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第十五章整式的乘法
15.
1.1同底数幂的乘法教学目的
1、能归纳同底数幂的乘法法则,并正确理解其意义;
2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算,对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识,并能与加减运算加以区分;了解公式的逆向运用;教学重点同底数幂的乘法法则难点底数的不同情形,尤其是底数为多项式时的变号过程
一、创设情境,激发求知欲课本第140页的引例
二、复习提问1.乘方的意义求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2.指出下列各式的底数与指数134;2a3;3a+b2;4-23;5-23.其中,-23与-23的含义是否相同?结果是否相等?-24与-24呢?
三、讲授新课1.(课本141页问题)利用乘方概念计算1014×103.计算观察,探索规律完成课本第141页的“探索”,学生“概括”am×an=…=am+n;
3、 观察上式,找出其中包含的特征左边的底数相同,进行乘法运算;右边的底数与左边相同,指数相加
4、 归纳法则同底数的幂相乘,底数不变,指数相加
三、实践应用,巩固创新例
1、计算1x2·x52a·a632×24×234xm·x3m+1练习课本第142页学生板演过程,写出中间步骤以体现应用法则)2.随堂巩固下面计算否正确?若不正确请加以纠正
①a6·a6=2a6
②a2+a4=a6
③a2·a4=a8例
2、计算要点指导底数中负号的处理;能化为同底数幂的数字底数的处理;多项式底数及符号的处理例
3、
(1)填空⑴若xm+n×xm-n=x9;则m=;⑵2m=16,2n=8,则2m+n=
四、归纳小结,布置作业小结
1、同底数幂相乘的法则;
2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形;
3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;
4、要注意与加减运算的区别
15.
1.2幂的乘方教学目标
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.教学重点幂的乘方的运算性质及其应用.教学难点幂的运算性质的灵活运用.一知识回顾1.讲评作业中出现的错误2.同底数幂的乘法的应用的练习二新课引入探究根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律
(1)
(32)3=32×32×32=3﹝﹞
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a﹝﹞
(3)(am)3=am·am·am=a﹝﹞
(4)(am)n===amn.观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.引导学生归纳同底数幂的乘法法则幂的乘方,底数不变,指数相乘.即(am)n=amn(m、n都是正整数).
二、知识应用例题
(1)
(103)5;
(2)(a4)4;
(3)(am)2;
(4)-(x4)3;说明-(x4)3表示(x4)3的相反数练习课本第143页(学生黑板演板)补充例题
(1)(y2)3·y
(2)2(a2)6-(a3)4
(3)(ab2)34--2a2b4说明
(1)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·y=y2×3·y=y6+1=y7;
(2)2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12.三幂的乘方法则的逆用.
(1)x13·x7=x()=()5=()4=()10;
(2)a2m=()2=()m(m为正整数).练习1.已知3×9n=37,求n的值.2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值.3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值.
四、归纳小结、布置作业小结幂的乘方法则.
15.
1.3积的乘方教学目标
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.教学重点积的乘方的运算性质及其应用.教学难点积的乘方运算性质的灵活运用.教学过程创设情境,复习导入1.前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质
(1)
(2)
(3)
(4)2.探索新知,讲授新课
(1)3×57——积的乘方=——幂的意义=×——乘法交换律、结合律=37×57;——乘方的意义
(2)(ab)2=ab·ab=a·a·b·b=ab3(a2b3)3=a2b3·a2b3·a2b3=(a2·a2·a2·b3·b3·b3=ab4abn=——幂的意义=·——乘法交换律、结合律=anbn.——乘方的意义由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质积的乘方,等于把每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘.即abn=an·bn
二、知识应用,巩固提高例题3计算
(1)2a3;
(2)-5b3;
(3)xy22;
(4)-2/3x34.
(5)-2xy4
(6)(2×103 )2说明
(5)意在将abn=anbn推广,得到了abcn=anbncn判断对错下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?
①
②
③练习课本第144页 三.综合尝试,巩固知识 补充例题 计算
(1)
(2)四.逆用公式,即预备题
(1)
(2)例题
(1)0.12516·-817;
(2)
(2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.(注解)23m+2n=23m·22n=2m3·2n2=33·52=27×25=675.
