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全国181套中考数学试题分类解析汇编专题49直线与圆的位置关系
一、选择题
1.(浙江杭州3分)在平面直角坐标系O中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆A.与轴相交,与轴相切B.与轴相离,与轴相交C.与轴相切,与轴相交D.与轴相切,与轴相离【答案】C【考点】直线与圆的位置关系,坐标与图形性质【分析】首先画出图形,根据点的坐标得到圆心O到轴的距离是4,到轴的距离是3,根据直线与圆的位置关系即可求出答案∵4=4,3<4,∴圆O与轴相切,与轴相交故选C
2.(浙江湖州3分)如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,且BC=OB,CE是⊙O的切线,D为切点,过点A作AE⊥CE,垂足为E.则CD∶DE的值是A.B.1C.2D.3【答案】C【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质,等量代换【分析】连接OD,由CE是⊙O的切线,得OD⊥CE,又∵AE⊥CE,∴OD∥AE∴△COD∽△CAE∴又∵BC=OB,OB=OA=OD,∴∴故选C
3.(山东日照4分)已知AC⊥BC于C,BC=,CA=,AB=,下列选项中⊙O的半径为的是【答案】D【考点】三角形的内切圆与内心,切线的性质,正方形的判定和性质,解一元一次方程,相似三角形的判定和性质【分析】设圆的半径是rA、设圆切BC于D,切AC于E,切AB于F,连接OD,OE,OF,如图,根据切线的性质可得到正方形OECD,AE=AF,BD=BF,则-r+-r=,∴r=,故本选项错误;B、设圆切AB于F,连接OF,如图,则OF=r,AO=-r,△BCA∽△OFA,∴,即,∴r=,故本选项错误;C、连接OE、OD,根据AC、BC分别切圆O于E、D,如图,根据切线的性质可得到正方形OECD,则OE=r,AE=-r,△BCA∽△OEA,∴,即,∴r=,故本选项正确;D、设圆切BC于D,连接OD,OA,则BD=+r,由BA=BD得=+r,即r=-,故本选项错误故选C
4.(山东烟台4分)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是A2mB.3mC.6mD.9m【答案】C【考点】三角形内切圆的性质,勾股定理【分析】此题实质是求三角形内切圆的半径由勾股定理可得斜边为10,设内切圆半径为r,则利用面积法可得r6+8+10=×6×8,解得r=2因此管道为2×3=6(m)故选C
5.(山东枣庄3分)如图,PA是O的切线,切点为A,PA=2∠APO=30°,则O的半径为A.1B.C.2D.4【答案】C【考点】圆的切线性质,锐角三角函数【分析】连接OA,则在Rt△AOP中,OA=PAtan∠APO=2·tan30°=2·=2故选C
6.(湖北武汉3分)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为 A.12秒. B.16秒. C.20秒. D.24秒.【答案】B【考点】点与圆的位置关系,含30度角直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的性质【分析】要求A处受噪音影响的时间,即要求出火车在铁路MN上对A处噪音影响的范围,因此,如图过点A作AC⊥ON,设MN上点B、D距点A的距离为200米,即AB=AD=200米,火车在B点至D点之间对学校产生噪音影响∵∠QON=30°,OA=240米,∴AC=120米(直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半)在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=米,∴BD=320米∵72千米/小时=20米/秒,∴影响时间应是320÷20=16秒故选B
7.(湖北黄冈、鄂州3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=A、30°B、45°C、60°D、
67.5°【答案】D【考点】圆的切线性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角定理【分析】根据图形由切线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理,得到∠COD=∠D=45°;由同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质,得到∠ACO=
22.5°,所以由三角形内外角定理∠PCA=∠ACO+∠D=
22.5°+45°=
67.5°故选D
8.(湖北恩施3分)如图,直线AB、AD与⊙O相切于点B、D,C为⊙O上一点,且∠BCD=140°,则∠A的度数是A、70°B、105°C、100°D、110°【答案】C【考点】圆内接四边形的性质,圆周角定理,切线的性质,多边形内角和定理【分析】如图,过点B作直径BE,连接OD、DE∵B、C、D、E共圆,∠BCD=140°,∴∠E=180°﹣140°=40°∴∠BOD=80°∵AB、AD与⊙O相切于点B、D,∴∠OBA=∠ODA=90°∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°故选C
9.(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于A、30°B、60°C、45°D、50°【答案】C【考点】角平分线的定义,切线的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形外角定理【分析】连接OC,∵OC=OA,,PD平分∠APC,∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC∵∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP=45°,即∠CDP=45°故选C
10.(四川成都3分)已知⊙O的面积为9πcm2,若点O到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是A、相交B、相切C、相离D、无法确定【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【分析】设圆O的半径是r,根据圆的面积公式求出半径,再和点O到直线l的距离π比较即可∵⊙O的面积为9π,∴πr2=9π,r=3∵点O到直线l的距离为π,3<π,即r<d∴直线l与⊙O的位置关系是相离故选C
11.(四川眉山3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,AC是⊙O的直径,∠P=50°,则∠BOC的度数为A.50°B.25°C.40°D.60°【答案】A【考点】切线的性质,多边形内角和定理【分析】∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,而∠P=50°,∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°又∵AC是⊙O的直径,∴∠BOC=180°-130°=50°故选A
12.(甘肃兰州4分)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于A、20°B、30°C、40°D、50°【答案】C【考点】等腰三角形的性质,三角形的外角定理,切线的性质,三角形内角和定理【分析】连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=25°(等边对等角)∴∠DOC=50°(三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和)又∵DC切⊙O于点C,∴OC⊥DC(切线的性质),即∠OCD=90°∴∠DOC=180°―90°―50°=40°(三角形内角和定理)故选C
13.(辽宁营口3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm的长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相切或相离【答案】B【考点】圆与直线的关系,含30度角直角三角形的性质【分析】要确定⊙C与AB的位置关系,就要看圆心C到AB的距离与圆半径的关系,距离大于半径,二者相离;距离等于半径,二者相切;距离小于半径,二者相交因此作辅助线作CD⊥AB,垂足为点D由∠B=30°,BC=4cm,根据直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半的性质,得CD=2cm,它等于圆的半径因此⊙C与AB的位置关系是相切故选B
14.(贵州遵义3分)如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是A.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC∥OD【答案】A【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形中位线定理,切线的判定【分析】当AB=AC时,如图连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC∴CD=BD∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC∵DE⊥AC,∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线所以选项B正确当CD=BD时,AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC∵DE⊥AC,∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线所以选项C正确当AC∥OD时,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线所以选项D正确根据排他法,故选A
二、填空题
1.(浙江衢州4分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r,用角尺的较短边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O相切于点C,假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点为B,较短边AB=8cm,若读得BC长为cm,则用含的代数式表示r为 ▲ .【答案】当0<r≤8时,r=;当r>8时,r=【考点】切线的性质,勾股定理【分析】
①易知,当0<r≤8时,r=;
②当r>8时,根据切线的性质,连接OC,则OC⊥BC,连接OA,过点A作AD⊥OC于点D,在直角三角形OAD中用勾股定理计算求出圆的半径在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣8)2+2整理得r=
2.(广西贵港2分)如图所示,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,O是AB的中点,⊙O与AC、BC分别相切于点D、E,点F是⊙O与AB的一个交点,连接DF并延长交CB的延长线于点G,则BG的长是_▲.【答案】2-2【考点】圆切线的性质,平行线的判定和性质,三角形中位线定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质【分析】连接OD,∵AC是⊙O的切线,∠C=90°,∴OD∥BC又∵O是AB的中点,BC=4,∴OD=2又由勾股定理可求AB=4,∴OB=2,FB=2-2又由OD∥BC知,△DOF∽△GBF,而OD=OF,∴BG=FB=2-23.(湖南长沙3分)如图,P是⊙O的直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=-20°,则∠A=▲°【答案】35【考点】切线的性质,三角形内角和定理,圆周角定理【分析】∵PC与⊙O相切于点C,∴OC⊥CP(切线的性质)∵∠P=20°,∴∠COB=70°(三角形内角和定理)∴∠A=∠COB=35°(圆周角定理)
4.(湖南益阳4分)如图,AB是⊙O的切线,半径OA=2,OB交⊙O于C,B=30°,则劣弧的长是▲.(结果保留)【答案】【考点】弧长的计算,切线的性质【分析】∵AB是⊙O的切线,∴∠OAB=90°∵OA=2,∠B=30°,∴∠AOB=60°∴则劣弧的长是
5.(海南3分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC交⊙O于点D,若∠C=50°,则∠AOD= ▲ °【答案】80【考点】切线的性质,圆周角定理【分析】连接AD,∵AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,∴AD⊥BD,AB⊥AC∵∠C=50°,∴∠DAC=∠B=90°-∠C=40°,∴∠AOD=80°
