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中考试题分类汇编(相交线平行线三角形)
一、选择题
1、(2007河北省)如图1,直线a,b相交于点O,若∠1等于40°,则∠2等于()CA.50°B.60°C.140°D.160°
1、(2007浙江义乌)如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是( )AA.3 B.4 C.5 D.
62、(2007重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为()C(A)200(B)1200(C)200或1200(D)
3603、(2007浙江义乌)如图,AB∥CD,∠1=110°∠ECD=70°,∠E的大小是( )BA.30° B.40° C.50° D.60°
5、(2007天津)下列判断中错误的是()BA.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
4、(2007甘肃陇南)如图,在△ABC中,DE∥BC,若,DE=4,则BC=( )DA.9 B.10C. 11 D.125(2007四川资阳)如图5,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于CA.90°B.135°C.270°D.315°
6、(2007四川资阳)如图8,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=60cm,AB=100cm,a、b、c…是在△ABC内部的矩形,它们的一个顶点在AB上,一组对边分别在AC上或与AC平行,另一组对边分别在BC上或与BC平行.若各矩形在AC上的边长相等,矩形a的一边长是72cm,则这样的矩形a、b、c…的个数是DA.6B.7C.8D.
97、(2007浙江临安)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为()AA.B.C.D.
8、(2007福建晋江)如图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折,若DE=,则下列说法正确的个数有()C
①DC′平分∠BDE;
②BC长为;
③△BC′D是等腰三角形;
④△CED的周长等于BC的长A.1个;B.2个;C.3个;D.4个
9、(2007山东日照)某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地,腰长为100米,直角顶点为A.小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块,有如下的分割方法方法一在底边BC上找一点D,连接AD作为分割线;方法二在腰AC上找一点D,连接BD作为分割线;方法三在腰AB上找一点D,作DE∥BC,交AC于点E,DE作为分割线;方法四以顶点A为圆心,AD为半径作弧,交AB于点D,交AC于点E,弧DE作为分割线.这些分割方法中分割线最短的是( )A(A)方法一(B)方法二(C)方法三(D)方法
四二、填空题1.(2007广西南宁)如图1,直线被直线所截,若,,则.
602、(2007云南双柏)等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为.
93、(2007浙江义乌)如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,已知DE=6cm,则BC=___▲___cm.
124、(2007福建福州)如图5,点分别在线段上,相交于点,要使,需添加一个条件是(只要写一个条件).解,,,(任选一个即可)
5、(2007四川德阳)如图,已知等腰的面积为,点分别是边的中点,则梯形的面积为______.
66、(2007浙江杭州)一个等腰三角形的一个外角等于,则这个三角形的三个角应该为
7、(2007天津)如图,中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=___
38、(2007辽宁大连)如图5,为测量学校旗杆的高度,小东用长为
3.2m的竹竿做测量工具.移动竹竿,全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22米,则旗杆的高为_____________m.
129、(2007湖南岳阳)已知等腰△ABC中,AB=AC,∠B=60°,则∠A=_________(答案60°)
10、(2007浙江金华)如图,在由24个边长都为1的小正三角形的网格中,点是正六边形的一个顶点,以点为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长.
11、(2007湖南怀化)如图分别是的中点,,,分别是,,的中点这样延续下去.已知的周长是,的周长是,的周长是的周长是,则.
12、(2007四川资阳)如图4,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A
1、B
1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A
1、B
1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B
1、B1C
1、C1A1至点A
2、B
2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A
2、B
2、C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2;…;按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积S5=_____________.
2476099.
三、解答题
1、(2007浙江温州)已知如图,HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.DSMT
4.
2、(2007重庆)已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE求证
(1)△ABC≌△DEF;
(2)GF=GC证明
(1)∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF又∵AB⊥BE,DE⊥BE∴∠B=∠E=900又∵AB=DE∴△ABC≌△DEF
(2)∵△ABC≌△DEF∴∠ACB=∠DFE∴GF=GC
3、(2007浙江金华)如图,在同一直线上,在与中,,,.
(1)求证;
(2)你还可以得到的结论是(写出一个即可,不再添加其它线段,不再标注或使用其它字母).
(1)证明,,在和中
(2)答案不惟一,如,,等.
4、(2007甘肃陇南)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,添加一个条件,使DE=DF,并说明理由.解需添加条件是.理由是解需添加的条件是BD=CD,或BE=CF.………………2分添加BD=CD的理由如图,∵AB=AC,∴∠B=∠C. …………………4分又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BDE=∠CDF.…………………6分∴△BDE≌△CDFASA.∴DE=DF.………8分添加BE=CF的理由如图,∵AB=AC,∴∠B=∠C.………………4分∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD.…………6分又∵BE=CF,∴△BDE≌△CDFASA.∴DE=DF.