四、归纳小结、布置作业作业习题
15.115.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)教学目标经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算教学重点单项式与单项式相乘的运算法则的探索.教学难点灵活运用法则进行计算和化简.教学过程复习巩固同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分提出问题,引入新课(课本引例)光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
(1)怎样计算(3×105)×(5×102)计算过程中用到哪些运算律及运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子?说明(3×105)×(5×102),它们相乘是单项式与单项式相乘.ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.单项式乘以单项式的运算法则及应用单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.例4(课本例题)计算(学生黑板演板)
(1)(-5a2b)(-3a);
(2)(2x)3(-5xy2).练习1(课本)计算
(1)3x25x3;
(2)4y(-2xy2);
(3)(3x2y)3•(-4x);
(4)(-2a)3(-3a)2.练习2(课本)下面计算的对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1)3a3•2a2=6a6;
(2)2x2•3x2=6x4;
(3)3x2•4x2=12x2;
(4)5y3•y5=15y15.四.巩固提高(补充例题)1.(-2x2y)·1/3xy
22.-3/2ab·-2a·-2/3a2b
23.2×1052·4×
1034.-4xy·-x2y2·1/2y
35.-1/2ab2c2·-1/3ab3c23·12a3b
6.-ab3·-a2b
37.-2xn+1yn·-3xy·-1/2x2z
8.-6m2n·x-y3·1/3mn2·y-x2五.小结作业方法归纳积的系数等于各系数的积,应先确定符号相同字母相乘,是同底数幂的乘法只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用单项式乘单项式的结果仍然是单项式作业课本149页315.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)教学目标经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算教学重点单项式与多项式相乘的运算法则的探索.教学难点灵活运用法则进行计算和化简.教学过程复习旧知单项式乘单项式的运算法则练习9x2y3·-2xy2-3ab3·1/3abz合并同类项的知识
二、问题引入,探究单项式与多项式相乘的法则(课本内容)三家连锁店以相同的价格m(单位元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为m(a+b+c).另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即ma+mb+mc.由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此m(a+b+c)=ma+mb+mc.学生归纳单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.引导学生体会单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,三.讲解例题
1.例题5(课本)计算
(1)(-4x2)(3x+1);
(2)
2.补充例题1化简求值:-3x2-2xx+3+x·x+2x·-4x+3+2007其中x=2008练习课本146页
1、
23.补充练习计算1.2ab(5ab2+3a2b);2.(ab2-2ab)·ab;3.-6x(x-3y);4.-2a2(ab+b2).5.(-2a2)·1/2ab+b
26.2/3x2y-6xy·1/2xy
27.-3x2·4x2-4/9x+183ab·6a2b4-3ab+3/2ab
39.1/3xny·3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y
10.-ab2·-3ab2·2/3a2b+a3·a2·a-1/3a四.小结归纳,布置作业作业课本第149页415.1.4整式的乘法(多项式乘以多项式)教学目标经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算.教学重点多项式与多项式相乘的运算法则的探索教学难点灵活运用法则进行计算和化简.教学过程mnabbnbmaman一.复习旧知讲评作业二.创设情景,引入新课(课本)如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地,增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)米2.另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)米2.由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn进行分析,可以把m+n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),再利用单项式与多项式相乘的法则,得a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.学生归纳多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、应用提高、拓展创新例6(课本)计算
(1)(3x+1)x+2;2x-8yx-y;3x+yx2-xy+y2进行运算时应注意不漏不重,符号问题,合并同类项练习(课本)148页12补充例题a+ba-b-a+2ba-b3x4-3x2+1x4+x2-2x-1x+1x2+1当a=-1/2时,求代数式2a-b2a+b+2a-bb-4a+2bb-3a的值四.归纳总结,布置作业课本149页
515.
