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第二章基本初等函数(Ⅰ)§
2.
1.1指数一.教学目标1.知识与技能
(1)理解分数指数幂和根式的概念;
(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化;
(3)掌握分数指数幂的运算性质;
(4)培养学生观察分析、抽象等的能力.2.过程与方法通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.3.情态与价值
(1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想;
(2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美.二.重点、难点1.教学重点
(1)分数指数幂和根式概念的理解;
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质;2.教学难点分数指数幂及根式概念的理解三.学法讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
四、教学过程第一课时
1、复习提问什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?归纳在初中的时候我们已经知道若,则叫做a的平方根.同理,若,则叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2;零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解类比平方根、立方根的概念,归纳出n次方根的概念.n次方根一般地,若,则x叫做a的n次方根(throot),其中n>1,且n∈N*当n为偶数时,a的n次方根中,正数用表示,如果是负数,用表示,叫做根式.n为奇数时,a的n次方根用符号表示,其中n称为根指数,a为被开方数.类比平方根、立方根,猜想当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?零的n次方根为零,记为举例16的次方根为,等等,而的4次方根不存在.小结一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义,可得肯定成立,表示an的n次方根,等式一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么?让学生注意讨论,n为奇偶数和a的符号,充分让学生分组讨论.通过探究得到n为奇数,n为偶数如小结当n为偶数时,化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误例题求下列各式的值
(1)分析当n为偶数时,应先写,然后再去绝对值.思考是否成立,举例说明.课堂练习
1.求出下列各式的值2.若.3.计算三.归纳小结1.根式的概念若n>1且,则为偶数时,;2.掌握两个公式3.作业P59习题
2.1A组第1题第二课时提问1.初中时的整数指数幂,运算性质?什么叫实数?有理数,无理数统称实数.2.观察以下式子,并总结出规律>0
①②③④小结当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式).根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如即为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即规定0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.说明规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即
(1)
(2)
(3)若>0,P是一个无理数,则P该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P62——P
62.即的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,如课本图所示所以,是一个确定的实数.一般来说,无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考的含义是什么?由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即3.例题
(1).(P51,例2)求值解
①②③④
(2).(P52,例3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0)解分析先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.课堂练习P54练习第1,2,3,4题小结1.分数指数是根式的另一种写法.2.无理数指数幂表示一个确定的实数.3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业P59习题
2.1第2题第三课时一.教学目标1.知识与技能
(1)掌握根式与分数指数幂互化;
(2)能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值.2.过程与方法通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.3.情感、态度、价值观
(1)培养学生观察、分析问题的能力;
(2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二.重点、难点1.重点运用有理指数幂性质进行化简,求值.2.难点有理指数幂性质的灵活应用.三.学法讲授法、讨论法.四.教学过程1.复习分数指数幂的概念与其性质2.例题讲解例1.(P52,例4)计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)
(2)(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答)分析四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到
(1)小题是单项式的乘除运算;
(2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何计算呢?其实,第
(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行.第
(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.解
(1)原式===4
(2)原式==例2.(P52例5)计算下列各式
(1)
(2)>0)分析在第
(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第
(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解
(1)原式=====
(2)原式=小结运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母,又含有负指数.课堂练习化简
(1)
(2)
(3)归纳小结1.熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.作业P59习题
2.1A组第4题B组 第2题
2.
1.2指数函数及其性质一.教学目标1.知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景;
②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;2.情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
②培养学生观察问题,分析问题的能力.3.过程与方法展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.二.重、难点重点指数函数的概念和性质及其应用.难点指数函数性质的归纳,概括及其应用.
三、学法观察法、讲授法及讨论法.第一课时一.教学过程
1.情境设置
①在本章的开头,问题
(1)中时间与GDP值中的,请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用(>0且≠1来表示).二.讲授新课指数函数的定义一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.提问在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)(>1,且)小结根据指数函数的定义来判断说明因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.若<0,如在实数范围内的函数值不存在.若=1是一个常量,没有研究的意义,只有满足的形式才能称为指数函数,不符合.的形式,所以不是指数函数我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究.下面我们通过先来研究>1的情况画出函数的图象124再研究,0<<1的情况,画出函数的图象.124 从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论的图象关于轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
②画出的函数问题1从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征.问题2根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.问题3指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质>10<<1>10<<1向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1)=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1>0,>1>0,<1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1<0,<1<0,>15.利用函数的单调性,结合图象还可以看出
(1)在(>0且≠1)值域是
(2)若
(3)对于指数函数(>0且≠1),总有
(4)当>1时,若<,则<;例题例1(P56例6)已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求分析要求再把0,1,3分别代入,即可求得提问要求出指数函数,需要几个条件?课堂练习P58练习第1,2,3题补充练习
1、函数
2、当解
(1)
(2)(-,1)例2求下列函数的定义域
(1)
(2)分析因为的定义域是R,所以,要使
(1),
(2)题的定义域,只要使其指数部分有意义就得.3.归纳小结作业P59习题
2.1A组第
5、6题
1、理解指数函数
2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想.第二课时教学过程
1、复习指数函数的图象和性质
2、例题例1(P57例7)比较下列各题中的个值的大小
(1)
1.