6.(江苏苏州3分)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=,则线段BC的长度等于▲.【答案】1【考点】圆的切线性质,勾股定理【分析】连接OD则由圆的切线性质得OD⊥CD,由AC=3BC有OC=2BC=2OB∴Rt△CDO中根据勾股定理有
7.(江苏宿迁3分)如图,从⊙O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC.若∠A=26°,则∠ACB的度数为▲.【答案】32°【考点】圆的切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形外角定理【分析】连接OE,∵AB是⊙O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°又∵∠A=26°,∴∠AOB=90°-26°=64°又∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ACB=∠AOB=32°
8.(江苏徐州3分)已知O半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O上有且只有▲个点到直线AB的距离为3【答案】3【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离【分析】画图,在AB两侧作直线,且CD、EF与AB的距离为3由于圆心O到直线AB的距离为2,所以圆心O到直线CD的距离为5,等于O半径5故直线CD与O相切,二者有且只有一个交点C显然由于EF与圆心O的距离为1,小于O半径5,故直线EF与O相交,二者有且只有两个交点E、F因此O上有且只有3个点到直线AB的距离为39.(山东济宁3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm,以点C为圆心,以3cm长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是▲【答案】相交【考点】圆与直线的位置关系,点到直线的距离,锐角三角函数【分析】∵∠A=60°,BC=4cm,∴∠B=30°.∴点C到直线AB的距离为BcsinB=4cm,小于⊙C的半径3cm∴根据圆与直线的位置关系的判定,知⊙C与直线AB相交
10.(山东泰安3分)如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,若∠ABC=32°,则∠P的度数为▲.【答案】26°【考点】切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理【分析】连接OA,则由切线的性质知△PAO是直角三角形,根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的关系,即可求得∠POA=2∠ABC=64°,从而根据三角形内角和定理可得∠P=90°-∠POA=26°
11.(山东威海3分)如图
①,将一个量角器与一张等腰三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE=5㎝;将量角器沿DC方向平移2㎝,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图
②则AB的边长为▲㎝(精确到
0.1㎝)【答案】
24.5【考点】等腰直角三角形的性质,勾股定理,直线与圆相切的性质【分析】如图
②等腰直角三角形OHC中,设OH=CH=r,则OC=r+3由勾股定理得2r2=r+32,解之得r=3+3∴AD=CD=8+3,AB=16+6≈16+6×
1.41=
24.46≈
24.
512.(广东省4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C.若∠A=40º,则∠C=______▲______.【答案】250【考点】圆切线的性质,三角形内角和定理,圆周角定理【分析】连接OB∵AB与⊙O相切于点B,∴∠OBA=900又∵∠A=40º,∴∠BOA=500∴∠C=
25013.(河南省3分)如图,CB切⊙O于点B,CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径,点E是上异于点A、D的一点.若∠C=40°,则∠E的度数为 ▲ .【答案】40°【考点】切线的性质,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系【分析】如图连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°(直径所对圆周角是直角)∵BC切⊙O于点B,∴∠ABC=90°(切线的性质)∵∠C=40°,∴∠BAC=50°(直角三角形两锐角互余)∴∠ABD=40°∴∠E=∠ABD=40°(同弧所对圆周角相等)
14.(四川宜宾3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC=▲.【答案】20°【考点】切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质【分析】∵PA是⊙O的切线,AC是⊙O的直径,∴∠PAC=90°∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB∵∠P=40°,∴∠PAB=(180°-40°)÷2=70°∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-70°=20°
15.(四川自贡4分)在Rt△ABC中,∠A=30°,直角边AC=6㎝,以C为圆心,3㎝为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是▲.【答案】相切【考点】直线和圆的位置关系,含30度角直角三角形的性质【分析】作CD⊥AB,垂足为D,则由在Rt△ABC中,∠A=30°,直角边AC=6㎝,根据直角三角形中30度角所对直角边是斜边一半的性质,得CD=3,等于圆的半径因此,⊙C与AB的位置关系是相切
16.(四川南充3分)如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P= ▲ 度.【答案】50°【考点】切线的性质,三角形内角和定理【分析】∵PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点,∴PA=PB,∠OBP=90°∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=25°∴∠ABP=90°﹣25°=65°∵PA=PB,∴∠BAP=∠ABP=65°∴∠P=180°﹣65°﹣65°=50°
17.(青海省2分)如图所示,⊙O的两条切线PA和PB相交于点P,与⊙O相切于A、B两点,C是⊙O上的一点,若∠P=700,则∠ACB=▲【答案】55°【考点】切线的性质,多边形内角和定理,圆周角定理【分析】连接OA、OB,∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B,∴OA⊥AP,OB⊥PB(切线的性质)∴∠OAP=∠OBP=90°(垂直的定义)又∠P=70°,∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°(多边形内角和定理)又∵∠ACB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角,∴∠ACB=∠AOB=×110°=55°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)
18.(辽宁锦州3分)如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的切线,∠D=32°,则∠A=▲.【答案】【考点】切线的性质,三角形外角定理,等腰三角形的性质【分析】由AB是⊙O的直径,BD是⊙O的切线,得∠DBO=90°,由三角形外角定理,等腰三角形等边对等角的性质,得∠A=
19.(贵州毕节5分)如图,已知PA、PB分别切⊙O于点A、B,点C在⊙O上,∠BCA=650,则∠P=▲【答案】50°【考点】切线的性质,圆周角定理【分析】连接OA,OB,由∠BCA=650,根据圆周角定理得∠AOB=130°,∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°
20.(贵州黔东南4分)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,已知⊙O的半径为2,∠P=60°,则弦AB的长为▲【答案】2【考点】切线的性质弦径定理,等量代换,解直角三角形,特殊角的确三角函数值【分析】如图,连接PA,OA,PO与AB交于C,由切线的性质,得∠APO=30°;由弦径定理,得OC⊥AB,AC=BC∴∠CAO=30°,AC=AO·cos∠CAO=∴AB=2AC=2
三、解答题
1.(浙江舟山、嘉兴10分)如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.【答案】
(1)证明∵BC是直径,∴∠BDC=90°∴∠ABC+∠DCB=90°∵∠ACD=∠ABC,∴∠ACD+∠DCB=90°∴BC⊥CA∴CA是圆的切线
(2)解在Rt△AEC中,tan∠AEC=,∴=,EC=AC在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴=,BC=AC∵BC﹣EC=BE,BE=6,答圆的直径是10【考点】切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数的定义,解直角三角形【分析】
(1)根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°,推出∠ACD+∠DCB=90°,即BC⊥CA,即可判断CA是圆的切线
(2)根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=,tan∠ABC=,推出EC=AC,BC=AC,代入BC﹣EC=BE即可求出AC,进一步求出BC即可
2.(浙江温州8分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.已知OA=3,AE=2,
(1)求CD的长;
(2)求BF的长.【答案】解
(1)如图连接OC,∵AB是直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE在直角△OCE中,OC2=OE2+CE2,即32=(3﹣2)2+CE2,得CE=2∴CD=4
(2)∵BF切⊙O于点B,∴∠ABF=90°=∠AEC∴△ACE∽△AFB∴,即∴BF=6【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质【分析】
(1)连接OC,在△OCE中用勾股定理计算求出CE的长,然后得到CD的长
(2)根据切线的性质得AB⊥BF,然后用△ACE∽△AFB,可以求出BF的长
3.(浙江义乌8分)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=
(1)求证CD∥BF;
(2)求⊙O的半径;
(3)求弦CD的长.【答案】解
(1)∵BF是⊙O的切线∴AB⊥BF∵AB⊥CD,∴CD∥BF
(2)连结BD∵AB是直径,∴∠ADB=90°∵∠BCD=∠BAD,cos∠BCD=∴cos∠BAD=又∵AD=3,∴AB=4∴⊙O的半径为2
(3)∵cos∠DAE=,AD=3,∴AE=∴ED=∴CD=2ED=【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形【分析】
(1)由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF,而AB⊥CD,由此即可证明CD∥BF
(2)连接BD,由AB是直径得到∠ADB=90°,而∠BCD=∠BAD,cos∠BCD=,所以cos∠BAD=ADAB=,然后利用三角函数即可求出⊙O的半径
(3)由于cos∠DAE=,而AD=3,由此求出AE,接着利用勾股定理可以求出ED,也就求出了CD
4.(辽宁沈阳10分)如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OD⊥OB,连接AB交OC于点D.⑴求证AC=CD⑵若AC=2,AO=,求OD的长度.【答案】解⑴证明∵AC是⊙切线,∴OA⊥AC∴∠OAC=90°∴∠OAB+∠CAB=90°∵OD⊥OB,∴∠COB=90°∴∠ODB+∠B=90°∵OA=OB,∴∠OAB=∠B∴∠CAB=∠ODB∵∠ODB=∠ADC,∴∠CAB=∠ADC∴AC=CD⑵在Rt△OAC中,OC==3,∴OD=OC-CD=OC-AC=3-2=1【考点】切线的性质,等量代换,勾股定理【分析】
(1)根据切线的性质可得出,∠OAC=90°,再由已知条件得∠ODB+∠B=90°,由OA=OB可得出∠OAB=∠B,从而得出∠CAB=∠ADC,即AC=CD
(2)利用勾股定理求出OC,即可得出OD的长
5.(辽宁本溪10分)如图,⊙O的直径AB与弦CD(不是直径)相交于点E,且CE=DE,过点B作CD得平行线AD延长线于点F.