2.1平方差公式教学目标经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.教学重点平方差公式的推导和应用.教学难点灵活运用平方差公式解决实际问题.过程创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容活动1知识复习多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn活动2计算下列各题,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1);
(2)(a+2)(a-2);
(3)(3-x)(3+x);
(4)(2m+n)(2m-n).再计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.得出平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1),然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗?图1图2图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为(a2-b2).在图2中,长方形的长和宽分别为(a+b)、(a-b),所以面积为(a+b)(a-b).这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
二、知识应用,巩固提高例1计算
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x+2y)(-x-2y)
(3)(b+2a)(2a-b);
(4)3+2a-3+2a练习加深对平方差公式的理解(课本153页练习1有同种题型)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()
(1)(x+1)(1+x);
(2)(a+b)(b-a);
(3)(-a+b)(a-b);
(4)(x2-y)(x+y2);
(5)(-a-b)(a-b);
(6)(c2-d2)(d2+c2).例题2计算
(1)102×98
(2)(y+2)y-2-y-1y+5
(3)(a+b+c)a-b+c(补充)420042-20032(补充)
(5)(a+3)a-3a2+9(补充)说明
(3)意在说明公式中的ab可以是单项式,也可以是多项式4意在说明公式的逆用练习课本153页2
四、归纳小结、布置作业课本习题156页习题1;
515.
2.2完全平方公式(第1课时)教学目标完全平方公式的推导及其应用;完全平方公式的几何背景;体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式.教学重点
(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释;
(2)完全平方公式的应用.教学难点完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用.教学过程激发学生兴趣,引出本节内容活动1探究,计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_________;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_________;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_________;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_________.答案
(1)p2+2p+1;
(2)m2+4m+4;
(3)p2-2p+1;
(4)m2-4m+4.活动2在上述活动中我们发现(a+b)2=,是否对任意的a、b,上述式子都成立呢?学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳,用多项式乘法法则可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
二、问题引申,总结归纳完全平方公式两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍,即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.在交流中让学生归纳完全平方公式的特征
(1)左边为两个数的和或差的平方;
(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍.活动4你能根据教材中的图15.2-2和图15.2-3中的面积说明完全平方公式吗三.例题讲解,巩固新知例3(课本)运用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2;2y-1/22补充例题运用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;3x+y)2-(x-y)2.说明
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用完全平方公式;
(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;
(3)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.例4(课本)运用完全平方公式计算
(1)1022;
(2)992.思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?为什么(a-b)2与(b-a)2相等吗?为什么(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么练习课本155页1;2补充例题1如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式,求k的值2已知x+y=8,xy=12,求x2+y2;(x-y)2的值3已知a+1/a=3求a2+1/a2
四、归纳小结、布置作业小结完全平方公式.作业课本156页习题2;6;
715.
2.2完全平方公式第2课时教学目标熟练掌握完全平方公式及其应用,理解公式中添括号的方法重点添括号法则及完全平方公式的灵活应用难点添括号法则及完全平方公式的灵活应用内容一复习旧知,引入添括号法则去括号法则a+b+c=a+b+ca-b+c=a-b-c添括号法则a+b+c=a+b+ca-b-c=a-b+c添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号练习(课本156页练习1有同种类型题)a+b-c=a+b-c=a--b+ca-b+c=a+-b+c=a-b-c二讲解例题,巩固新知例题5运用乘法公式计算课本
(1)(x+2y-3)x-2y+3
(2)(a+b+c)2.练习课本156页练习2三补充例题,开阔眼界1利用乘法公式化简求值题(2x+y)2-x+yx–y,其中x=1y=-22乘法公式在解方程和不等式中的应用
①已知a+b2=7a-b2=4求a2+b2和ab的值
②解不等式2x-5-5-2x+x+52﹥3x-x+2与三角形知识相结合的应用已知三角形ABC的三边长a、b、c,满足a2+b2+c2-ab–bc-ac=0,试判断三角形的形状四总结归纳,布置作业添括号法则作业课本157页3;4;5;8;9;(根据学生情况酌定)
15.