72.5与
1.732与
31.
70.3与
0.
93.1解法1用数形结合的方法,如第
(1)小题,画出的图象,在图象上找出横坐标分别为
2.53的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为
2.5的点的上方,所以.解法2用计算器直接计算所以,解法3由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数,且
2.5<3,所以,仿照以上方法可以解决第
(2)小题.注在第
(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合.由于
1.
70.3=
0.
93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较
1.
70.3与
0.
93.1的大小.思考
1、已知按大小顺序排列.
2.比较(>0且≠0).3.课堂练习
(1)下图是指数函数
①②③④的图象,判断与1的大小关系;
(2)设其中>0,≠1,确定为何值时,有
①②>
(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的1%,则少要漂洗几次.归纳小结本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住>1或0<<时的图象,在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0且≠1).作业P59A组第7,8题 P60B组第1,4题对数一.教学目标1.知识技能
①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;
②理解和掌握对数的性质;
③掌握对数式与指数式的关系.
2.过程与方法通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.3.情感、态度、价值观
(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质.
(3)在学习过程中培养学生探究的意识.
(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.二.重点与难点
(1)重点对数式与指数式的互化及对数的性质
(2)难点推导对数性质三.学法讲授法、讨论法、类比分析与发现四.教学过程1.提出问题思考(P62思考题)中,哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……,该如何解决?即在个式子中,分别等于多少?象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念).
1、对数的概念一般地,若,那么数叫做以a为底N的对数,记作叫做对数的底数,N叫做真数.举例如,读作2是以4为底,16的对数.,则,读作是以4为底2的对数.提问你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化在对数的概念中,要注意
(1)底数的限制>0,且≠1
(2)指数式对数式幂底数←→对数底数指数←→对数幂←N→真数说明对数式可看作一记号,表示底为(>0,且≠1),幂为N的指数表示方程(>0,且≠1)的解.也可以看作一种运算,即已知底为(>0,且≠1)幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式又可看幂运算的逆运算.例题例1(P63例1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)54=645
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)注
(5)、
(6)写法不规范,等到讲到常用对数和自然对数后,再向学生说明.(让学生自己完成,教师巡视指导)巩固练习P64练习
1、23.对数的性质提问因为>0,≠1时,则由0=12、1=如何转化为对数式
②负数和零有没有对数?
③根据对数的定义,=?(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)由以上的问题得到
①(>0,且≠1)
②∵>0,且≠1对任意的力,常记为.恒等式=N
4、两类对数
①以10为底的对数称为常用对数,常记为.
②以无理数e=
2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,即.说明在例1中,.例2求下列各式中x的值
(1)
(2)
(3)
(4)分析将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.解
(1)
(2)
(3)
(4)所以课堂练习P64练习
3、4补充练习
1.将下列指数式与对数式互化,有的求出的值.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)2.求且不等于1,N>0).3.计算的值.4.归纳小结对数的定义>0且≠1) 1的对数是零,负数和零没有对数对数的性质 >0且≠1 作业P74习题
2.2A组
1、2P75B组1对数
(2)一.教学目标1.知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,求值、化简,并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
2.过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3.情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.二.教学重点、难点重点对数运算的性质与对数知识的应用难点正确使用对数的运算性质三.学法学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.四.教学过程1.设置情境复习对数的定义及对数恒等式(>0,且≠1,N>0),指数的运算性质.2.讲授新课探究在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道,那如何表示,能用对数式运算吗?如于是由对数的定义得到即同底对数相加,底数不变,真数相乘提问你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?(让学生探究,讨论)如果>0且≠1,M>0,N>0,那么
(1)
(2)
(3)证明
(1)令则又由即
(3)即当=0时,显然成立.提问
1.在上面的式子中,为什么要规定>0,且≠1,M>0,N>0?2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?例题
1.判断下列式子是否正确,>0且≠1,>0且≠1,>0,>,则有
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)例2用,,表示出
(1)
(2)小题,并求出
(3)、
(4)小题的值.