5、(2007湖南怀化)如图,,,,求证证明即又,
6、(2007南充)如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.解AD是△ABC的中线.理由如下在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵ BE=CF,∠BDE=∠CDF,∴ Rt△BDE≌Rt△CDF.∴ BD=CD.故AD是△ABC的中线.
7、(2007浙江杭州)如图,已知的中垂线交于点,交于点,有下面4个结论
①射线是的角平分线;
②是等腰三角形;
③∽;
④≌
(1)判断其中正确的结论是哪几个?
(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明
(1)正确的结论是
①、
②、
③;
(2)证明略
8、(2007四川乐山)如图
(11),在等边中,点分别在边上,且,与交于点.
(1)求证;
(2)求的度数.
(1)证明是等边三角形,,又,4分.5分
(2)解由
(1),得6分9分
9、(2007重庆)已知,如图△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=900,AB=10,D为△ABC外一点,边结AD、BD,过D作DH⊥AB,垂足为H,交AC于E
(1)若△ABD是等边三角形,求DE的长;
(2)若BD=AB,且,求DE的长解
(1)∵△ABD是等边三角形,AB=10,∴∠ADB=600,AD=AB=10∵DH⊥AB∴AH=AB=5,∴DH=∵△ABC是等腰直角三角形∴∠CAB=450∴∠AEH=450∴EH=AH=5,∴DE=DH-EH=
(2)∵DH⊥AB且,∴可设BH=,则DH=,DB=∵BD=AB=10∴解得∴DH=8,BH=6,AH=4又∵EH=AH=4,∴DE=DH-EH=
410、(2007四川乐山)如图
(13),在矩形中,,.直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合),一直角边经过点,另一直角边交于点.我们知道,结论“”成立.
(1)当时,求的长;
(2)是否存在这样的点,使的周长等于周长的倍?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.我选做的是_____________________.解
(1)在中,由,得,由知,.
(2)假设存在满足条件的点,设,则由知,,解得,此时,符合题意.
11、(2007山东青岛)已知如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;
(3)设PQ的长为x(cm),试确定y与x之间的关系式.解⑴根据题意AP=tcm,BQ=tcm.△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,∴BP=3-tcm.△PBQ中,BP=3-t,BQ=t,若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°.当∠BQP=90°时,BQ=BP.即t=3-t,t=1秒.当∠BPQ=90°时,BP=BQ.3-t=t,t=2秒.答当t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.⑵过P作PM⊥BC于M.Rt△BPM中,sin∠B=,∴PM=PB·sin∠B=3-t.∴S△PBQ=BQ·PM=·t·3-t.∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-·t·3-t=.∴y与t的关系式为y=.假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的,则S四边形APQC=S△ABC.∴=××32×.∴t2-3t+3=0.∵-32-4×1×3<0,∴方程无解.∴无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的.……8′⑶在Rt△PQM中,MQ==.MQ2+PM2=PQ2.∴x2=[1-t]2+[3-t]2===3t2-9t+9.∴t2-3t=.∵y=,∴y===.∴y与x的关系式为y=.
12、(2007甘肃白银等)如图,已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h
1、h
2、h3,△ABC的高为h.在图
(1)中,点P是边BC的中点,此时h3=0,可得结论.在图
(2)--
(5)中,点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外.
(1)请探究图
(2)--
(5)中,h
1、h
2、h
3、h之间的关系;(直接写出结论)
(2)证明图
(2)所得结论;
(3)证明图
(4)所得结论.
(4)(附加题2分)在图
(6)中,若四边形RBCS是等腰梯形,∠B=∠C=60o,RS=n,BC=m,点P在梯形内,且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h
1、h
2、h
3、h4,桥形的高为h,则h
1、h
2、h
3、h
4、h之间的关系为;图
(4)与图
(6)中的等式有何关系?解
(1)图
②—
⑤中的关系依次是h1+h2+h3=h;h1-h2+h3=h;h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h.
(2)图
②中,h1+h2+h3=h.证法一∵h1=BPsin60o,h2=PCsin60o,h3=0,∴h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o=BCsin60o=ACsin60o=h.证法二连结AP,则SΔAPB+SΔAPC=SΔABC.∴.又h3=0,AB=AC=BC,∴h1+h2+h3==h.
(3)证明图
④中,h1+h2+h3=h.过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S.在△ARS中,由图
②中结论知h1+h2+0=h-h3.∴h1+h2+h3=h.说明
(2)与
(3)问,通过作辅助线,利用证全等三角形的方法类似给分.
(4)h1+h3+h4=.让R、S延BR、CS延长线向上平移,当n=0时,图
⑥变为图
④,上面的等式就是图
④中的等式,所以上面结论是图
④中结论的推广.ab12O图1图5图8ABCABCBCDEC′E12图1cab图5ADECB第5题图P…^ABC第19题图图4ABDEFC12ABCDFE(第7题)DAEFBC图
(11)PAEBCD图
(13)FABCDEPM4ABCDEPM3ABCDEPM2ABCDEMP1ABCDEPM5FABCDEPM6RS。