(1)求证BF是⊙O的切线;
(2)连接BC,若⊙O的半径为4,sin∠BCD=,求CD的长?【答案】解
(1)证明∵AB是⊙O的直径,CE=DE∴AB⊥CD∴∠AED=90°∵CD∥BF,∴∠ABF=∠AED=90°∴BF是⊙O的切线
(2)连接BD,∵AB是⊙O的切线,∴∠ADB=90°∴BD=AB•sin∠BAD=AB•sin∠BCD=∴∵S=AB•DE=AD•BD,∴DE=,∴CD=2DE=.【考点】切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形【分析】
(1)由AB是⊙O的直径,CE=DE,得∠AED=90°,再由CD∥BF,得∠ABF=∠AED=90°,从而得出BF是⊙O的切线
(2)连接BD,因为AB是⊙O的切线,则∠ADB=90°,再由sin∠BCD=,求得AD,根据三角形的面积得DE的长,从而得出CD
6.(辽宁阜新12分)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O直径,AC=CD,连接AD交BC于点M,延长MC到N,使CN=CM.
(1)判断直线AN是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)若AC=10,tan∠CAD=,求AD的长.【答案】解
(1)直线AN是⊙O的切线证明如下∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°∴AC⊥MN又∵CN=CM,∴∠NAC=∠MAC又∵AC=CD,∴∠MAC=∠ADC∴∠NAC=∠ADC又∵∠ADC=∠D,∠NAC=∠D∴在Rt△CAN和Rt△CBA中,∠BAC=∠N∵∠NAC+∠N=90°,∴∠NAB=∠NAC+∠BAC=∠NAC+∠N=90°∴AN⊥AB又∵AB为⊙O直径,∴直线AN是⊙O的切线
(2)过点C作CP⊥AD,垂足为点P,∵AC=CD,∴AP=DP在Rt△APC中,∵tan∠CAD=,tan∠CAD=,∴
①又∵AC=10,,∴
②联立
①②,得AP=8∴AD=16【考点】直径所对圆周角的性质,线段垂直平分线的性质,同弧所对圆周角的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,锐角三角函数,勾股定理【分析】
(1)要证直线AN是⊙O的切线,只要证AN垂直于过切点的直径AB即可应用直径所对圆周角是直角的性质,线段垂直平分线的性质,同弧所对圆周角相等的性质,三角形内角和等于180°的定理,等腰三角形等边对等角的性质即可证明
(2)要求AD的长只要在Rt△APC中,由tan∠CAD=和勾股定理即可求
7.(吉林省8分)如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦,过点C作CD⊥AB与点D,将△ACD沿AC翻折,点D落在点E处,AE交⊙O于点F连接OC、FC.1)求证CE是⊙O的切线
(2)若FC∥AB,求证四边形AOCF是菱形【答案】解1)证由翻折可知,∠FAC=∠OAC,∠E=∠ADC=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴∠FAC=∠OCA∴OC∥AE∴∠OCE=90°,即OC⊥OE∴CE是⊙O的切线
(2)证∵FC∥AB,OC∥AF,∴四边形AOCF是平行四边形∵OA=OC,∴AOCF是菱形【考点】翻折的性质,圆切线的判定,菱形的判定【分析】1)要证CE是⊙O的切线,只要证∠OCE=90°即可,由已知和翻折即可证出
(2)要证四边形AOCF是菱形,由OA=OC只要证它是平行四边形即可,这由1)易证
8.(黑龙江大庆9分)如图,Rt△ABC的两直角AC边长为
4、BC边长为3,它的内切圆为⊙O,⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,延长CO交斜边AB于点G.1求⊙O的半径长;2求线段DG的长.【答案】解
(1)设⊙O的半径为,由已知OD⊥AB,OF⊥AC,且OD=OF,则Rt△OAD≌Rt△OAF(HL)∴AD=AF同理,BD=BE,CE=CF又∠ACB=900,∴四边形OECF为正方形,得CE=CF在Rt△ABC中,由AD=4,BC=3∴由AF+BE=AB,即,得∴⊙O的半径长为1
(2)延长AC到点H使CH=BC=3∵∠ACB=900,∴∠CHB=450又∵CG是∠ACB的平分线,∴∠ACG=450∴∠ACG=∠CHB∴△ACG∽△AHB∴∴AG又∵AD=AF=AC-FC=4-1=3,∴DG=AD-AG【考点】三角形的内切圆与内心,全等三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质【分析】
(1)由勾股定理求AB,即可由直角三角形的三边求出内切圆半径
(2)构造三角形AHB延长AC到点H使CH=BC=3,这样即可证得△ACG∽△AHB,从而求出AG的长,即能求得DG的长
9.(广西桂林10分)如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连接AE、AD、DC.
(1)求证D是的中点;
(2)求证∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)若,且AC=4,求CF的长.【答案】解
(1)证明∵AC是⊙O的直径,∴AE⊥BC∵OD∥BC,∴AE⊥OD∴D是的中点
(2)如图,延长OD交AB于G,则OG∥BC,∴∠AGD=∠B∵∠ADO=∠BAD+∠AGD,OA=OD,∴∠DAO=∠ADO∴∠DAO=∠B+∠BAD
(3)∵AO=OC,∴S△OCD=S△ACD,∵,∴∵∠ACD=∠FCE,∠ADC=∠FEC=90°,∴△ACD∽△FCE∴,即,∴CF=2【考点】圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质【分析】
(1)由AC是⊙O的直径,即可求得OD∥BC,又由AE⊥OD,即可证得D是的中点
(2)延长OD交AB于G,则OG∥BC,可得OA=OD,根据等腰三角形的性质,即可求得∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)由AO=OC,S△OCD=S△ACD,,即可得,又由△ACD∽△FCE,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得CF的长.
10.(广西北海10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.1求证EF是⊙O的切线;2当∠BAC=60º时,DE与DF有何数量关系?请说明理由;3当AB=5,BC=6时,求tan∠BAC的值.【答案】解
(1)证明连接OD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C又∵OD=OB,∴∠ABC=∠ODB∴∠ODB=∠C∴OD∥AC∵EF⊥AC,∴OD⊥EF∴EF是⊙O的切线
(2)DE与DF的数量关系为DF=2DE理由如下连接AD∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC∵AB=AC,∠BAC=60º,∴∠CAD=∠DAB=∠BAC=30°∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°,∴∠DAF=∠F∴AD=DF又∵∠EAD=30°,EF⊥AC,∴AD=2DE∴DF=2DE.
