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新人教B版2012届高三单元测试5必修2第二章《平面解析几何初步》本卷共150分,考试时间120分钟
一、选择题本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.直线3ax-y-1=0与直线a-x+y+1=0垂直,则a的值是 A.-1或 B.1或C.-或-1D.-或1解析选D.由3aa-+-1×1=0,得a=-或a=
1.2.直线l1ax-y+b=0,l2bx-y+a=0a≠0,b≠0,a≠b在同一坐标系中的图形大致是图中的 解析选C.直线l1ax-y+b=0,斜率为a,在y轴上的截距为b,设k1=a,m1=b.直线l2bx-y+a=0,斜率为b,在y轴上的截距为a,设k2=b,m2=a.由A知因为l1∥l2,k1=k20,m1m20,即a=b0,ba0,矛盾.由B知k10k2,m1m20,即a0b,ba0,矛盾.由C知k1k20,m2m10,即ab0,可以成立.由D知k1k20,m20m1,即ab0,a0b,矛盾.3.已知点A-11和圆C x-52+y-72=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 A.6-2B.8C.4D.10解析选B.点A关于x轴对称点A′-1,-1,A′与圆心57的距离为=
10.∴所求最短路程为10-2=
8.4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是 A.相离B.相切C.相交D.内含解析选D.圆x2+y2=1的圆心为00,半径为1,圆x2+y2=4的圆心为00,半径为2,则圆心距02-1=1,所以两圆内含.5.已知圆C x-a2+y-22=4a0及直线l x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a的值等于 A.B.-1C.2-D.+1解析选B.圆心a2到直线l x-y+3=0的距离d==,依题意2+2=4,解得a=-
1.6.与直线2x+3y-6=0关于点1,-1对称的直线是 A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0,∴设所求直线方程为2x+3y+c=0,由=,∴c=8,或c=-6舍去,∴所求直线方程为2x+3y+8=
0.7.若直线y-2=kx-1与圆x2+y2=1相切,则切线方程为 A.y-2=1-xB.y-2=x-1C.x=1或y-2=1-xD.x=1或y-2=x-1解析选B.数形结合答案容易错选D,但要注意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜率存在,它与直线过点12要有所区分.8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有 A.0个B.1个C.2个D.随a值变化而变化解析选C.直线y=ax+1过定点01,而该点一定在圆内部.9.过P54作圆C x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是 A.5B.10C.15D.20解析选B.∵圆C的圆心为11,半径为.∴|PC|==5,∴|PA|=|PB|==2,∴S=×2××2=
10.10.若直线mx+2ny-4=0m、n∈R,n≠m始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是 A.01B.0,-1C.-∞,1D.-∞,-1解析选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为x-22+y-12=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心21,所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m2-m=-m2+2m=-m-12+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<
1.11.已知直线l y=x+m与曲线y=有两个公共点,则实数m的取值范围是 A.-22B.-11C.[1,D.-,解析选C.曲线y=表示单位圆的上半部分,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观察出仅当直线l在过点-10与点01的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点.当直线l过点-10时,m=1;当直线l为圆的上切线时,m=注m=-,直线l为下切线.12.过点P-24作圆O x-22+y-12=25的切线l,直线m ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为 A.4B.2C.D.解析选A.∵点P在圆上,∴切线l的斜率k=-=-=.∴直线l的方程为y-4=x+2,即4x-3y+20=
0.又直线m与l平行,∴直线m的方程为4x-3y=
0.故两平行直线的距离为d==
4.