3.1同底数幂的除法教学目标
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力
2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解一些实际问题教学重点公式的实际应用教学难点a0=1中a≠0的规定教学过程探索同底数幂的除法法则
1、根据除法的意义填空,并探索其规律
(1)55÷53=5()
(2)107÷105=10()
(3)a6÷a3=a()推导公式am÷an=am-n(a≠0,m、n为正整数,且m>n)归纳同底数幂相除,底数不变,指数相减
2、比较公式am·an=am+n(am)n=amn(ab)m=ambmam÷an=am-n比较其异同,强调其适用条件实际应用例1计算
(1)x8÷x2
(2)a4÷a
(3)(ab)5÷(ab)2例2一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?解26M=26×210K=216K216÷28=28(张)=256(张)探究a0的意义根据除法的意义填空,你能得什么结论?
(1)32÷32=
(2)103÷103=
(3)am÷am=(a≠0)由除法意义得am÷an=1(a≠0)如果依照am÷am=am-m=a0于是规定a0=1(a≠0)即任何不等于0的数的0次幂都等于1
四、练习P
1601、
2、3
五、作业P164习题
15.
31、
4、
5、
715.
3.2整式的除法
(1)教学目标经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算教学重点运用法则计算单项式除法教学难点法则的探索教学过程
一、提出问题,引入新课]问题木星的质量约是
1.90×1024吨,地球的质量约是
5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?如何计算(
1.90×1024)÷(
5.98×1021),并说明依据
二、讨论问题,得出法则讨论如何计算
(1)8a3÷2a
(2)6x3y÷3xy
(3)12a3b3x3÷3ab2[注8a3÷2a就是(8a3)÷(2a)]由学生完成上面练习,并得出单项式除单项式法则单项式除以单项式法则单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
三、法则的应用例1计算
(1)28x4y2÷7x3y
(2)-5a5b3c÷15a4b练习P
1621、2例2计算下列各题
(1)(a+b)4÷(a+b)2
(2)[(x-y)3]3÷[(y-x)2]4
(3)(-6x2y)3÷(-3xy)3例3当x=-2,y=1/4时,求代数式(-4x2)÷-4x2+12x3y2÷-4x2y-24x4y3÷-4x3y2的值例4已知5m=325m=11,求53m-2n的值
四、归纳小结,布置作业本节所学法则可与前面所学的三个法则比较,理解并记忆
五、学校作业P
1642、
4、
5、6补充作业
1、月球距离地球大约
3.84×105km,一架飞机的速度约为8×102km/h,如果坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多长时间?
2、观察下面一列式子,根据你所看到的规律进行填空a,-2a2,4a2,-8a2,……,第10项为,第n项为
3、已知am=4,an=3,ak=2则am-3k+2n=
4、16m÷4n÷2等于()(A)2m-n-1B22m-n-2C23m-2n-1D24m-2n-
115.
3.3整式的除法
(2)教学目标经历探索多项式除以单项式法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算教学重点运用法则计算多项式除以单项式教学难点
(1)法则的探索;
(2)法则的逆应用;教学过程:
一、复习旧知:计算:
(1)am÷m+bm÷m
(2)a2÷a+ab÷a
(3)4x2y÷2xy+2xy2÷2xy
二、探索多项式除以单项式法则计算(am+bm)÷m,并说明计算的依据∵(a+b)m=am+bm∴(am+bm)÷m=a+b又am÷m+bm÷m=a+b故(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m用语言描述上式,得到多项式除以单项式法则多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加根据法则(a2+ab)÷a=+
三、实践应用例1计算
(1)(4x2y+2xy2)÷2xy
(2)(12a3-6a2+3a)÷3a
(3)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
(4)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x练习P163
(1)
(2)
(3)
(4)例2:计算
(1)(2/5a3x4-
0.9ax3)÷3/5ax3
(2)(2/5x3y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y2例3化简求值
(1)(x5+3x3)÷x3-(x+1)2其中x=-1/2
(2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y其中x=2,y=1
四、归纳小结,布置作业P16438思考题
(1)÷(-4x2)=-3x2+4x-2
(2)长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一个边长为2a,则它的周长是
(3)已知3n+11m能被10整除,求证3n+4+11m+2能被10整除整式的乘除复习课一教学目的1.通过系统复习,使学生在乘、除法的混合计算中,通过比较,掌握知识的内在联系.2.要求学生能熟练地掌握本章基本类型题目的计算.教学方法对要复习的内容、例题、练习尽力作好准备,减少板书时间可使用投影仪、小黑板、分发片子、表格等方法,提高课上复习密度,对题目的难度不作较大的提高,将尽力使学习落后生能充分利用好这次复习机会,使更多的同学能体验到完成一次学习任后的乐趣.教学重点和难点有关乘除法的各项运算法则的理解与应用.教学过程同学们已经学习完了整式的乘除法,现在我们一起对本章的内容作一个小结和复习.首先我们采取教师给出提纲、同学们认真填写的方法,在填写中,大家可以凭借记忆,也可以翻阅课本,但都要查阅作业.填好表格后,同学要互相交换,在教师的讲评中,判断填写的内容正确与否.在今后的学习中,同学们要逐步训练自己归纳总结的能力.