(3)设⊙O与AC的交点为P,连接BP,则BP⊥AC,
(2)知BD=BC=3∴∴,∴∴∴tan∠BAC=【考点】等腰三角形的判定和性质,平行的判定和性质,圆的切线的判定,圆周角定理,含30°角的直角三角形的性质,等量代换,勾股定理,锐角三角函数【分析】
(1)要证EF是⊙O的切线,只要证EF垂直于过切点的半径,故连接OD,从而由等腰三角形等边对等角的性质和平行的性质即可得到证明
(2)要证DF=2DE,即要考虑把它们放到同一个三角形中一方面可以由直径所对圆周角是直角的定理和等腰三角形底边上三线全一的性质证明AD=DF;另一方面可以由含30°角的直角三角形中30°角所对的边是斜边一半的性质证明AD=2DE从而得证
(3)要求tan∠BAC的值,即要考虑∠BAC是一直角三角形的内角,故连接BP,知△BAC是直角三角形,,这样tan∠BAC就等于BP和AP的比值,只要求出BP和AP即可
11.(广西柳州10分)如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.
(1)求证直线CD为⊙O的切线;
(2)当AB=2BE,且CE=时,求AD的长.【答案】解1证明连接OC,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB∴∠OCA=∠DAC∴AD∥CO∵CD⊥AD,∴CD⊥OC∴CD为⊙O的切线
(2)∵AB=2BO,AB=2BE,∴BO=BE=CO设BO=BE=CO=,∴OE=2在Rt△OCE中,CO=,CE=,OE=2∴OC2+CE2=OE2,即2+2=22,∴=1,∠E=30°∴AE=3在Rt△AED中,∠E=30°,AE=3,∴AD=【考点】平行的判定和性质,切线的判定和性质,勾股定理,三角函数的定义【分析】
(1)如图,连接OC,由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB,然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB,接着利用平行线的判定得到AD∥CO,而CD⊥AD,由此得到CD⊥AD,最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线
(2)由AB=2BO,AB=2BE得到BO=BE=CO,设BO=BE=CO=,所以OE=2,在Rt△OCE中,利用勾股定理列出关于的方程,解方程求出,最后利用三角函数的定义即可求解
12.(广西南宁10分)如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交于点B.1求证直线AB是⊙O的切线.2当AC=1,BE=2,求tan∠OAC的值.【答案】解1证明如图,连接OE,∵弦DE∥OA,∴∠COA=∠ODE,∠EOA=∠OED∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED∴∠COA=∠EOA又∵OC=OE,OA=OA,∴△OAC≌△OAE(SAS)∴∠OEA=∠OCA又∵AC⊥CD,∴∠OEA=∠OCA=90°∴OE⊥AB∴直线AB是⊙O的切线
(2)由1知△OAC≌△OAE,∴AE=AC=1,AB=1+2=3在Rt△ABC中,∵∠B=∠B,∠BCA=∠BOE,∴⊿BOE∽⊿BAC∴∴在Rt△AOC中,tan∠OAC=【考点】平行线的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,圆切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义【分析】1根据DE∥OA和OD=OE易由SAS证△OAC≌△OAE,从而∠OEA=∠OCA因此由AC⊥CD即可证得直线AB是⊙O的切线
(2)由勾股定理和相似三角形的判定和性质,根据正切函数的定义即可求得
13.(广西梧州10分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC,作∠DAC=∠ACD,作AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.
(1)求证AD是⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径是6cm,EC=8cm,求GF的长.【答案】解
(1)证明连接OC∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°∴∠OCA+∠ACD=90°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC∵∠DAC=∠ACD,∴∠OAC+∠CAD=90°∴∠OAD=90°∴OA⊥AD∴AD是⊙O的切线
(3)连接BG∵OC=6cm,EC=8cm,∴在Rt△CEO中,OE==10∴AE=OE+OA=1∵AF⊥ED,∴∠AFE=∠OCE=90°又∵∠E=∠E,∴Rt△AEF∽Rt△OEC∴=,即=∴AF=
9.6∵AB是⊙O的直径,∴∠AGB=90°∴∠AGB=∠AFE又∵∠BAG=∠EAF,∴Rt△ABG∽Rt△AEF∴=,即=∴AG=
7.2∴GF=AF-AG=
9.6-
7.2=
2.4cm【考点】切线的性质和判定,等腰三角形的性质,等量代换,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质【分析】
(1)要证AD是⊙O的切线,由于OA是半径,故只要OA⊥AD,即∠OAD=90°由已知的CD是⊙O的切线和∠DAC=∠ACD经过等量代换即可证得
(2)连接BG,由圆周角定理知∠AGB=90°因此要求GF的长,只要求出AF和AG即可一方面,AF可由Rt△AEF∽Rt△OEC求出;另一方面,AG可由Rt△ABG∽Rt△AEF求出
14.(湖南永州10分)如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC.⑴求证BE是⊙O的切线;⑵若OA=10,BC=16,求BE的长.【答案】解⑴证明∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°又∵OD∥AC,∴∠ODB=∠ACB=90°∴∠BOD+∠ABC=90°又∵∠OEB=∠ABC,∴∠BOD+∠OEB=90°∴∠OBE=90°∵AB是半圆O的直径,∴BE是⊙O的切线⑵在Rt△ABC中,AB=2OA=20,BC=16,∴AC=∴∴∴【考点】圆周角定理,平行的性质,三角形内角和定理,切线的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数【分析】
(1)首先由AB是半圆O的直径可以得到∠ACB=90°,由OD∥AC利用平行线的性质可以得到∠EDB=90°,而∠OEB=∠ABC,由此可以证明∠ABC+∠DBE=90°,最后利用切线的判定即可证明题目的结论
(2)首先利用勾股定理可以求出线段BC的长度,利用锐角三角函数即可求解(也可以利用已知条件证明△ACB∽△OBE求解)
15.(湖南衡阳8分)如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2.求CD的长.【答案】解
(1)CD与⊙O相切理由如下连接OC,∵CA=CB,∴OC⊥AB∵CD∥AB,∴OC⊥CD∵OC是半径,∴CD与⊙O相切
(2)∵CA=CB,∠ACB=120°,∴∠DOC=60°∵OA=OC=2,∴CD=OC·tan∠DOC=2·tan60°=2【考点】切线的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值【分析】
(1)连接OC,证明OC⊥DC,利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可
(2)利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠DOC=60°,利用解直角三角形求得CD的长即可
16.(湖南岳阳8分)已知⊙O的直径AB的长为4cm,C是⊙O上一点,∠BAC=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,求BP的长.【答案】解连接OC,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO=30°∴∠COB=60°∵OC是切线,∴OC⊥PC∴∠P=30°∴OP=2OC=4cm,∴BP=OP﹣OB=4-2=2cm【考点】切线的性质,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的发报【分析】连接OC,即可求得∠P=30°,从而求得OP的长,根据BP=OP﹣OB即可求解
17.(湖南株洲8分)如图,AB为O的直径,BC为O的切线,AC交O于点E,D为AC上一点,∠AOD=∠C.