二、填空题本大题共4小题,请把答案填在题中横线上13.过点A1,-1,B-11且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.解析易求得AB的中点为00,斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O11,半径r=|OA|=
2.答案x-12+y-12=414.过点P-20作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点,则|PA|·|PB|=________.解析过P作圆的切线PC,切点为C,在Rt△POC中,易求|PC|=,由切割线定理,|PA|·|PB|=|PC|2=
3.答案315.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为________.解析已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-.∵两直线垂直,∴-2·-=-1,得a=-
1.圆心到切线的距离为,即=,∴c=±5,故ac=±
5.答案±516.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是__________.解析将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,得x-12+y+22=1,圆心为1,-2,半径为
1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d==>1,∴m<0或m>
10.答案-∞,0∪10,+∞
三、解答题本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A12,求BC边所在的直线方程.解AC边上的高线2x-3y+1=0,所以kAC=-.所以AC的方程为y-2=-x-1,即3x+2y-7=0,同理可求直线AB的方程为x-y+1=
0.下面求直线BC的方程,由得顶点C7,-7,由得顶点B-2,-1.所以kBC=-,直线BC y+1=-x+2,即2x+3y+7=
0.18.一束光线l自A-33发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.1求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;2求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.解圆C的方程可化为x-22+y-22=
1.1圆心C关于x轴的对称点为C′2,-2,过点A,C′的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.2A关于x轴的对称点为A′-3,-3,设过点A′的直线为y+3=kx+3.当该直线与圆C相切时,有=1,解得k=或k=,所以过点A′的圆C的两条切线分别为y+3=x+3,y+3=x+3.令y=0,得x1=-,x2=1,所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-,1].19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=
0.1此方程表示圆,求m的取值范围;2若1中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM⊥ONO为坐标原点,求m的值;3在2的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解1方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为x-12+y-22=5-m,∵此方程表示圆,∴5-m>0,即m<
5.2消去x得4-2y2+y2-2×4-2y-4y+m=0,化简得5y2-16y+m+8=
0.设Mx1,y1,Nx2,y2,则由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0即y1y2+4-2y14-2y2=0,∴16-8y1+y2+5y1y2=
0.将
①②两式代入上式得16-8×+5×=0,解之得m=.3由m=,代入5y2-16y+m+8=0,化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1=,y2=.∴x1=4-2y1=-,x2=4-2y2=.∴M,N,∴MN的中点C的坐标为.又|MN|==,∴所求圆的半径为.∴所求圆的方程为2+2=.
20.已知圆O x2+y2=1和定点A21,由圆O外一点Pa,b向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.1求a、b间关系;2求|PQ|的最小值;3以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.解1连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形,又|PQ|=|PA|,所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2,所以a2+b2=1+a-22+b-12,故2a+b-3=
0.2由1知,P在直线l2x+y-3=0上,所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离,所以|PQ|min==.或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5a-
1.22+
0.8,得|PQ|min=.3以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0,所以r=-1=-1,又l′x-2y=0,联立l2x+y-3=0得P0,.所以所求圆的方程为x-2+y-2=-
12.21.有一圆与直线l4x-3y+6=0相切于点A36,且经过点B52,求此圆的方程.解法一由题意可设所求的方程为x-32+y-62+λ4x-3y+6=0,又因为此圆过点52,将坐标52代入圆的方程求得λ=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=
0.法二设圆的方程为x-a2+y-b2=r2,则圆心为Ca,b,由|CA|=|CB|,CA⊥l,得解得所以所求圆的方程为x-52+y-2=.法三设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CA⊥l,A36,B52在圆上,得解得所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=
0.法四设圆心为C,则CA⊥l,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y-6=-x-3,即3x+4y-33=
0.又因为kAB==-2,所以kBP=,所以直线BP的方程为x-2y-1=
0.解方程组得所以P73.所以圆心为AP的中点5,,半径为|AC|=.所以所求圆的方程为x-52+y-2=.22.如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1x+32+y-12=4和圆C2x-42+y-52=
4.1若直线l过点A40,且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;2设P为平面上的点,满足存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.解1由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-4,圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为圆C1被直线l截得的弦长为2,所以d==
1.由点到直线的距离公式得d=,从而k24k+7=0,即k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=
0.2设点Pa,b满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=kx-a,k≠0,则直线l2的方程为y-b=-x-a.因为圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即a+b-2k=b-a+3或a-b+8k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P
2.经检验点P1和P2满足题目条件.。