一、主要内容的复习与归纳对表格使用的建议根据学生对知识掌握的情况,对表格内的部分项目如法则、推导根据,可以分下面三个不同的要求来处理1.尽学生个人所能,写出较为详细的答案;2.查阅课本,在相应的位置上填写有关内容的页数;3.用符号“√”、“?”表示对涉及的内容已经掌握或尚有疑问.
二、例题例1计算1a32÷2a2;2a32÷a3;3b23·b32÷b4;43x3·2x;5a-2b3·a-2b4÷a-2b5.例2计算143x+1;24x·3x+1;例3把下列各式化简为k·10n的形式其中1≤k<1015×1047×105;
20.000073;32×103÷66000000.有两种思路例4计算25x+33x-2;36a2-2a-33a-2;4a4-a-ba+ba2+b2.
三、练习与作业1.判断对错13a2b·-3abc=-9a3b2c;2-2a2x-x3+2x2-3ax-1=2a2x4-4a2x3+6a3x;316x8+8x4=2x4;42x+1x-1=2x2-1;5-a2·-a4·-a3=-a2+4+3;6a·a3·a5=a0+3+5;7[a+b2]3=a+b6;8[x+y2n]5=x+y2n+52.计算1x·x2·x32;22m4·-m22·-m;3.计算
10.3a2-
0.2a+
0.1×
0.2;26xy[x25x+3-3x2-4y];37x2y2z+8x3y2z÷8x2y2;4[xyx2-xy-x2yx-y]·3xy2.4.计算19a-2ba+b;2x2+3x2-2;3x2y-xy22xy2-3xy;4a3b+a2b2-ab-ab2.第56节整式的乘除复习课二教学内容
一、乘法公式的复习与归纳对表格使用的建议与说明1.十字相乘公式仅复习两式一次项系数为1的类型就可以了,即x+ax+b=x2+a+bx+ab,因为它在乘法公式的推导中,起到一定的作用,等学习因式分解时,再推广到更一般的类型.2.大部分数学公式应要求学生会双向使用,作为整式乘除、分解因式都涉及到的乘法公式恰恰充分体现了数学公式的上述特点.为阐述上的方便,我们渐渐将公式的“左边”与“右边”其实“左”与“右”不是固定的称为公式的“乘式”与“积式”,表格内“作为多项式相乘的特殊性”一栏,就是要引导学生注意公式“乘式”一般的特点.注意公式中的乘式与一般乘式的区别,若不便于书写,可口头回答.乘法公式的名称不能充分体现公式“乘式”一边的特点.
二、例题例1计算1-3xy+5y5y+3xy;2a-b+ca+b-c;3a-b-cb+c-a.例2计算1x-y2·x+y2;2-x2+2y22;31012.例3计算1a3+3a3-3a6+9a12+81;2[x-2yx+2y]2;3a+2b-3a+2b+3.
三、练习与作业1.计算12a-b2b2+2a;25x2x+3x-3;42x+
0.5y2;
50.la-
0.3b2;62x+y-z2.2.计算14xx-12-x2x+52x-5;252x+52+3x-4-3x-4;3.解下列不等式:15x+4>3x-l;23x+43x-4<x-2x+3.4.解下列方程1x-55+x-x+1x+5=24;22x+3x-4=x-22x+5.5.解下列方程组
15.