(1)求证OD⊥AC;
(2)若AE=8,,求OD的长.【答案】解
(1)证明∵AB为O的直径,BC为O的切线∴∠ABC=900,∴∠A+∠C=900又∵∠AOD=∠C,∴∠AOD+∠A=900∴∠ADO=900∴OD⊥AC
(2)∵OD⊥AE,O为圆心,∴D为AE中点∴又,∴OD=3【考点】切线的性质,垂径定理,圆周角定理,锐角三角函数的定义【分析】
(1)根据切线的性质得出∠ABC=90°,从而得出∠A+∠C=90°,再由∠AOD=∠C,可得∠AOD+∠A=90°,即可证明
(2)由垂径定理可得,D为AE中点,根据已知可利用锐角三角函数求出
18.(江苏南通8分)如图,AM切⊙O于点A,BD⊥AM于点D,BD交⊙O于点C,OC平分∠AOB.求∠B的度数.【答案】解∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠COB,∵AM切⊙O于点A,即OA⊥AM,又BD⊥AM,∴OA∥BD,∴∠AOC=∠OCB又∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∴∠B=∠OCB=∠COB=600【考点】圆切线的性质,角平分线定义,直线平行的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理【分析】要求∠B,由于OC=OB,根据等边对等角可知∠OCB=∠B由于OA,BD都垂直于同一条直线AM,从而OA∥BD,根据两直线平行内错角相等,有∠AOC=∠OCB而OC平分∠AOB,通过等量代换可得∠B=∠OCB=∠COB,因此由三角形的内角和1800可得∠B==
60019.(江苏淮安10分)如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°.1直线BD是否与⊙O相切?为什么?2连接CD,若CD=5,求AB的长.【答案】解1直线BD与⊙O相切.理由如下如图,连接OD,∵∠DAB和∠DOC分别是弧CD所对的圆周角和圆心角,∴∠DOC=2∠DAB=2×30°=60°∴∠ODB=180°-∠DOC-∠B=180°-60°-30°=90°,即OD⊥BD∴直线BD与⊙O相切2∵OA=OD,∴∠ODA=∠DAB=30°,∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,又∵OC=OD,∴△DOB是等边三角形,∴OA=OD=CD=5又∵∠B=30°,∠ODB=90°,∴OB=2OD=
10.∴AB=OA+OB=5+10=15【考点】同弧所对的圆周角和圆心角的关系,三角形内角和定理,圆切线的判定;含30°角的直角三角形的性质【分析】
(1)根据切线的判断定理要判断BD与圆相切,即要证明BD垂直于过切点D的半径,故作辅助线连接半径OD,通过应用同弧所对的圆周角是圆心角的一半和三角形内角和是1800来计算得到∠ODB=90°,从而证明BD与⊙O相切
(2)△OCD是边长为5的等边三角形,得到圆的半径的长,然后应用直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半的定理求出OB的长从而得到AB的长
20.(山东滨州8分)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM,连接OM、BC.求证
(1)△ABC∽△POM;
(2)2OA2=OP•BC.【答案】证明
(1)∵直线PM切⊙O于点M,∴∠PMO=90°∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°∴∠ACB=∠PMO,∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P∴△ABC∽△POM
(2)∵△ABC∽△POM,∴又AB=2OA,OA=OM,∴2OA2=OP•BC.【考点】切线的性质,直径所对圆周角的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质【分析】
(1)因为PM切⊙O于点M,所以∠PMO=90°,又因为弦AB是直径,所以∠ACB=∠PMO=90°,再由条件弦AC∥PM,可证得∠CAB=∠P,从而可证得△ABC∽△POM
(2)由
(1)可得,又因为AB=2OA,OA=OM;所以2OA2=OP•BC
21.(山东菏泽10分)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,
(1)求证△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.【答案】解
(1)证明∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB
(2)∵△ABE∽△ADB,∴,∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12∴AB=
(3)直线FA与⊙O相切理由如下连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°∴在Rt△ABD中∴BF=BO=∵AB=,∴BF=BO=AB∴∠OAF=90°又∵AO是⊙O的半径,∴直线FA与⊙O相切【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的判定【分析】
(1)根据AB=AC,可得∠ABC=∠C,利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB
(2)根据△ABE∽△ADB,利用其对应边成比例,将已知数值代入即可求得AB的长.
(3)连接OA,根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°,利用勾股定理求得BD,然后再求证∠OAF=90°即可
22.(山东济宁7分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM与于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF
(1)求证OD∥BE;
(2)猜想OF与CD有何数量关系?并说明理由【答案】解
(1)证明连接OE∵AM、DE是⊙O的切线,OA、OE是⊙O的半径,∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°∴∠AOD=∠EOD=∠AOE∵∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE∴OD∥BE2OF=CD理由如下连接OC∵BE、CE是⊙O的切线,∴∠OCB=∠OCE∵AM∥BN,∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°由
(1)得∠ADO=∠EDO,∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90°在Rt△DOC中,∵F是DC的中点,∴OF=CD【考点】圆的切线性质,同弧所对的圆周角和圆心角的关系,平行的判定和性质,直角三角形中位线的性质【分析】
(1)连接OE,要证OD∥BE,根据平行的判定定理,只要∠AOD=∠ABE一方面由AM和BN是⊙O的两条切线,根据圆的切线性质有∠AOD=∠AOE;另一方面由,同弧所对的圆周角是圆心角的一半的关系,得∠ABE=∠AOE从而得证
(2)连接OC,要证OF=CD,由已知F是DC的中点,只要证△DOC是直角三角形即可由AM、DE、BE是⊙O的切线可得∠ADO=∠EDO和∠OCB=∠OCE;又由AM∥BN知∠ADC+∠DCB=180°,从而得证
23.(山东聊城8分)如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是OA的中点,CD⊥OA交半圆于点D,点E是的中点,连接AE、OD,过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P.1求∠AOD的度数;2求证PD是半圆O的切线.【答案】
(1)解∵点C是OA的中点,∴OC=OA=OD∵CD⊥OA,∴∠OCD=90°在Rt△OCD中,cos∠COD=,∴∠COD=60°,即∠AOD=60°
(2)证明连接OE,∵点E是的中点,∴∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=(180°-∠COD)=(180°-60°)=60°∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°,∴∠EAO=30°∵PD∥AE∴∠P=∠EAO=30°由
(1)知∠AOD=60°,即∠POD=60°,∴∠PDO=180°-(∠P+∠POD)=180°-(30°+60°)=90°∴PD是半圆O的切线【考点】锐角三角函数,等弧所对圆周角的性质,互为邻补角的性质,等腰三角形的性质,三角形外角定理,平行的性质,三角形内角和定理,圆的切线的判定【分析】
(1)在Rt△OCD中,应用锐角三角函数即可求出∠AOD的度数
(2)要证PD是半圆O的切线,即要∠PDO=90°,也即要∠P+∠POD=90°一方面由
(1)知∠POD=60°;另一方面由PD∥AE知∠P=∠EAO,而∠EAO由邻补角和等腰三角形的性质以及三角形外角等于和它不相邻的两内角之和,可以求出等于30°,从而得证
24.(山东淄博9分)已知△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证直线EF是⊙O的切线;
(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.【答案】解
(1)证明连接OE,则OB=OE∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°∴△OBE是等边三角形∴∠OEB=∠C=60°∴OE∥AC∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°∴∠OEF=∠EFC=90°∴EF是⊙O的切线
(2)连接DF∵DF是⊙O的切线,∴∠ADF=90°设⊙O的半径为r,则BE=r,EC=,AD=在Rt△ADF中,∵∠A=60°,∴AF=2AD=∴FC=在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC∴=2()解得∴⊙O的半径是【考点】等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,圆切线的判定,含300角直角三角形的性质【分析】
(1)要证EF是⊙O的切线,即要证EF垂直于过切点的半径,故连接OE,易证△OBE是等边三角形,从而由平行的判定和性质即可证得∠OEF=∠EFC=90°而得证
(2)由两个含300角的Rt△ADF和Rt△CEF,即可应用300角所对直角边是斜边一半的性质列等式求得
25.(广东湛江12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.
