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文本内容:
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3.1直线与平面垂直的判定
一、学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义;
2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用;
二、自主学习探究一探究1直线和平面垂直的概念问题如图10-2,将三角板直立起来,并且让它的一条直角边落在桌面上,观察边与桌面的位置关系呈什么状态?绕着边转动三角板,边与始终垂直吗?在转动的过程中,把看作桌面上不同的直线,你能得出什么结论吗?新知1如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线与平面互相垂直,记做.叫做垂线,叫垂面,它们的交点叫垂足.如图10-3所示.图10-3反思⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直,那么它和这个平面垂直吗?⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗?你感觉难在哪里?探究2直线与平面垂直的判定定理问题如图10-4,将一块三角形纸片沿折痕折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上与桌面接触.观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢?图10-4结论图10-5反思⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时,能判断垂直于桌面吗⑵如图10-5,当折痕时,翻折后即.由此你能得出什么结论新知2直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.探究3直线与平面所成的角新知3如图10-6,直线和平面相交但不垂直,叫做平面的斜线,和平面的交点叫斜足;,叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角.图10-6直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是°角.典型例题例1如图10-7,已知∥,,求证.图10-7例2如图10-8,在正方体中,求直线和平面所成的角.图10-8例3如图,AB为平面α的一条斜线,B为斜足,AO⊥平面α,垂足为O,直线BC在平面α内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,求斜线AB和平面α所成的角.动手试试练
1.如图10-9,在三棱锥中,,求证.练
2.如图10-10,在Rt中,斜边,其射影,°求与平面所成角的正弦值.当堂检测(时量5分钟满分10分)计分
1.直线和平面内两条直线都垂直,则与平面的位置关系是().A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能
2.已知直线和平面,下列错误的是().A.B.C.∥或D.∥
3.是异面直线那么经过的所有平面().A.只有一个平面与平行B.有无数个平面与平行C.只有一个平面与垂直D.有无数个平面与垂直
4.两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系是________________.
5.若平面∥平面直线则与_____.
6.如图10-11,在正方体中,是底面的中心,,为垂足,求证面.§
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3.2平面与平面垂直的判定学习目标
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小;
2.理解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系;
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.
一、自主学习(预习教材P67~P69,找出疑惑之处)复习1⑴若直线垂直于平面,则这条直线________平面内的任何直线;⑵直线与平面垂直的判定定理为____________________________________________________________________________.复习2⑴什么是直线与平面所成的角⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.
二、新课导学探究1二面角的有关概念图11-1问题上图中,水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么新知1从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作二面角或或.问题二面角的大小怎么确定呢?新知2如图11-3,在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思⑴两个平面相交,构成几个二面角它们的平面角的大小有什么关系?⑵你觉的二面角的大小范围是多少?⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗?除了以上的作法,二面角的平面角还能怎么作?探究2平面与平面垂直的判定问题教室的墙给人以垂直于地面的形象,想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?它们的大小是多少?新知3两个平面所成二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直.如图11-4,垂直,记作.问题除了定义,你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢?新知4两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.反思定理的实质是什么典型例题例1如图11-5,是⊙的直径,垂直于⊙所在的平面,是圆周上不同于的任意一点,求证平面平面.图11-5例2如图11-6,在正方体中,求面与面所成二面角的大小(取锐角).小结求二面角的关键是作出二面角的平面角.动手试试练.如图11-7,在空间四边形中,=90°,°,,⑴求证平面平面.⑵求二面角的平面角的正弦值.
三、总结提升学习小结
1.二面角的有关概念,二面角的求法;
2.两个平面垂直的判定定理及应用.当堂检测(时量5分钟满分10分)计分
1.以下四个命题,正确的是().A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2.对于直线平面能得出的一个条件是().A.B.C.D.
3.在正方体中,过的平面与过的平面的位置关系是().A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行
4.二面角的大小范围是________________.
5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线的位置关系为_______.课后作业
1.如图11-8,在正方体中,是棱与的中点,求面与面所成二面角的正切值.(取锐角)图11-8。