4.1提公因式法教学目标
1、理解因式分解的概念
2、会确定多多项式的公因式
3、会用提公因式法分解因式教学重点用提公因式法分解因式教学难点公因式的确定教学过程
一、分解因式(因式分解)的概念计算
(1)x(x+1)
(2)(x+1)(x-1)(学生练习,并演板)x(x+1)=x2+x(x+1)(x-1)=x2-1上面二式都是整式乘法,即把整式的乘积化为多项式的形式反过来x2+x=x(x+1)x2-1=(x+1)(x-1)即把多项式化为整式积的形式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做这个多项式因式分解(或分解因式)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即它们互为逆运算判断下列各式由左边到右边的变形中,哪些是因式分解
(1)6=2×3
(2)a(b+c)=ab+ac
(3)a2-2a+1=a(a-2)+1
(4)a2-2a=a(a-2)
(5)a+1=a(1+1/a)
二、提公因式法
1、公因式多项式ma+mb+mc中,各项都有一个公共的因式m,称为该多项式的公因式一般地,一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式指出下列各多项式的公因式
(1)8a3b2+12ab3c
(2)8m2n+2mn
(3)-6abc+3ab2-9a2b通过以上各题,你对确定多项式的公因式有什么方法?(学生归纳、总结)
2、提公因式法由m(a+b+c)=ma+mb+mc,得到ma+mb+mc+=ma+b+c其中,一个因式是公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,这种分解因式的方法叫做提公因式法
三、例1把
(1)2a2b-4ab228a3b2+12ab3c分解因式解
(1)2a2b-4ab2=2ab×a-2ab×2b=2ab(a-2b)
(2)8a3b2+12ab3c=4ab2×2a2+4ab2×3bc=4ab2(2a2+3bc)练习P1671
(1)
(2)例2把2a(b+c)-3(b+c)分解因式练习P1671
(3)
(4)2例3用简便方法计算
(1)9992+999
(2)20072-2006×2007练习P1673
四、归纳小结,布置作业
(1)分解因式
(2)确定公因式
(3)提公因式方法P170习题
15.416补充练习
1、分解因式
(1)m2a-2+m2-a
(2)m-n-mn+1
(3)a2n-an
(4)(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
2、计算210-29-
283、已知a-b=3,ab=-1,求a2b-ab
24、若a为实数,则多项式a2(a2-1)-a2+1的值()A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、不等于
05、证明817-279-913能被45整除
6、若关于x的二次三项式3x2-mx+n分解因式结果为(3x+2)(x-1),则m=,n=
15.
4.2公式法
(1)教学目标
(1)进一步理解分解因式的概念
(2)能熟练运用平方差公式分解因式教学重点把符合公式形式的多项式写成平方差的形式,并分解因式教学难点
(1)确定多项式中的a、b;
(2)分解彻底;教学过程复习巩固
1、什么叫分解因式?
2、用提公因式法分解因式
(1)2xy-4y
(2)-2x(x+1)+(x+1)2
二、用平方差公式分解因式把公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)该公式用语言叙述为两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积注
(1)使用平方差公式分解因式时,必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式,再分解因式,即用公式分解因式时,必须认准其中的“a”与“b”
(2)公式中的a、b即可以是单项式,也可以是多项式
三、公式的应用例1分解因式
(1)4x2-9
(2)(x+p)2-(x+q)2解
(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)练习P16812例2分解因式
(1)x4-y4
(2)a3b-ab注分解因式,必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止练习分解因式
(1)a3-a
(2)-(1+xy)2+(1-xy)2
(3)x2(x-y)+y2(y-x)
(4)1-x4
(5)2x2-8
(6)m2(a-2+m(2-a)
(7)m2-n2+2m-2n
四、小结
(1)应用平方差公式分解因式,必须认准的a与b
(2)分解因式必须彻底]
(3)有公因式的先提公因式,再用公式分解
五、作业P
1712715.