(1)求证直线BD与⊙O相切;
(2)若AD AE=45,BC=6,求⊙O的直径.【答案】解
(1)证明连接OD,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO又∵∠A+∠CDB=90°,∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣(∠ADO+∠CDB)=90°∴BD⊥OD∴BD是⊙O切线
(2)连接DE,∵AE是直径,∴∠ADE=90°又∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C∴DE∥BC又∵D是AC中点,∴AD=CD∴AD CD=AE BE∴AE=BE∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB∴AD AE=AC AB∴AC AB=45设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,∴BC AB=35∵BC=6,∴AB=10∴AE=AB=10【考点】切线的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理【分析】
(1)连接OD,由∠A=∠ADO,进而证得∠ADO+∠CDB=90°,而证得BD⊥OD
(2)连接DE,证得∠ADE=90°,∠ADE=∠C,而得DE∥BC,所以△ADE∽△ACB,设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,而求得
26.(湖北武汉8分)如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=,求sinE的值.【答案】解
(1)证明连接OA, ∵PA为⊙O的切线, ∴∠PAO=90° ∵OA=OB,OP⊥AB于C, ∴BC=CA,PB=PA ∴△PBO≌△PAO(HL) ∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB为⊙O的切线
(2)连接AD,∵BD是直径,∴∠BAD=90° 由
(1)知∠BCO=90°, ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴由AD∥OC得AD=2OC∵tan∠ABE=,∴设OC=t则BC=2tAD=2t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t, ∴可设EA=2mEP=5m则PA=3m ∵PA=PB,∴PB=3m ∴sinE=【考点】切线的性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,待定系数法【分析】
(1)要证PB是⊙O的切线,只要连接OA,再证∠PBO=90°即可
(2)连接AD,证明△ADE∽△POE,得到,设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC,可求出sin∠E的值
27.(湖北咸宁8分)如图,AB是⊙O的直径,过B点作⊙O的切线,交弦AE的延长线于点C,作OD⊥AC,垂足为D,若∠ACB=60°,BC=2,求DE的长.【答案】解∵BC是⊙O的切线,∴AB⊥BC在Rt△ABC中,∵,∴∴在Rt△AOD中,,∴∵OD⊥AC,∴【考点】切线的性质,圆周角定理,垂径定理,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角三角函数值【分析】利用切线的性质得到直角三角形ABC,在直角三角形ABC中求出AB的长,然后根据垂径定理求出线段DE的长
28.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.【答案】
(1)证明连接OB、OP∵且∠D=∠D,∴△BDC∽△PDO∴∠DBC=∠DPO∴BC∥OP∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠BOP∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO∴∠BOP=∠POA又∵OB=OA,OP=OP,∴△BOP≌△AOP(SAS)∴∠PBO=∠PAO又∵PA⊥AC,∴∠PBO=90°∴直线PB是⊙O的切线
(2)由
(1)知∠BCO=∠POA设PB,则BD=,又∵PA=PB,∴AD=又∵BC∥OP,∴∴∴∴∴cos∠BCA=cos∠POA=【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理【分析】
(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°
(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值
29.(四川乐山10分)如图,D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.1求证:CD是O的切线;2过点B作O的切线交CD的延长线于点E若BC=6tan∠CDA=求BE的长【答案】解
(1)证明连接OD,OE,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠1,∴∠1=∠CDA∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°∴CD是⊙O的切线
(2)解∵EB为⊙O的切线,∴ED=EB,OD⊥BD∴∠ABD=∠OEB∴∠CDA=∠OEB而tan∠CDA=,∴tan∠OEB=∵Rt△CDO∽Rt△CBE,∴∴CD=在Rt△CBE中,设BE=,∴,解得∴BE的长为【考点】圆周角定理,切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,勾股定理【分析】
(1)连OD,OE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°
(2)根据切线的性质得到ED=EB,OD⊥BD,则∠ABD=∠OEB,得到tan∠CDA=tan∠OEB=,易证Rt△CDO∽Rt△CBE,得到,求得CD,然后在Rt△CBE中,运用勾股定理可计算出BE的长
30.(四川雅安10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证DE是⊙O的切线;
(2)如果BC=8,AB=5,求CE的长.【答案】解
(1)证明连接OD∵OD=OB(⊙O的半径),∴∠B=∠ODB(等边对等角)∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角)∴∠C=∠ODB(等量代换)∴OD∥AC(同位角相等,两直线平行)∴∠ODE=∠DEC(两直线平行,内错角相等)∵DE⊥AC(已知),∴∠DEC=90°∴∠ODE=90°,即DE⊥OD∴DE是⊙O的切线
(2)连接AD∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)∴AD⊥CD在Rt△ACD和Rt△DCE中,∠C=∠C(公共角),∠CED=∠CDA=90°,∴Rt△ACD∽Rt△DCE,∴又由
(1)知,OD∥AC,O是AB的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴CD=BC∵BC=8,AB=5,AB=AC,∴CE=【考点】等腰三角形的判定和性质,平行的判定和性质,切线的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理【分析】
(1)连接OD,只要证明OD⊥DE即可
(2)连接AD,构造Rt△ACD,根据相似三角形的判定定理判定Rt△ACD∽Rt△DCE,然后由相似三角形的对应边成比例得,;最后根据三角形中位线的判定与性质求得CD的长度,从而求得CE的长
31.(陕西省8分)如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于P点,CP交⊙O于D
(1)求证AP=AC;
(2)若AC=3,求PC的长.【答案】解
(1)证明连接AO,则AO⊥PA,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°∴∠AOP=60°∴∠P=30°又∵OA=OC,∴∠ACP=30°∴∠P=∠ACP,∴AP=AC
(2)在直角△PAO中,∠P=30°,PA=AC=3,∴AO=PA×tan30°=∴PO=2∵CO=OA=,∴PC=PO+OC=3【考点】切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值【分析】
(1)连接OA,由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质可得∠AOC=120°,所以,由三角形内角和定理和等腰三角形等边对等角的性质可得∠P=∠C=30°,从而根据等腰三角形等角对等边的判定即可证明
(2)由
(1)PA=AC=3,所以根据锐角三角函数定义可求PO=2,从而可求PC=
332.(宁夏自治区8分)已知如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.
(1)求证PD是⊙O的切线;
(2)若∠CAB=120°,AB=2,求BC的值.【答案】解
(1)证明连接OP∵AB=AC,∴∠C=∠B又∵OP=OB,∴∠OPB=∠B∴∠C=∠OPB∴OP∥AD又∵PD⊥AC于D,∴∠ADP=90°∴∠DPO=90°∴PD是⊙O的切线
(2)连接AP∵AB是直径,∴∠APB=90°∵AB=AC=2,∠CAB=120°,∴∠BAP=60°,BC=2BP∴BP=AB·sin600=∴BC=2【考点】等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值【分析】
(1)要证明PD是⊙O的切线,只要证明PD垂直于才切点的半径即可,由AB=AC和OP=OB,根据等腰三角形等边对等角的性质,可得∠C=∠OPB,从而根据同位角相等,两直线平行的判定得OP∥AD,因此由PD⊥AC可得∠DPO=90°从而得证
(2)连接AP,根据直径所对圆周角是直角的性质和等腰三角形三线合一的性质,用锐角三角函数解△APB可求得BP的长,从而可求得BC的长
33.(甘肃天水10分)在△ABC中,AB=AC,点O是△ABC的外心,连接AO并延长交BC于D,交△ABC的外接圆于E,过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q,设OQ=,BQ=3.
(1)求⊙O的半径;
(2)若DE=,求四边形ACEB的周长.【答案】解
(1)连接OB∵BQ与⊙O相切,∴∠OBQ=90°∴OB=∴⊙O的半径为
(2)∵AB=AC,O是△ABC的内心.∴∴AB=AC,BE=CE∴BC⊥AE∵OE=OB=,∴OD=OE﹣DE=∴在直角△ODB中,BD2=OB2﹣OD2=,在直角△BDE中,BE=∴CE=BE=∵AE是直径,∴∠ABE=90°∴在直角△ABE中,AE=2OB=2×=3,AB=∴AC=AB=∴四边形ACEB的周长是AB+AC+CE+BE=【考点】切线的性质,等腰三角形的性质,三角形外心性质,圆心角、弧和弦的关系勾股定理,圆周角定理,垂径定理【分析】
(1)连接OB,根据BQ是圆的切线,则△OBQ是直角三角形,根据勾股定理即可求得半径OB的长;
(2)根据AB=AC,O是△ABC的内心,可以得到BC⊥AE,且AE是直径,BE=CE.在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD的长,再在直角△BED中,利用勾股定理求得BE的长;在直角△ABE中求得AB的长,据此即可求得四边形的周长.
34.(青海省7分)已知如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF是过点C的⊙O的切线,AD⊥EF于点D.