(1)
(2)
(3)
(4)分析利用对数运算性质直接计算
(1)
(2)=
(3)
(4)点评此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生不要记住公式.让学生完成P68练习的第1,2,3题提出问题你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?>0,且≠1,>0,且≠1,>0先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后给出证明过程.设且即所以小结以上这个式子换底公式,换的底C只要满足C>0且C≠1就行了,除此之外,对C再也没有什么特定的要求.提问你能用自己的话概括出换底公式吗?说明我们使用的计算器中,“”通常是常用对数.因此,要使用计算器对数,一定要先用换底公式转化为常用对数.如即计算的值的按键顺序为“”→“3”→“÷”→“”→“2”→“=”再如在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算所以=练习P68练习4让学生自己阅读思考P66~P67的例5,例的题目,教师点拨.
3、归纳小结
(1)学习归纳本节
(2)你认为学习对数有什么意义?大家议论.
4、作业
(1)书面作业P74 习题2.2 第
3、4题P75 第
11、12题
2、思考
(1)证明和应用对数运算性质时,应注意哪些问题?
(2)§
2.
2.2对数函数及其性质一.教学目标1.知识技能
①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.2.过程与方法让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.3.情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力;
②培养学生严谨的科学态度.二.教学重点、难点
1、重点理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质.
2、难点底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.三.教学过程1.设置情境在2.2.1的例6中,考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代,对于每一个C14含量P,通过关系式,都有唯一确定的年代与之对应.同理,对于每一个对数式中的,任取一个正的实数值,均有唯一的值与之对应,所以的函数.2.探索新知一般地,我们把函数(>0且≠1)叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).提问
(1).在函数的定义中,为什么要限定>0且≠1.
(2).为什么对数函数(>0且≠1)的定义域是(0,+∞).组织学生充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解.答
①根据对数与指数式的关系,知可化为,由指数的概念,要使有意义,必须规定>0且≠1.
②因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质,>0,所以.例题1求下列函数的定义域
(1)
(2)(>0且≠1)分析由对数函数的定义知>0;>0,解出不等式就可求出定义域.解
(1)因为>0,即≠0,所以函数的定义域为.
(2)因为>0,即<4,所以函数的定义域为<.下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质先完成P70表2-3,并根据此表用描点法画出函数再画出124681216-
10122.
5833.584y 0 x 注意到,若点的图象上,则点的图象上.由于()与()关于轴对称,因此,的图象与的图象关于轴对称.所以,由此我们可以画出的图象.先由学生自己画出的图象,再由教师画出与的图象.探究选取底数>0,且≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?.作法再画出,,和提问通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,性质又如何?先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.图象的特征函数的性质
(1)图象都在轴的右边
(1)定义域是(0,+∞)
(2)函数图象都经过(1,0)点
(2)1的对数是0
(3)从左往右看,当>1时,图象逐渐上升,当0<<1时,图象逐渐下降.
(3)当>1时,是增函数,当0<<1时,是减函数.
(4)当>1时,函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0,在(1,0)点左边的纵坐标都小于
0.当0<<1时,图象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标都小于0,在(1,0)点左边的纵坐标都大于
0.
(4)当>1时>1,则>00<<1,<0当0<<1时>1,则<00<<1,<0由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当启发、引导)>10<<1图象性质
(1)定义域(0,+∞);
(2)值域R;
(3)过点(1,0),即当=1,=0;
(4)在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)是上减函数例题训练
1.比较下列各组数中的两个值大小
(1)
(2)
(3)(>0,且≠1)分析由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成
(1)解法1画出对数函数的图象.在图象上,横坐标为
3、4的点在横坐标为
8.5的点的下方所以,解法2由函数+上是单调增函数,且
3.4<
8.5,所以.解法3直接用计算器计算得,
(2)第
(2)小题类似
(3)注底数是常数,但要分类讨论的范围,再由函数单调性判断大小.解法1当>1时,在(0,+∞)上是增函数,且
5.1<
5.
9.所以,当1时,在(0,+∞)上是减函数,且
5.1<
5.
9.所以,解法2转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一,令令则当>1时,在R上是增函数,且
5.1<
5.9所以,<,即<当0<<1时,在R上是减函数,且
5.1>
5.9所以,<,即>说明先画图象,由数形结合方法解答课堂练习P73 练习 第2,3题补充练习1.已知函数的定义域为[-1,1],则函数的定义域为2.求函数的值域.3.已知<<0,按大小顺序排列mn014.已知0<<1b>1ab>
1.比较归纳小结2对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质,列表展现对数函数(第三课时)一.教学目标1.知识与技能
(1)知识与技能
(2)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.2.过程与方法学生通过观察和类比函数图象,体会两种函数的单调性差异.