4.3公式法
(2)教学目标熟练应用完全平方公式分解因式教学重点把多项式写成符合公式的形式,并分解因式教学难点
(1)辨认多项式中的“a”与“b”;
(2)分解到底教学过程
一、复习平方差公式,并练习下列各题
(1)-a2+b2
(2)(x+2)2-(x-2)2
(3)2a-8a2
二、用完全平方公式分解因式把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,得到a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2注
(1)形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式,说出它们的特点
(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解
(3)上面两个公式用语言叙述为两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方
三、例题或练习
1、下列多项式是不是完全平方式?为什么?
(1)a2-2a+1
(2)a2-4a+4
(3)a2+2ab-b2
(4)a2+ab+b2
(5)9a2-6a+1
(6)a2+a+1/
42、分解因式
(1)16x2+24x+9
(2)-x2+4xy-4y2解16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32[a2+2·a·b+b2]=(4x+3)2[(a+b)2]
3、分解因式
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36练习P1702
(1)――
(6)
四、归纳小结,布置作业
(1)用完全平方公式分解因式时,必须认准a与b
(2)分解因式要“完全彻底”作业P
17135915.
4.4习题课教学目标综合应用提出因式法和公式法分解因式教学重点
(1)熟练应用分解因式的两种方法分解因式;
(2)两种方法的综合应用;教学难点
(1)选择恰当的分解方法;
(2)把多项式分解彻底;教学过程
一、分解因式有哪些方法?你认为在使用这些方法时,应注意什么?
二、例题或练习
1、下边从左到右的变形,是因式分解的有
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)a2-2ab+b2=(b-a)2
(3)x2-4x+5=(x-2)2+1
(4)x2-4x+5=x(x-4)+5
(5)(x+3)(x-3)=x2-9
(6)-ma+mb-mc=-m(a+b+c)
2、-m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)的公因式是()
3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+4y2B、x2-2xy+4y2C、-x2-4xy+4y2D、(x-y)2-10(y-x)+
254、填空
(1)-1/9a2+1/4=()2-()2
(2)4x2+1+=(+1)2
(3)1/9x2++1/4y2=(9/3x-1/2y)2
(4)若x2+kx+64是完全平方式,则k的值为
(5)x2+5x+=()
25、把下列各式分解因式
(1)a4+3a2
(2)5(a-2)3-3(2-a)2
(3)(x-2)2-x+2
(4)a(a-b-c)+b(b+c-a)
(5)(a-b)2(a+b)3-(b-a)3(b+a)2
(6)-2xy+6x2y2-8x2y
6、把下列各式分解因式
(1)1/2x2-2y2
(2)-6a-a2-9
(3)(1/36x-1/3)x+1
(4)(a+b)2-4(a+b-1)
(5)x2+8x(x+1)+16(x+1)2
(6)2(a2+b2)(a+b)2-(a2-b2)2
(7)x3+x2+
0.25x
(8)(x2-x)2+1/2(x2-x)+1/16
(9)x3-x2+
47、
(1)求证对于任意自然数n,2n+4-2n是30的倍数
(2)求证248-1可以被63和65整除作业P17146810课外作业P173数学活动
1215.
4.5十字相乘法(二次项系数为1)教学目标使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解教学重点准确、迅速进行十字相乘分解因式教学难点p与q异号的情形教学过程
一、复习巩固课本P148练习2,观察规律,得到(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq反过来,有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)它告诉我们对于二次项系数为1的二次三项式,如果它的常数项能够分解成两个因数,并且它们的和恰好等于一次项系数,那么,它就可以分解成两个一次因式的积如x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)X2+(-1+2)x+(-1)×2=(x-1)(x+2)
二、例题与练习例1分解因式x2+6x+8解x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)熟练后,中间步骤可省去练习分解因式
(1)x2+7x+12
(2)x2+12x+20例2分解因式x2-8x+15分析因为-8为负数,所以15应分解为两个负数之积解x2-8x+15=x2+[(-3)+(-5)]x+(-5)×(-3)=[x+(-3)][x+(-5)]=(x-3)(x-5)练习分解因式
(1)x2-3x+30
(2)x2-8x+12例3分解因式
(1)x2-3x-10
(2)x2+9x-10分析(由学生分析,解答)练习分解因式
(1)x2-3x-4
(2)x2+10x-24
(3)a2+a-20
(4)a2-9a-36例4分解因式
(1)x2-7xy-18y2
(2)x2y2+7xy-44
(3)x2-20xy+96y2
(4)a4-21a2-100例5分解因式
(1)-a2+6ab-9b2
(2)-x2-3x+4
(3)x-x2+42
(4)x2(x2-20)+64
(5)3x2y2-9xy-12
(6)(x2+x)2-14(x2+x)+24
(7)(x2+x)(x2+x-1)-2例6求证四个连续自然数的乘积与1的和一定是某个自然数的平方作业课本P172
(1)
(2)
(3)
(4)
15.