(1)求证∠BAC=∠CAD
(2)若∠B=30°,AB=12,求的长.【答案】解
(1)证明连接OC∵EF是过点C的⊙O的切线∴OC⊥EF又∵AD⊥EF,∴OC∥AD∴∠OCA=∠CAD又∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC∴∠BAC=∠CAD
(2)∵∠B=30°,∴∠AOC=60°∵AB=12,∴∴的长=【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,圆周角定理,弧长的计算【分析】
(1)连接OC,由EF为圆O的切线,根据切线性质得到OC与EF垂直,又AD与EF垂直,得到AD与OC平行,根据两直线平行得到内错角∠OCA=∠CAD,由OA=OC,根据“等边对等角”得到∠OCA=∠OAC,等量代换得证
(2)由OA=OB,根据“等边对等角”得到∠B=∠OCB=30°,又∠AOC和△BOC是同弧所对圆心角和圆周角,根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质求出∠AOC的度数,即为弧AC所对的圆心角的度数,然后由直径AB的长,求出半径的长,利用弧长公式即可求出AC^的长35.(新疆自治区、兵团8分)如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,圆心O在AC上,⊙O与BC相切于点D,求⊙O的半径.【答案】解连接OD∵⊙O与BC相切于点D,∴OD⊥BC∵在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC=设⊙O的半径为r,则OC=5-r.∵sinC=,即,解得∴⊙O的半径为【考点】切线的性质,勾股定理,锐角三角函数定义【分析】根据勾股定理得AC=5.连接OD,则OD⊥BC.设OD=r,则OC=5-r.根据sinC=建立关系式求解
36.(安徽芜湖12分)如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径.点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D1求证CD为⊙O的切线;2若DC+DA=6,⊙O的直径为l0,求AB的长度.【答案】解1证明连接OC∵点C在⊙O上,0A=OC∴∠OCA=∠OAC∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°有∠CAD+∠DCA=90°∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°又∵点C在⊙O上,OC为⊙0的半径,∴CD为⊙O的切线2过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x在Rt△AOF中,由勾股定理得.即,化简得解得或由ADDF,知,故从而AD=2AF=5-2=3∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6【考点】三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质,圆的切线的判定,矩形的总协定和性质,勾股定理,等量代换,解一元二次方程,垂径定理【分析】1要证CD为⊙O的切线,只要证CD垂直于对切点的半径,故作辅助线连接OC由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质,即能证出∠DCO=90°,从而得证2要求AB的长,就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系,根据垂径定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可由勾股定理和等量代换即可求得
37.(辽宁鞍山10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,以边AB为直径的⊙O经过点C,E是⊙O上的一点,且∠BEC=45°.1试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;2若BE=8cm,sin∠BCE=,求⊙O的半径.【答案】解1相切,理由如下连接OC∵∠BEC=45°,∴∠BOC=90°∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD∴∠OCD=∠BOC=90°∴OC⊥CD又∵OC为半径,∴CD为⊙O的切线2连接AE∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°∵∠EAB=∠BCE,sin∠BCE=,∴sin∠EAB=∴=∵BE=8,∴AB=10∴AO=AB=5∴⊙O的半径为5cm【考点】圆周角定理,平行四边形的性质,平行的性质,圆的切线的判定,三角函数定义【分析】1要证CD为⊙O的切线,即要证CD垂直于过切点的半径,故连接OC一方面由∠BEC=45°,根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质,得∠BOC=90°;另一方面由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质即可证得OC⊥CD,从而得证
(2)构造直角三角形,根据直径所对圆周角是直角的性质,连接AE,,则∠AEB=90°,∠EAB=∠BCE,从而sin∠EAB=,即可求出直径和半径
38.(辽宁朝阳10分)如图,AB为⊙O的直径,D为弦BC的中心,连接OD并延长交过点C的切线于点P,连接AC.求证△CPD∽△ABC.【答案】证明连接OC∵PC是⊙O的切线,点C为切点,∴∠OCP=90°∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥CD又点D为弦BC的中点,∴OP⊥CD∴∠P+∠POC=90°,∠OCD+∠POC=90°,∴∠P=∠OCD∵OC=OB,∴∠OCD=∠ABC∴∠P=∠ABC∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°∴∠CDP=∠ACB=90°∴△CDP∽△ABC.【考点】切线的性质,直角三角形两锐角的关系,弦径定理,等腰三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定【分析】要证△CPD∽△ABC,一方面由直径所对圆周角是直角的性质知∠ACB=90°,同时由D为弦BC的中心,根据弦径定理∠CDP=90°,二者相等另一方面由PC是⊙O的切线,连接OC,由切线的性质和直角三角形两锐角的关系得∠P=∠OCD,根据等腰三角形等边对等角的性质,得∠P=∠OCD=∠ABC从而得证
39.(辽宁锦州10分)如图,在△ABC中,D为AB上一点,⊙O经过B、C、D三点,∠COD=90°,∠ACD=∠BCO+∠BDO.1求证直线AC是⊙O的切线;2若∠BCO=15°,⊙O的半径为2,求BD的长.【答案】解1证明连接OB∵∠COD=90°,∴∠CBD=45°∵OB=OC,OB=OD,∴∠OBC=∠BCO,∠OBD=∠BDO∵∠CBD=45°,∴∠BCO+∠BDO=45°∵∠ACD=∠BCO+∠BDO,∴∠ACD=45°在Rt△COD中,OC=OD,∴∠OCD=45°∴∠OCA=90°∴直线AC是⊙O的切线2过O作OE⊥BD,垂足为E,∴BD=2DE∵∠BCO+∠BDO=45°,∠BCO=15°,∴∠BDO=30°在Rt△DOE中,DE=OD·cos30°=2×=∴BD=2【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,切线的判定,弦径定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值【分析】1要证AC是⊙O的切线只要证AC垂直于过切点的半径,故作辅助线连接OB一方面,由∠COD=90°,根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠CBD=45°,根据等腰三角形等边对等角的性质和已知∠ACD=∠BCO+∠BDO得∠ACD=45°另一方面,由△COD是等腰直角三角形可得∠OCD=45°从而得证
(2)要求BD的长,作作辅助线过O作OE⊥BD,根据弦径定理,BD=2DE由∠BCO=15°可求得∠BDO=30°,从而应用锐角三角函数可求DE而得BD的长
40.(辽宁辽阳3分)如图,⊙O经过点B、D、E,BD是⊙O的直径,∠C=90°,BE平分∠ABC.1试说明直线AC是⊙O的切线;2当AE=4,AD=2时,求⊙O的半径及BC的长.【答案】解1连接OE∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2∵OE=OB,∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OE∥AC又∠C=90°,∴∠AEO=90°∴AC是⊙O的切线2设⊙O的半径为r,在Rt△AEO中,由勾股定理可得OA2=OE2+AE2∵AE=4,AD=2,∴2+r2=r2+42∴r=3∵OE∥AC,∴△AEO∽△ACB∴=,即=∴BC=【考点】角平分线的性质,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质【分析】1要证直线AC是⊙O的切线,即要证直线AC垂直于过切点的半径,故作辅助线连接OE由角平分线的性质和等腰三角形等边对等角的性质,经过等量代换得到∠2=∠3从而由∠C=90°,根据平行的判定和性质得∠AEO=90°从而得证
(2)由勾股定理求出半径,再由△AEO∽△ACB即可求出BC的长
41.(云南昆明9分)如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交与点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.
