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文本内容:
与圆有关的位置关系 重点、难点
1.重点
(1)点与圆、直线与圆位置关系的判断
(2)三角形外接圆的性质
(3)切线的识别及切线性质的应用
(4)切线长定理
(5)三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形
(6)两圆相交、相切的性质和判定
(7)圆和圆的位置关系
2.难点
(1)直线与圆相切的性质和判定
(2)切线的判定方法切线的性质
(3)要充分发挥基本图形在证、解题中的作用,正确恰当地根据基本规律来添加辅助线
①两圆相交,可作公共弦
②两圆相切,可作公切线
③有半圆,可作整圆;有直径,可作直径所对的圆周角
④圆与圆要心连心,即作连心线 【知识纵览】
1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况,这三种情况,与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间有着紧密的联系也就是说点与圆的位置关系,不仅可以用图形来表现,还可以由数量关系来表示,其对应关系可简明地表示如下图形(点与圆)的位置关系数量(d与r)的大小关系点在圆内d<r点在圆上d=r点在圆外d>r
2.直线与圆的位置关系的性质与判定设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r
3.三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边垂直平分线的交点
①OA=OB=OC;
②外心不一定在三角形的内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三个内角的平分线的交点
①OD=OE=OF;
②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
4.两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R和r,圆心距(圆心间的距离)为d位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0外切1相交2内切1内含0上表中,两圆内含时,如果d=0,则两圆同心,这是内含的一种特殊情况 【典型例题】例
1.⊙O的半径为
2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P点距离为1问P点、Q点和⊙O是什么位置关系?为什么?解∵PO=2<
2.5∴P点在⊙O内部Q点和O点的距离较复杂,如下图,需分类讨论当Q点在OP延长线上时,则Q点和O点距离最大,最大距离为当Q点在OP上时,则Q点和O点距离最小,最小距离为当Q点处在点和点时,则,如上图所示综上所述,Q点既可能在⊙O上,也可能在⊙O外,或在⊙O内 例
2.在平面直角坐标系xOy中,当以点O(4,3)为圆心的圆分别满足下列条件时,求其半径r的取值范围
(1)与坐标轴有惟一交点
(2)与坐标轴有两个交点
(3)与坐标轴有三个交点
(4)与坐标轴有四个交点解如下图,由题意,圆心O到x轴的距离,到y轴的距离
(1)∵⊙O与坐标轴有惟一公共点∴只可能与x轴有惟一公共点
(2)由条件知,⊙O与x轴相交,但与y轴无公共点
(3)∵⊙O与坐标轴有三个交点∴⊙O与x轴必相交且与y轴必有公共点若⊙O与y轴有惟一公共点,则r=4若⊙O与y轴有两个公共点,则其中一个公共点必为原点,故r=5∴所求r的值为r=4或r=5
(4)∵⊙O与坐标轴有四个交点∴⊙O与两坐标轴都相交,且不过原点∴r>4且r≠5 例
3.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为BOC平行于弦AD,试说明DC是⊙O的切线解连结OD因为OA=OD,所以∠1=∠2又因为AD∥OC,所以∠1=∠3,∠2=∠4因此∠3=∠4而OB=OD,OC公共,于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合所以∠ODC=∠OBC又BC是⊙O的切线,所以∠OBC=90°从而∠ODC=90°,OD⊥DC,故DC是⊙O的切线 例
4.如图所示,已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于E,交AC于点F,P为ED延长线上一点
(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,请说明理由;
(2)当点D在劣弧上的什么位置时,才能使精析与解答
(1)如图所示,当△PCF为等腰三角形,PC=PF时,PC与⊙O相切连结OC,当PC=PF时,∠PCF=∠PFC∵DE⊥AB,∴∠1+∠AFH=90°∴∠1+∠PFC=90°,即∠1+∠PCF=90°又∵OA=OC,∴∠1=∠2∴∠2+∠PCF=90°,即PC与⊙O相切于点C
(2)当D为劣弧中点时,连结AE,∵D为中点,∴∠3=∠4又∠ADF=∠EDA,∴△ADF∽△EDA,即 例
5.如下图,AB是半圆⊙O的直径,C为半圆上一点,CD切⊙O于点C,AD⊥CD于点D,⊙C以CD为半径求证AB是⊙C的切线分析要证AB是⊙C的切线,就是要证点C到AB的距离CE=CD即要证△ACD和△ACE全等证明过点C作CE⊥AB于点E,连结AC、BC、OC∵CD是⊙O的切线,AB是⊙O的直径∴CD⊥OC,AC⊥BC在△ACD和△ACE中∴△ACD≌△ACE∴CE=CD∴AB是⊙C的切线 例
6.如下图,设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E,连结BI、CI、ED、FD若∠A=60°,则∠BIC=_________,∠EDF=_________分析本题所求的两个角分别是⊙I的圆心角和圆周角如果考虑用圆心角等性质来求但条件不足,所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求解连结IE、IF∵⊙I是△ABC的内切圆∵⊙I分别切AB、AC于F、E∴IF⊥AB,IE⊥AC∴∠AFI+∠AEI=180°∴∠A+∠EIF=180° 例
7.如图所示,⊙O半径为R,CD为⊙O直径,以D为圆心r为半径的圆与⊙O相交于A、B,BD的延长线交⊙D于E点求证证明本题中的⊙O经过⊙D的圆心,是一种特殊相交,则连接AD可知AD即为⊙O的弦,又为⊙D的半径,两圆相交可作公共弦,连接AB,对R、r进行选择,然后用三点定形找到共边型的相似三角形连结AD、AB、OA、AC又∵∠C=∠B∴∠AOD=∠ADE∵△AOD与△ADE都是等腰三角形且顶角相等∴它们的底角也相等,即∠ADO=∠DAE∴△AOD∽△ADE(相似三角形对应边成比例)即 例
8.已知如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,求
(1)t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形?等腰梯形?