3.情感、态度、价值观
(1)体会指数函数与指数;
(2)进一步领悟数形结合的思想.二.重点、难点重点指数函数与对数函数内在联系难点反函数概念的理解三.教学过程1.复习
(1)函数的概念
(2)用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.`2.讲授新知…-3-2-10123……1248……-3-2-10123……1248…图象如下探究在指数函数中,为自变量,为因变量,如果把当成自变量,当成因变量,那么是的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流,得出结论.在指数函数中,是自变量,是的函数(),而且其在R上是单调递增函数.过轴正半轴上任意一点作轴的平行线,与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系,,即对于每一个,在关系式的作用之下,都有唯一的确定的值和它对应,所以,可以把作为自变量,作为的函数,我们说.从我们的列表中知道,是同一个函数图象.3.引出反函数的概念(只让学生理解,加宽学生视野)当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数.如的反函数,但习惯上,通常以表示自变量,表示函数,对调中的,这样是指数函数的反函数.以后,我们所说的反函数是对调后的函数,如的反函数是.同理,>1)的反函数是>0且.课堂练习求下列函数的反函数
(1)
(2)归纳小结
1.今天我们主要学习了什么?2.你怎样理解反函数?课后思考(供学有余力的学生练习)我们知道>0与对数函数>0且互为反函数,探索下列问题.1.在同一平面直角坐标系中,画出的图象,你能发现这两个函数有什么样的对称性吗?2.取图象上的几个点,写出它们关于直线的对称点坐标,并判断它们是否在的图象上吗?为什么?3.由上述探究你能得出什么结论,此结论对于>0成立吗?幂函数一.教学目标1.知识技能
(1)理解幂函数的概念;
(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用.2.过程与方法类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质.3.情感、态度、价值观
(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;
(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二.重点、难点重点从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点从幂函数的图象中概括其性质三.学法通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质;
四、教学过程引入新知阅读教材P77的具体实例
(1)~
(5),思考下列问题.
(1)它们的对应法则分别是什么?
(2)以上问题中的函数有什么共同特征?让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论答
1、
(1)乘以1
(2)求平方
(3)求立方
(4)求算术平方根
(5)求-1次方
2、上述的问题涉及到的函数,都是形如,其中是自变量,是常数.探究新知1.幂函数的定义一般地,形如(R)的函数称为幂孙函数,其中是自变量,是常数.如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.2.研究函数的图像
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)一.提问如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像.让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图像,填P91探究中的表格定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)3.幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因);
(2)>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,当>1,>1时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?)当∠α<1时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?)
(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.例题1.证明幂函数上是增函数证任取<则==因<0,>0,所以,即上是增函数.思考我们知道,若得,你能否用这种作比的方法来证明上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?2.利用函数的性质,判断下列两个值的大小
(1)
(2)
(3)分析利用幂函数的单调性来比较大小.5.课堂练习画出的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性.6.归纳小结提问方式
(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的?
(2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗?作业P79习题
2.3第
2、3题小结与复习一.教学目标
1.知识与技能
(1)理解指数与对数指数函数与对数函数的联系.
(2)能更加熟练地解决与指数函数对数函数有关的问题.
2.过程与方法通过提问分析点评让学生更能熟悉指数函数对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观
(1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构.
(2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.二.重点、难点重点指数函数与对数函数的性质难点灵活运用函数性质解决有关问题
三、学法讲授法、讨论法
四、教学过程
1、回顾本章的知识结构
2、指数与对数指数式与对数式的互化=N=b提问在对数式中,a,N,b的取值范围是什么?例1已知=,54b=3,用的值解法1由=3得=b∴==解法2由设所以即所以因此得
(1)法1是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果.法2是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法2运算的技巧性较大2.指数函数与对数函数问题1函数分别必须满足什么条件.问题2在同一直角坐标系中画出函数的图象,并说明两者之间的关系.问题3根据图象说出指数函数与对数函数的性质.例2已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称,且,则函数的值域为.分析函数关于直线对称的函数为∴∴∵小结底数相同的指数函数与对数函数关于对称,它们之间还有一个关系式子例3已知
(1)求的定义域
(2)求使的的取值范围分析
(1)要求的定义域,则应有
(2)注意考虑不等号右边的0化为,则
(2)小题变为两种情况分别求出.建议通过提问由学生作答课堂小结1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于对称,它们在各自的定义域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的性质.作业P82A组37P83B组34y=2x--------------xy00000EMBEDEquation.DSMT4y0x0y=x-1y=x3整数指数幂定义对数指数有理数指数幂运算性质无理数指数幂定义定义指数函数对数函数图象与性质图象与性质。