>bn-2,即cn-2-an-2>0,cn-2-bn-2>0,从而a2+b2cn-2-cn=a2+b2cn-2-an-bn=a2cn-2-an-2+b2cn-2-bn-2>0,这说明
②式成立,从而
①式也成立.故cosC>0,C是锐角,△ABC为锐角三角形.22.本题满分14分2010·安徽理,20设数列a1,a2,…an,…中的每一项都不为
0.证明{an}为等差数列的充分必要条件是对任何n∈N+,都有++…+=.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力.解题思路是利用裂项求和法证必要性,再用数学归纳法或综合法证明充分性.[证明] 先证必要性.设数列{an}的公差为d.若d=0,则所述等式显然成立.若d≠0,则++…+=====.再证充分性.证法1数学归纳法设所述的等式对一切n∈N+都成立.首先,在等式+=两端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.假设ak=a1+k-1d,当n=k+1时,观察如下两个等式++…+=,
①++…++=
②将
①代入
②,得+=,在该式两端同乘a1akak+1,得k-1ak+1+a1=kak.将ak=a1+k-1d代入其中,整理后,得ak+1=a1+kd.由数学归纳法原理知,对一切n∈N,都有an=a1+n-1d,所以{an}是公差为d的等差数列.证法2直接证法依题意有++…+=,
①++…++=.
②②-
①得=-,在上式两端同乘a1an+1an+2,得a1=n+1an+1-nan+
2.
③同理可得a1=nan-n-1an+1n≥2
④③-
④得2nan+1=nan+2+an即an+2-an+1=an+1-an,由证法1知a3-a2=a2-a1,故上式对任意n∈N*均成立.所以{an}是等差数列.。