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文本内容:
学案22 简单的三角恒等变换导学目标
1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.
2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.自主梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式1sin2α=________________;2cos2α=______________=________________-1=1-________________;3tan2α=________________________α≠+且α≠kπ+.2.公式的逆向变换及有关变形1sinαcosα=____________________⇒cosα=;2降幂公式sin2α=________________,cos2α=________________;升幂公式1+cosα=________________,1-cosα=_____________;变形1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=________________________.自我检测1.2010·陕西函数fx=2sinxcosx是 A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数2.函数fx=cos2x-2sinx的最小值和最大值分别为 A.-31B.-22C.-3,D.-2,3.函数fx=sinxcosx的最小值是 A.-1B.-C.D.14.2011·清远月考已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sinA·sinB A.有最大值,最小值0B.有最小值,无最大值C.既无最大值也无最小值D.有最大值,无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.变式迁移1 2011·泰安模拟已知函数fx=.1求f的值;2当x∈时,求gx=fx+sin2x的最大值和最小值.探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin+2α·sin-2α=,α∈,,求2sin2α+tanα--1的值.变式迁移2 1已知α是第一象限角,且cosα=,求的值.2已知cosα+=,≤α,求cos2α+的值.探究点三 三角恒等式的证明例3 2011·苏北四市模拟已知sin2α+β=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=fx.1求证tanα+β=2tanα;2求fx的解析表达式;3若角α是一个三角形的最小内角,试求函数fx的值域.变式迁移3 求证=.转化与化归思想的应用例 12分2010·江西已知函数fx=sin2x+msinsin.1当m=0时,求fx在区间上的取值范围;2当tanα=2时,fα=,求m的值.【答题模板】解 1当m=0时,fx=sin2x=sin2x+sinxcosx==,[3分]由已知x∈,得2x-∈,[4分]所以sin∈,[5分]从而得fx的值域为.[6分]2fx=sin2x+sinxcosx-cos2x=+sin2x-cos2x=[sin2x-1+mcos2x]+,[8分]由tanα=2,得sin2α===,cos2α===-.[10分]所以=+,[11分]解得m=-
2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是1能求出数值的要求出数值;2使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;3分式中的分母尽量不含根式等.1.求值中主要有三类求值问题1“给角求值”一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.2“给值求值”给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则1在化简求值和证明时常用如下方法切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.2常用的拆角、拼角技巧如2α=α+β+α-β,α=α+β-β,α=α-β+β,=+,是的二倍角等.3化繁为简变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.消除差异消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.满分75分
一、选择题每小题5分,共25分1.2011·平顶山月考已知0απ,3sin2α=sinα,则cosα-π等于 A.B.-C.D.-2.已知tanα+β=,tan=,那么tan等于 A.B.C.D.3.2011·石家庄模拟已知cos2α=其中α∈,则sinα的值为 A.B.-C.D.-4.若fx=2tanx-,则f的值为 A.-B.8C.4D.-45.2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考在△ABC中,若cos2B+3cosA+C+2=0,则sinB的值是 A.B.C.D.1题号12345答案
二、填空题每小题4分,共12分6.2010·全国Ⅰ已知α为第二象限的角,且sinα=,则tan2α=________.7.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.8.若=-,则cosα+sinα的值为________.
三、解答题共38分9.12分化简1cos20°cos40°cos60°cos80°;
2.10.12分2011·南京模拟设函数fx=sinxcosx-cosxsin-.1求fx的最小正周期;2当∈时,求函数fx的最大值和最小值.11.14分2010·北京已知函数fx=2cos2x+sin2x-4cosx.1求f的值;2求fx的最大值和最小值.答案自主梳理1.12sinαcosα 2cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α3
2.1sin2α 2 2cos2 2sin2 sinα±cosα2自我检测1.C
2.C
3.B
4.D课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.解 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x1-cos2x=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=1-sin2x2+6,由于函数z=u-12+6在[-11]中的最大值为zmax=-1-12+6=10,最小值为zmin=1-12+6=6,故当sin2x=-1时,y取得最大值10,当sin2x=1时,y取得最小值
6.变式迁移1 解 1fx=====2cos2x,∴f=2cos=2cos=.2gx=cos2x+sin2x=sin.∵x∈,∴2x+∈,∴当x=时,gxmax=,当x=0时,gxmin=
1.例2 解题导引 1这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;2如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.解 由sin+2α·sin-2α=sin+2α·cos+2α=sin+4α=cos4α=,∴cos4α=,又α∈,,故α=,∴2sin2α+tanα--1=-cos2α+=-cos2α+=-cos-=.变式迁移2 解 1∵α是第一象限角,cosα=,∴sinα=.∴=====-.2cos2α+=cos2αcos-sin2αsin=cos2α-sin2α,∵≤απ,∴≤α+π.又cosα+=0,故可知πα+π,∴sinα+=-,从而cos2α=sin2α+=2sinα+cosα+=2×-×=-.sin2α=-cos2α+=1-2cos2α+=1-2×2=.∴cos2α+=cos2α-sin2α=×--=-.例3 解题导引 本题的关键是第1小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第2小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第3小题则利用基本不等式求解即可.1证明 由sin2α+β=3sinβ,得sin[α+β+α]=3sin[α+β-α],即sinα+βcosα+cosα+βsinα=3sinα+βcosα-3cosα+βsinα,∴sinα+βcosα=2cosα+βsinα,∴tanα+β=2tanα.2解 由1得=2tanα,即=2x,∴y=,即fx=.3解 ∵角α是一个三角形的最小内角,∴0α≤,0x≤,设gx=2x+,则gx=2x+≥2当且仅当x=时取“=”.故函数fx的值域为0,].变式迁移3 证明 因为左边=========右边.所以原等式成立.课后练习区1.D [∵0απ,3sin2α=sinα,∴6sinαcosα=sinα,又∵sinα≠0,∴cosα=,cosα-π=cosπ-α=-cosα=-.]2.C [因为α++β-=α+β,所以α+=α+β-.所以tan=tan==.]3.B [∵=cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=.又∵α∈,∴sinα=-.]4.B [fx=2tanx+=2tanx+==∴f==
8.]5.C [由cos2B+3cosA+C+2=0化简变形,得2cos2B-3cosB+1=0,∴cosB=或cosB=1舍.∴sinB=.]6.-解析 因为α为第二象限的角,又sinα=,所以cosα=-,tanα==-,所以tan2α==-.7.1-解析 ∵y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1=sin+1,∴当sin2x+=-1时,函数取得最小值1-.
8.解析 ∵==-sinα+cosα=-,∴cosα+sinα=.9.解 1∵sin2α=2sinαcosα,∴cosα=,…………………………………………………………………………2分∴原式=···==.……………………………………………………………………6分2原式=………………………………………………………9分===tan4α.………………………………………………………12分10.解 fx=sinxcosx-cosxsin-=sin2x-cos2x-1=sin-
1.…………………………………………………………………………4分1T==π,故fx的最小正周期为π.…………………………………………………6分2因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.所以当2x-=,即x=时,fx有最大值0,……………………………………………………………………………………………10分当2x-=-,即x=0时,fx有最小值-.……………………………………………………………………………………………12分11.解 1f=2cos+sin2-4cos=-1+-2=-.………………………………………………………………………4分2fx=22cos2x-1+1-cos2x-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3cosx-2-,x∈R.………………………………………………………………10分因为cosx∈[-11],所以,当cosx=-1时,fx取得最大值6;当cosx=时,fx取得最小值-.…………………………………………………14分。