4.6小结与复习教学目标把握本章知识脉络,掌握本章基础知识教学重点
(1)整的乘除法;
(2)因式分解;教学难点
(1)正确使用公式;
(2)逆用公式解题;教学过程
一、本章知识结构图整式乘法乘法公式整式除法分解因式
二、回顾与思考
1、幂的运算性质是整式乘除法的基础,单项式的乘除是整式乘除的关键,举例说明怎样将多项式乘(除以)单项式,多项式乘多项式转化为单项式的乘除
2、把一些特殊形式的多项式乘法写成公式的形式,可以简化运算,本章学习了哪些乘法公式?你能从图形角度解释公式的合理性吗?
3、举例说明因式分解与整式乘法之间的关系,你学习了哪几种分解因式的方法?请举例说明
三、例题与练习
(一)
1、-x2(-x)2(-x)3=
2、(-x5)+(-x7)5=
3、已知xn=5,yn=3,则(x2y)2n值为
4、(-x)9÷x4÷(-x)3=
(二)计算下列各题
1、(9/4×102)×(25×103)2×(-2×106)
22、(4x4y)(-xy3)
53、当a=-3/4时,求-2a(3a2-4a-1)-a(-6a2+5a-2)的值
4、若(x+a)(x2-6x+b)的展开式中,不含x2次和x项,则a=,b=
5、(a+2)2-2a(a+2)
6、(x+3)(x+4)-x(x+2)-
57、若x-y=2,x2-y2=10,则x+y=
8、(2m+1)(2m-1)(4m2+1)=
9、(x+2y-1)(x+1-2y)=
10、(-x-1/2)2=
11、若(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy=
12、若a2+ma+9是完全平方式,那么m=
13、a2+b2=(a+b)2-
14、(y+3)2-(3-y)2=
15、(6×106)÷(-3×103)=
16、16m÷4m÷2=
217、(2/5x2y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y
218、长方形面积为4a2-6ab+2a,一边长为2a,则周长是
三、分解因式
1、4x3-6x2=
2、ma-b-n(b-a)=
3、m2-36m2=
4、(2x+y)2-(x+2y)2=
5、p4-1=
6、若x2-2(m+3)x+16是完全平方式,则m的值为
7、a2-2a(b+c)+(b+c)
28、1/2x2-xy+1/2y
29、xy2-2xy+x
10、a2b2-a2-b2-
111、(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)
212、x2-5x+
613、x2-5x-
614、x2+5x-
615、2x2-20x+
5016、(a+2)(a-8)+
2517、a2+2ab+b2+4a+4b+
418、已知a-b=3,ab=-1,求a2b-ab2的值
19、证明817-279-913能被45整除
20、已知a、b为自然数且a2-b2=45,求a、b的值
21、若x2+y2+2x-8y+17=0,求y/x的值
22、若一个三角形边长为a、b、c,且a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,试判断该三角形的形状,并说明理由
23、若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab,求b/a的值
24、若两个两位数的十位数字相同,而它们的个位数字之和为10,研究它们积的规律,并证明你的结论作业P175复习题15思考题
(1)设y=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10证明不论x取任何实数,y的值总大于0
(2)分解因式x2+4xy+4y2-4x-8y+3
(3)
①若a2+ba+12能分解为两个一次因式的乘积,且b为整数,则b=
②若a+12a+b能分解为两个一次因式的乘积,且b为正整数,则b=
(4)在实数范围内分解因式
①x2-3
②5x2-4
(5)证明两个相邻奇数的平方差是8的倍数。