(2)当t分别为何值时,直线PQ与⊙O相切?相交?相离?精析与解答
(1)四边形PQCD为平行四边形时,只要PD=CQ即可;四边形PQCD为等腰梯形时,则要PQ=CD,PD≠QC当QC=PD时,有,解得t=6∴当t=6s时,四边形PQCD为平行四边形过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F(如图甲所示),则由等腰梯形的性质可知EF=PD,QE=FC=2,QC-PD=4,解得t=7∴当t=7时得四边形PQCD为等腰梯形甲
(2)讨论动直线PQ与⊙O的位置关系,关键是要抓住直线PQ与⊙O相切时的情况计算出t的值,加以分析推理可以得出PQ与⊙O相交、相离时t的值设运动ts时,直线PQ与⊙O相切于点G,过P作PH⊥BC,垂足为H(如图乙所示)乙∴PH=AB,BH=AP即PH=8,HQ=26-4t由切线长定理,得由勾股定理,得即得,解得∵t=0时,PQ与⊙O相交,当时,Q点运动到B点,P点尚未运动到点D,但也停止运动,此时PQ直线与⊙O相交或8s时,直线PQ与⊙O相切;当或时,直线PQ与⊙O相交;当时,直线PQ与⊙O相离 例
9.如图甲所示,施工工地的水平面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是多少?甲精析与解答如图乙所示,连结乙设⊙与⊙外切于点A,则在中,∴最高点C到水平面的距离 例
10.如图所示,两等圆⊙和⊙相交于A、B两点,且两圆互过圆心,过B作任一直线,分别交⊙、⊙于C、D两点,连结AC、AD
(1)试猜想△ACD的形状,并给出说明
(2)若已知条件中两圆不一定互相过圆心,试猜想三角形的形状是怎样的?说明你的结论成立的理由
(3)若⊙,⊙是两个不相等的圆,半径分别为R和r那么
(2)中的猜想还成立吗?若成立,说明理由;若不成立,那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系?说明理由精析与解答
(1)△ACD为等边三角形理由因为两圆是等圆,且互相过圆心,连结则所以所以∠ADB=∠ACB=60°所以△ACD为等边三角形
(2)△ACD为等腰三角形理由因为两圆是等圆,连结则所以所以∠ADB=∠ACB所以△ACD为等腰三角形
(3)不成立,此时如图所示,分别作⊙、⊙的直径AE和AF分别交两圆于E、F点,连结CE、DF、AB,则∠ACE=∠ADF=90°∴△ACE∽△ADF 【模拟试题】(答题时间80分钟)一.选择题(每小题4分,共24分)
1.下列语句不正确的是()A.过一点可以作无数个圆B.过两点可以作一个圆C.过任意三点都可以作一个圆D.过任意四个点不一定能作圆
2.⊙O的直径是8cm,直径和⊙O相交,圆心O到直线的距离是d,则d应满足()A.B.C.D.
3.如图所示,P是⊙O外一点,自P点向⊙O引切线PA,PB,切点为A,B,CD切⊙O于E,交PA,PB于C,D,若PA=20,则△PCD的周长为()A.20B.30C.D.
404.设△ABC的内切圆的半径为2,△ABC的周长为4,则△ABC的面积为()A.2B.4C.6D.
85.两圆半径分别为5和3,d为圆心距,当时,两圆的位置关系是()A.外切B.内切C.外离D.相交
6.如图所示,AB,AC与⊙O相切于点B,C,∠A=50°,点P是圆上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是()A.65°B.115°C.65°或115°D.130°和50° 二.填空题(每小题2分,共12分)
7.如图所示,AB是⊙O的直径,AB=AC,AC是⊙O的切线,A是切点,则∠B=____________
8.如图所示,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=30°,则∠CAB=__________
9.△ABC的内切圆⊙O与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F,且AB=4,BC=8,AC=6,则AE=_________,BF=_________,CD=_________
10.如图所示,已知⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠B=50°,∠C=40°,则∠DOF=_________,∠DEF=_________
11.⊙O的半径为3cm,若⊙O与⊙O外切时,圆心距为10cm,则⊙O与⊙O内切时,圆心距为_________cm
12.如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,,若以C为圆心,CB为半径的圆交AB于P,则AP=__________ 三.综合题(每小题6分,共24分)
13.如图所示,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且DB=BO,过点A作弦AC,使∠CAB=30°,连结DC,DC是⊙O的切线吗?为什么?