(1)求证CF是⊙O的切线;
(2)∠F=30°时,求的值?【答案】解
(1)证明连接OE,∵AE平分∠FAC,∴∠CAE=∠OAE又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,∴OE∥AC∴∠OEF=∠ACF又∵AC⊥EF,∴∠OEF=∠ACF=90°∴OE⊥CF又∵点E在⊙O上,∴CF是⊙O的切线
(2)∵∠OEF=90°,∠F=30°,∴OF=2OE又OA=OE,∴AF=3OE,又∵OE∥AC,∴△OFE∽△AFC∴∴∴【考点】切线的判定与性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质【分析】
(1)连接OE,根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC,则∠OEF=∠ACF,由AC⊥EF,则∠OEF=∠ACF=90°,从而得出OE⊥CF,即CF是⊙O的切线
(2)由OE∥AC,则△OFE∽△AFC,根据相似三角形的的面积之比等于相似比的平方,从而得出的值
42.(贵州安顺12分)已知如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证点D是AB的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若⊙O的直径为18,cosB=,求DE的长.【答案】解
(1)证明连接CD,则CD⊥AB,又∵AC=BC,∴AD=BD,即点D是AB的中点
(2)DE是⊙O的切线理由是连接OD,则DO是△ABC的中位线,∴DO∥AC又∵DE⊥AC,∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线,
(3)连接CD,∵AC=BC,∴∠B=∠A,∴cos∠B=cos∠A=∵cos∠B=,BC=18,∴BD=6∴AD=6∵cos∠A=,∴AE=2在Rt△AED中,DE=【考点】切线的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形【分析】
(1)连接CD,由BC为直径可知CD⊥AB,又BC=AC,由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论
(2)连接OD,则OD为△ABC的中位线,OD∥AC,已知DE⊥AC,可证DE⊥OC,证明结论
(3)连接CD,在Rt△BCD中,已知BC=18,cosB=,求得BD=6,则AD=BD=6,在Rt△ADE中,已知AD=6,cosA=cosB=,可求AE,利用勾股定理求DE
43.(贵州铜仁12分)如图6,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD∥OC.1求证;2求证CD是⊙O的切线.【答案】证明
(1)连接OD,∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC又∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO,∴∠COB=∠COD∴
(2)由
(1)知∠DOE=∠BOE,在△COD和△COB中,CO=CO,∠DOC=∠BOC,OD=OB,∴△COD≌△COB(SAS)∴∠CDO=∠B又∵BC⊥AB,∴∠CDO=∠B=900,即CD是⊙O的切线【考点】平行的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,切线的判定【分析】
(1)连接OD,由平行可得∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC;再由OA=OD,可得出,∠DAO=∠ADO,则∠COB=∠COD,从而证出
(2)由
(1)得,△COD≌△COB,则∠CDO=∠B.又BC⊥AB,则∠CDO=∠B=90°,从而得出CD是⊙O的切线
44.(贵州黔南12分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE=ED,延长DB到点F,使FB=BD,连接AF.
(1)证明△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明.【答案】解:
(1)在△BDE和△FDA中,∵FB=BD,AE=ED,∴又∵∠BDE=∠FDA,∴△BDE∽△FDA
(2)直线AF与⊙O相切证明如下:连接OA,OB,OC,∵AB=AC,BO=CO,OA=OA,∴△OAB≌△OAC(SSS)∴∠OAB=∠OAC∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线∴AO⊥BC∵△BDE∽FDA,得∠EBD=∠AFD,∴BE∥FA∵AO⊥BE,∴AO⊥FA∴直线AF与⊙O相切【考点】相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定【分析】
(1)因为∠BDE公共,夹此角的两边BD DF=ED AD=23,由相似三角形的判定,可知△BDE∽△FDA
(2)连接OA、OB、OC,证明△OAB≌OAC,得出AO⊥BC.再由△BDE∽FDA,得出∠EBD=∠AFD,则BE∥FA,从而AO⊥FA,得出直线AF与⊙O相切
45.(贵州黔东南12分)如图,点P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线,切点为A,连接PO并延长,交⊙O于B、C两点
(1)求证△PBA∽△PAC
(2)若∠BAP=30°,PB=2,求⊙O的半径【答案】解
(1)证明连接AO∵BC是⊙O的直径,∴∠CAB=900又∵AP是⊙O的切线,∴∠OAP=900∴∠PAB=900-∠OAB=∠CAB=∠ACP又∵∠P=∠P,∴△PBA∽△PAC
(2)由
(1)知,∠ACP=∠PAB=30°,∴∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴∠ABO=60°∴∠APB=∠PAB=30°∴AB=BP=2∴OA=2∴⊙O的半径为2【考点】圆周角定理,圆切线的性质,相似三角形的判定,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质【分析】
(1)要证△PBA∽△PAC,由于∠P是公共角,从而只要再证得一角相等即可由圆周角定理和圆切线的性质知∠CAB和∠OAP都等于900,从而根据等量代换和等腰三角形的性质可得∠PAB=∠ACP,从而得证
(2)由
(1)易证△AOB是等边三角形,从而可证△ABP是等腰三角形,由等量代换可得OA=
246.(福建厦门8分)如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,BA平分∠CBE,AD⊥BE,垂足为D.
(1)求证AD为⊙O的切线;
(2)若AC=2,tan∠ABD=2,求⊙O的直径.【答案】解
(1)证明如图,连接OA.∵BA平分∠CBE,∴∠ABE=∠ABO又∵∠ABO=∠BAO,∴∠BAO=∠ABD∵AD⊥BE,∴∠ADB=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∴∠BAO+∠BAD=90°,即∠DAO=90°∴AD是⊙O切线
(2)∵BC是直径,∴∠BAC=90°又∵∠ABD=∠ABO,tan∠ABD=2,∴tan∠ABO=2在Rt△ABC中,,∴BC=【考点】切线的判定,三角形内角和定理,圆周角定理,锐角三角函数定义,勾股定理【分析】
(1)先连接OA,∵BA平分∠CBE,∴∠ABE=∠ABO,而∠ABO=∠BAO,易得∠BAO=∠ABD,结合AD⊥BE,易求∠BAO+∠BAD=90°,即∠DAO=90°,从而可证AD是⊙O切线
(2)由于BC是直径,那么∠BAC=90°,而∠ABD=∠ABO,tan∠ABD=2,易得tan∠ABO=2,在Rt△ABC中,易求AB,从而可求BC
47.(福建莆田9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、BC上的点.经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F,且D为的中点.
(1)4分求证BC与⊙O相切;
(2)4分当AD=;∠CAD=30°时.求的长,【答案】解
(1)证明连接OD,则OD=OA∴∠OAD=∠ODA(等边对等角)∵,∴∠OAD=∠CAD∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,即BC⊥OD∴BC与⊙O相切
(2)连接DE,则∠ADE=90°∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°,∴∠AOD=120°在Rt△ADE中,AE=∴⊙O的半径OA=2∴的长=【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理,平行的判定和性质,切线的判定与性质,三角形的内角和定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算【分析】
(1)连接OD.欲证明BC与⊙O相切,只要证明BC⊥OD即可
(2)连接DE,则根据直径所对的圆周角是直角知∠ADE=90°.利用
(1)中的OD∥AC、∠OAD=∠ODA可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°;由三角形的内角和定理求得∠AOD=120°;然后在Rt△ADE中根据∠EAD的余弦三角函数的定义求得⊙O的直径AE的长度,从而解得⊙O的半径的长度;最后由弧长的计算公式求解即可
48.(福建南平10分)如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的⊙O上.
(1)求证BC是⊙O的切线;
(2)已知∠B=28°,⊙O的半径为6,求线段AD的长.(结果精确到
0.1)【答案】解
(1)连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC∵OA=OD,∴∠BAD=∠ODA∴∠ODA=∠DAC∴AC∥OD∵∠C=90°,∴∠ODC=90°∴BC是⊙O的切线
(2)连接DE,∵∠B=28°,∴∠BAC=62°,即∠BAD=31°∵AE为⊙O的直径,∴∠ADE=90°∵OA=6,∴AE=12由cos∠DAE=,得AD=AE·cos31°≈12×
0.86≈
10.3∴线段AD的长为
10.3【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,解直角三角形【分析】
(1)连接OD,可证得AC∥OD,即可得出∠ODC=90°,即BC是⊙O的切线
(2)连接DE,在直角三角形ADE中,利用∠BAD的余弦值求出线段AD的长
49.(江苏徐州8分))如图,PA、PB是O的两条切线切点分别为A、BOP交AB于C,OP=13sin∠APC=.1求O的半径;2求弦AB的长【答案】解
(1)∵PA是O的切线,∴OA⊥PA∴在R△ABE中,O的半径AO=OPsin∠APC=13×=5
(2)∵在R△ABE中,又∵PA、PB是O的两条切线,∴PC⊥AB,AC=CB又∵∠AOC=∠POA,∴△AOC∽△POA∴,∴即∴【考点】圆的切线性质,锐角三角函数,勾股定理,相似三角形的判定和性质【分析】
(1)由于PA是O的切线,从而△ABE是直角三角形所以在R△ABE中用锐角三角函数解三角形即得O的半径
(2)因为PA、PB是O的两条切线,所以要求AB,只要求出AC即可由于△AOC∽△POA,所以用对应线段的比即可求出OEDBCA。