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2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则▲.2.某学校高
一、高
二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取▲名学生.153.设,(i为虚数单位),则的值为▲.84.(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是▲.55.(2012年江苏省5分)函数的定义域为▲.6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲.7.如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为▲cm3.68.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为▲.29.如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是▲.10.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值为▲11.设为锐角,若,则的值为▲12.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是13.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为▲.914.已知正数满足则的取值范围是▲.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中,已知.
(1)求证;
(2)若求A的值.【答案】解
(1)∵,∴,即由正弦定理,得,∴又∵,∴∴即
(2)∵,∴∴∴,即∴由
(1),得,解得∵,∴∴17.(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为
3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【答案】解
(1)在中,令,得由实际意义和题设条件知∴,当且仅当时取等号∴炮的最大射程是10千米
(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,即关于的方程有正根由得此时,(不考虑另一根)∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标18.(2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.【答案】解
(1)由,得∵1和是函数的两个极值点,∴,,解得
(2)∵由
(1)得,,∴,解得∵当时,;当时,,∴是的极值点∵当或时,,∴不是的极值点∴的极值点是-2
(3)令,则先讨论关于的方程根的情况当时,由
(2)可知,的两个不同的根为I和一2,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2当时,∵,,∴一2-1,1,2都不是的根由
(1)知
①当时,,于是是单调增函数,从而此时在无实根
②当时.,于是是单调增函数又∵,,的图象不间断,∴在
(12)内有唯一实根同理,在(一2,一I)内有唯一实根
③当时,,于是是单调减两数又∵,,的图象不间断,∴在(一1,1)内有唯一实根因此,当时,有两个不同的根满足;当时有三个不同的根,满足现考虑函数的零点i)当时,有两个根,满足而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5个零点11)当时,有三个不同的根,满足而有三个不同的根,故有9个零点综上所述,当时,函数有5个零点;当时,函数有9个零点19.(2012年江苏省16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.(i)若,求直线的斜率;(ii)求证是定值.【答案】解
(1)由题设知,,由点在椭圆上,得,∴由点在椭圆上,得∴椭圆的方程为
(2)由
(1)得,,又∵∥,∴设、的方程分别为,∴∴
①同理,
②(i)由
①②得,解得=2∵注意到,∴∴直线的斜率为(ii)证明∵∥,∴,即∴由点在椭圆上知,,∴同理∴由
①②得,,,∴∴是定值20已知各项均为正数的两个数列和满足,,
(1)设,,求证数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.【答案】解
(1)∵,∴∴∴∴数列是以1为公差的等差数列
(2)∵,∴∴(﹡)设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明若则,∴当时,,与(﹡)矛盾若则,∴当时,,与(﹡)矛盾∴综上所述,∴,∴又∵,∴是公比是的等比数列若,则,于是又由即,得∴中至少有两项相同,与矛盾∴∴∴。