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第二章数列极限§1数列极限概念教学目的与要求使同学们理解数列极限存在的定义,数列发散的定义,某一实数不是数列极限的定义;掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法教学重点,难点数列极限存在和数列发散定义的理解;切实掌握数列收敛发散的定义,利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性教学内容
一、课题引入1°预备知识数列的定义、记法、通项、项数等有关概念2°实例战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰,日取其半,万古不竭”将其“数学化”即得,每天截后剩余部分长度为(单位尺),,,……,,……或简记作数列分析1°、随n增大而减小,且无限接近于常数0;2°数轴上描点,将其形象表示将其一般化,即引出“数列极限”概念
二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得对数列,若存在某常数a,当n无限增大时,an能无限接近常数a,则称该数为收敛数列,a为它的极限例如,a=0;,a=3;,a不存在,数列不收敛;,a不存在,数列不收敛;2°将“n无限增大时”,数学“符号化”为“存在N,当n>N时”将“an无限接近a”,数学“符号化”为任给ε>0<ε例如对以3为极限,对ε=,要使=只需取N=10,即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义设是一个数列,a是一个确定的常数,若对任给的正数ε,总存在某一自然数N,使得当n>N时,都有<ε则称数列收敛于a,a为它的极限记作{或an→an→说明
(1)若数列没有极限,则称该数列为发散数列
(2)数列极限定义的“符号化”记法这是用极限定义证明的具体方法>0,N,当n>N,有<ε
(3)上述定义中ε的双重性ε>0是任意的,但在求N时,又可视为是给定的,由“任意性”可知,不等式<ε,可用<2ε,<ε2……来代替“<”号也可用“≤”号来代替(为什么?)思考双重性
(4)上述定义中N的双重性N是仅依赖于ε的自然数,有时记作N=N(ε)(这并非说明N是ε的函数,(为什么?)思考是即N是对应确定的!但N又不是唯一的,只要存在一个N,就会存在无穷多个N(为什么?)思考
(5)如何用肯定的语气叙述>0,N,n尽管n>N,但≥ε这是用极限定义证明的具体方法
(6)如何用肯定的语气叙述,数列发散,>0,N,no尽管no>N,但≥εo
(7)的几何意义即a的任给ε邻城,都存在一个足够大的确定的自然数N,使数列中所有下标大于N的an都落在a的ε邻城内.
三、用极限定义证明的例题例
1.证明(K为正实数)证由于所以ε>0,取N=当n>N时便有注或写作ε>0,取N=,当n>N时,有,∴例
2.证明分析,要使(为简化,限定n只要n证.当n有由定义适当予先限定n>n是允许的!但最后取N时要保证n>n例3.证明=0,这里<1证.若q=0结果显然成立若0<<1,令=>0由于≤<所以,>0,取N=>N,有<注1°特别地写当q=时,此即为上述实例中的2°贝努利不等式(1+h)n≥1+nh.3°由例
2、例3看出,在由<ε中求N时,适当的“放大”不等式,可以简化运算而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结如用已知不等式,用限定“n>n”等方法例4.证明,其中a>1证.令-1=,则>0由贝努利不等式=(1+)n≥1+n=1+n()或≤>0,取N=,当n>N有<ε思考这里取N=也可以,为什么?
四、等价定义与无穷小数列定义任给>0,若在U(a;)之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限a由定义可知,若存在某0>0,使得数列中有无穷多个项落在Ua;0之外,则一定不以a为极限例5证明和都是发散数列分析利用定义证例6设,作数列﹛zn﹜如下﹛zn﹜x1,y1,x2,y2,…,xn,yn,…证明分析利用定义证例7设为给定的数列,为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列证明数列与同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等分析利用定义证设为收敛数列,且=a按定义,……现设发散,倘若收敛,则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故由刚才所证,收敛,矛盾所以当发散时也发散在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下定义2若,则称为无穷小数列前面例
1、
2、4中的数列都是无穷小数列由无穷小数列的定义,读者不难证明如下命题定理
2.1数列收敛于的充要条件是为无穷小数列
五、小结可以师生共同总结,或教师引导学生小结,然后教师再条理一下本节课重点在于“数列极限的概念”,而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念为此,同学们要注意重点1°极限概念的“ε-N”叙述要熟练掌握,并注意理科ε,N的双重性难点2°用极限定义证明极限时,关键是由任给的ε>0通过反解不等式|an-a|<ε求N,其中的若干技巧在于化简不等式特别注意不等式的“放大”要适度;即要尽可能化简,又不要过度,N的表达式一定仅依赖于ε,当然N是否是自然数,倒是无关紧要的3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法,如抽象化法,数形结合法,符合化法等,这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下,并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考复习思考题、作业题数列收敛发散的定义是什么?收敛发散的概念是不是相反的?1
(1),2,3,4,6数形结合方法an无限接近常数a当n无限增大时。