新人教B版2012届高三单元测试5必修2第二章《平面解析几何初步》

新人教B版2012届高三单元测试5必修2第二章《平面解析几何初步》本卷共150分，考试时间120分钟

一、选择题本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．直线3ax－y－1＝0与直线a－x＋y＋1＝0垂直，则a的值是　　A．－1或　　　　　　　　　B．1或C．－或－1D．－或1解析选D.由3aa－＋－1×1＝0，得a＝－或a＝

1.2．直线l1ax－y＋b＝0，l2bx－y＋a＝0a≠0，b≠0，a≠b在同一坐标系中的图形大致是图中的　　解析选C.直线l1ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，设k1＝a，m1＝b.直线l2bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2＝b，m2＝a.由A知因为l1∥l2，k1＝k20，m1m20，即a＝b0，ba0，矛盾．由B知k10k2，m1m20，即a0b，ba0，矛盾．由C知k1k20，m2m10，即ab0，可以成立．由D知k1k20，m20m1，即ab0，a0b，矛盾．3．已知点A－11和圆C x－52＋y－72＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是　　A．6－2B．8C．4D．10解析选B.点A关于x轴对称点A′－1，－1，A′与圆心57的距离为＝

10.∴所求最短路程为10－2＝

8.4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是　　A．相离B．相切C．相交D．内含解析选D.圆x2＋y2＝1的圆心为00，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为00，半径为2，则圆心距02－1＝1，所以两圆内含．5．已知圆C x－a2＋y－22＝4a0及直线l x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于　　A.B.－1C．2－D.＋1解析选B.圆心a2到直线l x－y＋3＝0的距离d＝＝，依题意2＋2＝4，解得a＝－

1.6．与直线2x＋3y－6＝0关于点1，－1对称的直线是　　A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，∴设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，由＝，∴c＝8，或c＝－6舍去，∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝

0.7．若直线y－2＝kx－1与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为　　A．y－2＝1－xB．y－2＝x－1C．x＝1或y－2＝1－xD．x＝1或y－2＝x－1解析选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点12要有所区分．8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有　　A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化解析选C.直线y＝ax＋1过定点01，而该点一定在圆内部．9．过P54作圆C x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是　　A．5B．10C．15D．20解析选B.∵圆C的圆心为11，半径为.∴|PC|＝＝5，∴|PA|＝|PB|＝＝2，∴S＝×2××2＝

10.10．若直线mx＋2ny－4＝0m、n∈R，n≠m始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是　　A．01B．0，－1C．－∞，1D．－∞，－1解析选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为x－22＋y－12＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心21，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m2－m＝－m2＋2m＝－m－12＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜

1.11．已知直线l y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点，则实数m的取值范围是　　A．－22B．－11C．[1，D．－，解析选C.曲线y＝表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点－10与点01的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．当直线l过点－10时，m＝1；当直线l为圆的上切线时，m＝注m＝－，直线l为下切线．12．过点P－24作圆O x－22＋y－12＝25的切线l，直线m ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为　　A．4B．2C.D.解析选A.∵点P在圆上，∴切线l的斜率k＝－＝－＝.∴直线l的方程为y－4＝x＋2，即4x－3y＋20＝

0.又直线m与l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝

0.故两平行直线的距离为d＝＝

4.

二、填空题本大题共4小题，请把答案填在题中横线上13．过点A1，－1，B－11且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．解析易求得AB的中点为00，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O11，半径r＝|OA|＝

2.答案x－12＋y－12＝414．过点P－20作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.解析过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝，由切割线定理，|PA|·|PB|＝|PC|2＝

3.答案315．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．解析已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－.∵两直线垂直，∴－2·－＝－1，得a＝－

1.圆心到切线的距离为，即＝，∴c＝±5，故ac＝±

5.答案±516．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．解析将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得x－12＋y＋22＝1，圆心为1，－2，半径为

1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝＝＞1，∴m＜0或m＞

10.答案－∞，0∪10，＋∞

三、解答题本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A12，求BC边所在的直线方程．解AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以kAC＝－.所以AC的方程为y－2＝－x－1，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝

0.下面求直线BC的方程，由得顶点C7，－7，由得顶点B－2，－1．所以kBC＝－，直线BC y＋1＝－x＋2，即2x＋3y＋7＝

0.18．一束光线l自A－33发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．1求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；2求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．解圆C的方程可化为x－22＋y－22＝

1.1圆心C关于x轴的对称点为C′2，－2，过点A，C′的直线的方程x＋y＝0即为光线l所在直线的方程．2A关于x轴的对称点为A′－3，－3，设过点A′的直线为y＋3＝kx＋3．当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k＝，所以过点A′的圆C的两条切线分别为y＋3＝x＋3，y＋3＝x＋3．令y＝0，得x1＝－，x2＝1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－，1]．19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝

0.1此方程表示圆，求m的取值范围；2若1中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ONO为坐标原点，求m的值；3在2的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解1方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为x－12＋y－22＝5－m，∵此方程表示圆，∴5－m＞0，即m＜

5.2消去x得4－2y2＋y2－2×4－2y－4y＋m＝0，化简得5y2－16y＋m＋8＝

0.设Mx1，y1，Nx2，y2，则由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0即y1y2＋4－2y14－2y2＝0，∴16－8y1＋y2＋5y1y2＝

0.将

①②两式代入上式得16－8×＋5×＝0，解之得m＝.3由m＝，代入5y2－16y＋m＋8＝0，化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝，y2＝.∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.∴M，N，∴MN的中点C的坐标为.又|MN|＝＝，∴所求圆的半径为.∴所求圆的方程为2＋2＝.

20.已知圆O x2＋y2＝1和定点A21，由圆O外一点Pa，b向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．1求a、b间关系；2求|PQ|的最小值；3以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解1连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋a－22＋b－12，故2a＋b－3＝

0.2由1知，P在直线l2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝＝.或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5a－

1.22＋

0.8，得|PQ|min＝.3以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，又l′x－2y＝0，联立l2x＋y－3＝0得P0，．所以所求圆的方程为x－2＋y－2＝－

12.21．有一圆与直线l4x－3y＋6＝0相切于点A36，且经过点B52，求此圆的方程．解法一由题意可设所求的方程为x－32＋y－62＋λ4x－3y＋6＝0，又因为此圆过点52，将坐标52代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝

0.法二设圆的方程为x－a2＋y－b2＝r2，则圆心为Ca，b，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得解得所以所求圆的方程为x－52＋y－2＝.法三设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A36，B52在圆上，得解得所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝

0.法四设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－x－3，即3x＋4y－33＝

0.又因为kAB＝＝－2，所以kBP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝

0.解方程组得所以P73．所以圆心为AP的中点5，，半径为|AC|＝.所以所求圆的方程为x－52＋y－2＝.22．如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1x＋32＋y－12＝4和圆C2x－42＋y－52＝

4.1若直线l过点A40，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；2设P为平面上的点，满足存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．解1由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx－4，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d＝＝

1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k24k＋7＝0，即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝

0.2设点Pa，b满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝kx－a，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－x－a．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即a＋b－2k＝b－a＋3或a－b＋8k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P

2.经检验点P1和P2满足题目条件．。