14.如图所示,AC为⊙O的直径,PA,PB是⊙O的切线,OP交AB于点E,交于点F,∠CAB=30°,AC=8cm求
(1)∠APB的度数;
(2)OP的长;
(3)PE的长;
(4)△ABP的面积
15.如图所示,⊙O为△ABC的内切圆,连结OB,OC
(1)当∠B=80°,∠C=30°时,求∠BOC;
(2)当∠A=70°时,求∠BOC;
(3)当∠A=α时,求∠BOC
16.如图所示,AB是⊙O的直径,BE是⊙O的切线,切点为B,点C为射线BE上一动点(点C与点B不重合),且弦AD平行于OC
(1)求证CD是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,试问当动点C在射线BE上运动到什么位置时,有?证明你的结论 四.开放与交流(共10分)
17.如图所示,在直角坐标系内,以点M(2,0)为圆心,3为半径作⊙M
(1)分别画出
①当;
②当;
③当时的图形,并判断直线与⊙M的位置关系;
(2)试判断直线与⊙M相交和k,b的取值是否有关,请说明理由,得出结论 五.思考与探究(每小题6分,共12分)
18.如图所示,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C
(1)∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状作出猜想,并给予证明;
(2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是___________三角形;
(3)由
(1),
(2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是__________三角形
19.如下图
(1)所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点
(1)判断AP与BP的关系,并说明理由;
(2)当弦AB向上平移分别与小圆交于点C,D时,如下图
(2)所示,判断AC与BD的关系,并说明理由 六.回顾与预测(第20~23小题各3分,第24小题6分,共18分)
20.(2003·南京)阅读下面材料,然后回答问题对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这个圆所覆盖对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖例如如下图所示,图
(1)中的三角形被一个圆所覆盖,图
(2)中的四边形被两个圆所覆盖
(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是_________cm;
(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是__________cm;
(3)长为2cm,宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖,r的最小值是_________cm,这两个圆的圆心距是__________cm
21.(2004·重庆)某人用如下方法测一钢管的内径将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面的一个钢球顶部高DC=16cm(钢管轴截面如下图所示),则钢管的内直径AD长为___________cm
22.(2004·兰州)如下图所示,圆A的半径为r,圆O的半径为4r,圆A从圆上所示位置出发绕圆O作无滑动的滚动,要使圆A的圆心返回到原来的位置,圆A滚动的圈数是____________
23.(2004·海口)如下图所示,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心,2cm为半径作⊙M,若点M在OB边上运动,则当OM=________cm时,⊙M与⊙A相切
24.(2004·南京)如下图
(1)所示,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动设运动时间为t(s)
(1)t为何值时,四边形APQD为矩形?
(2)如下图
(2)所示,如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙O外切? 【试题答案】
1.C
2.C
3.D
4.B
5.D
6.C
7.45°
8.15°
9.1;3;
510.90°;45°
11.
412.
13.解DC是⊙O的切线理由是如下图所示,连结CO∵∠CAB=30°,CO=AO∴∠ACO=30°,∠COD=60°∵CO=BO,∴BC=OB∵DB=BO,∴DB=OB=BC∴△COD为直角三角形,∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线
14.
(1)∠APB=60°
(2)OP=8cm
(3)PE=6cm
(4)
15.
(1)125°;
(2)125°;
(3)
16.
(1)提示如下图所示,欲证CD是⊙O的切线由于CD与⊙O的公共点是D,故只要连结OD,再证OD⊥DC即可
(2)解如上图所示,当时,有这是因为BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°又∵AD∥OC,∴∠A=∠3=45°又∵OA=OD,∴∠1=∠A=45°∴∠AOD=90°
17.提示
(1)图略
①相交;
②相交;
③相交
(2)略
18.
(1)解△QCP是等边三角形证明过程如下连结OQ,则CQ⊥OQ∵PQ=PO,∠QPC=60°∴∠POQ=∠PQO=30°∴△QPC是等边三角形
(2)等腰直角
(3)等腰
19.解
(1)AP=BP理由是连结OP∵AB切小⊙O于点P,∴OP⊥AB又AB是大圆的弦,∴AP=BP
(2)AC=BD理由是过点O作OG⊥AB于点G可知
20.
(1);
(2);
(3)
21.
1822.
423.
424.解
(1)由题意知,当AP=DQ,AP∥DQ,∠A=90°时,四边形APQD为矩形此时,,∴t=4(s)∴t为4s时,四边形APQD为矩形
(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切
①如果点P在AB上运动,只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4,由
(1)得t=4s
②如果点P在BC上运动,此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离
③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧,可得CQ=t,当时,⊙P与⊙Q外切,此时
④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧,当时,⊙P与⊙Q外切此时∵点P从A开始沿折线A—B—C—D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s,而∴当t为4s,时,⊙P与⊙Q外切。